量子力学-三维量子系统

Chapter 4 三维量子系统§1. 角动量§2. 轨道角动量§3. 自旋§4. 角动量叠加§5. 球坐标系下的Schroedinger方程-氢原子§4.1. 角动量的一般理论先讨论经典三维转动变换和量子无穷小转动变换§4.1.1 经典转动()()/2 /2yxRRπ π( ) ( )/2 /2xyRRπ π先绕x轴转动，再绕y轴转动先绕y轴转动，再绕x轴转动一. 坐标系的旋转y′cos sinsin cosx xy y′−⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞=⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟′⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠θ θθθ()X RXθ′≡11 1221 22ˆˆ ˆˆ()ˆˆ ˆˆee eeRee eeθ′′⋅⋅⎛ ⎞=⎜ ⎟′′⋅⋅⎝ ⎠其实这是一个绕z 轴的旋转，z 轴的坐标不变z z′=1ˆe2ˆe2ˆe′ 1ˆe′定所以在三维坐标系统下，这组坐标的变换应该cos sin 0sin cos 0001x xy yz z′−⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟′=⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟′⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠θ θθθ()zX RXθ′=cos sin 0() sin cos 0001zRθ θθθθ−⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠如果绕x轴和y轴转动，转动变换的矩阵怎么其逆变1() ( )z zX RXR Xθ θ−′==−1 cos sin 0() ( ) sin cos 0 () ()001TzzRR RRθ θθ θθθ θθ−⎛⎞⎜⎟=−=− = =⎝⎠因为矩阵是实10 0() 0 cos sin0sin cosxR θ θθθ θ⎛ ⎞⎜ ⎟=−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠绕x 轴转绕y 轴转动xyzcos sin 0sin cos 0001y yz zx x′−⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟′=⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟′⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠θ θθθcos sinsin cosx xyy zzy zθ θθ θ′=′′=−′′=+xyz只需作变换x Æz, y Æx, z Æcos sincos sinx xzyyz zxθ θθ θ′ ′= +′=′′= −只需作变换x Æy, y Æz, z Æcos 0 sin() 0 1 0sin 0 cosyRθ θθθ θ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠同样地，逆变换110 0() 0 cos sin0sincosxR θ θθθ θ−⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠1cos 0 sin() 0 1 0sin 0 cosyRθ θθθ θ−−⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠二. 矢量的旋转矢量旋转一个角度θ，变成了矢量：AnullBnullˆˆˆˆx xyyx xyyA Ae AeBBe Be= +=+nullnullˆˆ ˆ ˆ() = () ()x xyy x xy yBBe Be R AAR e AR eθ θθ=+= +nullnullyBnullθAnullxθˆxeˆye不难理解或者可以证明，在图中的矢量旋转矩阵R实际上与前面的坐标转动下矢量A的表达式是一样的，即cos sin 0() sin cos 0001zRθ θθθθ−⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠事实上，图中的矢量旋转就是绕z 轴的旋转。

我们感兴趣的是无穷小的旋转：222210() 1 0001zRεεεεε⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟=−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠其中ε三阶以上的量都忽略了类似地，我们有绕x和y 轴的旋转矩阵：222210() 0 1 001yRεεεεε⎛ ⎞−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−−⎝ ⎠222210 0() 0 101xRεεε εε⎛ ⎞⎜ ⎟=−−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠我们看两个矩阵的乘积() (), () ()xy yxR RRRε εεε2222221() () 0 11yxRRεεεε εεε εεε⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟=−−⎜ ⎟⎜ ⎟−−⎝ ⎠22222210() () 11xyRRεεεε εεε εεε⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟=−−⎜ ⎟⎜ ⎟−−⎝ ⎠22200() () () () 0 0 ( ) 1000xy yx zRR RR Rεεε εεε ε⎛⎞−⎜⎟−= =⎜⎟⎝⎠只保留到项2−ε222210() 1 0001zRεεεεε⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎜ ⎟=−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠(*)§4.1.2 量子力学中的无穷小转动和角动量一. 无穷小转动算子 +（Drehung，or rotation）()Rα α≡+R类似于空间平移和时间平移算子的无穷小变换，1UiGεε= −在空间转动一个无限小的角度dφ。

不过转动总是绕某个轴转，原则上讲空间轴可以是任意的，比如我们可以假定轴k的方向是ˆn从经典力学来看，物体的转动，是因为有了力矩，使得系统的角动量发生了改变动量使物体位置发生平移，能量使系统的时间平移，而角动量使物体沿着轴转动一个角度所以我们可以说，角动量是空间转动的生成元定义所以在量子力学中对一个态做旋转操作，也就是使量子态言某个轴转动dφ的角度比方说沿k轴的转的角动量是Jk，那么可以对此轴转动的无穷小生成元的变换形式为1UiGεε=−1kdJUidφφ=−null我们知道角动量是矢量，实际上沿k轴的转动就是角动量投影到k轴方向的转动ˆkJJn= ⋅null所以一般情况下，我们把转动的无穷小变换可以写ˆˆ(, ) 1 1kJ Jnnd i d i dφ φ φ⋅=− =−nullnullnull+ˆ() (,)1zzzJdedidφ φ φ==−null++如果是一个绕z 轴的有限小转动φ，类似于以前关于平移变换下的讨论，我们可以构造2() lim 1 exp112NzzNzzJJiizNJJiφφφφφ→∞⎛⎞⎛⎞=− =−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞=− − +⎜⎟⎝⎠nullnullnullnullnull+类似地，可以分别给出绕x和y轴转动的变换算() exp , () expxyJixJiyφφφφ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠nullnull++二. 无穷小转动算子 +(R)的性质前面讨论的每一个旋转R，都存在一个在合适的ket空间旋转算子，与R有同样的群性质：()R+ ()R+() ()[][]12 3 1 2 31112 3 1 23 12312 31231231 ()1 ();()( ) ();1 () () 1,1 () () 1;()( ) ()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )R RR RR RR R R RRR R RRR R RRR R R R R RR RRR RRRRRRR−−⋅ =⇒ ⋅==⇒ ==⇒ ==⇒ ===⇒==++++ +++++++ +++++++幺元(单位算子)：封闭性：逆元：结合律：三. 角动量对易关系22200() () () () 0 0 ( ) 1000xy yx zRR RR Rεεε εεε ε⎛⎞−⎜⎟− ==−⎜⎟⎝⎠转动的对易在右边是到小量ε的二阶项，这提示对于量子算子，也需要考虑到二阶项，类似于转动时的式子(*),222221111221111=1122yyxxyyzxxJJJJiiJJJJJii iεεεεεεεεε⎡ ⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥−− −−⎢⎥⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎢⎥−− − − − − −⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎣⎦nullnull nullnullnullnull nullnull null上式中左边高于二阶以上的项略掉，不难得到2ε,xy zJJ iJ⎡⎤=⎣ ⎦null重复其它项的对易关系计算，可以得到角动量对易的基本关系式,ij ijkkJJ i Jε⎡⎤=⎣ ⎦null1. 角动量的不同分量之间是不能对易的，这一点和动量是不同的。

动量的不同分量之间是对易的注意：2. Jk是关于第k轴旋转的生成元§4.1.3 角动量的本征值和本征态矢角动量是矢量，ˆˆˆxyzJJiJjJk=++null2222xyzJJJJ= ++null222,,, , ,xyzzxxz xzx yzy yyzJJJJJ JJ JJ J JJ J J JJ⎡⎤++⎣⎦⎡ ⎤⎡⎤=+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦该算子与Jz的对易是()()() ()0xy yx xyyxJ iJ iJ J iJ J J iJ=− +− + + =nullnull null null实际上，2,0, (1,23)kJJ k⎡⎤==⎣⎦这说明，角动量和角动量平方算子有共同的本征函数一.角动量的对易关系和梯级算子（上升、下降算子）但是注意，分量之间是不能对易的也就是说，角动量平方只能和其中之一对易，而不能同时和所有的角动量分量同时对易！所以如果取定了角动量的某分量与角动量平方的共同本征态，这个本征态矢并不是其它角动量分量的本征态通常我们取角动量平方和角动量z 分量的共同本征态，记为| a, b〉，即2,,,,,.zJab aabJab bab==为了确定可能允许的a、b值，我们定义梯级算子如下xyJJiJ±= ±容易证明下面的对易关系，[ ]2,2; , ; , 0zzJJ J JJ J JJ+− ± ± ±⎡ ⎤===⎡⎤⎣⎦⎣ ⎦nullnull说明是属于本征值为的本征态矢。

), zJab J b±±null[ ]2,2; , ; , 0zzJJ J JJ J JJ+− ± ± ±⎡ ⎤===⎡⎤⎣⎦⎣ ⎦nullnull为了了解的物理意义，看如下的作用：J±()( )()(),, ,,zzzJJab JJ JJ abbJab±±±±=+⎡⎤⎣⎦=±null改变的本征值一个单位Ñ非常类似于谐振子的产生算子的作用，相应地使的本征值下降一个Ñ单位，类似于湮灭算子的作用然而J+ zJJ−zJ() ()22,,,J J ab J J ab a J ab±± ±==说明并不改变的本征值还说明，是J2和的共同本征态矢，且其本征值为a和b±Ñ可以记J±2J,Jab±,,Jab cab±±= ±null二. J 2和 Jz的本征值稍后确定c±注意作用到上以后，每作用一次就增加（或减少）Ñ，假定连续作用n次，将增加(减少) nÑ但是J2的本征值并不随之而改变由于J2是总角动量的平方，因此必然有J±,ab2ab≥或者说必然存在一个最大的b，bmax，使得J+作用是max max,0, ,Jab JJab+−+= ⇒()( ) ( )()2222, xyxy xy xyyxzz xy zJJ J iJ J iJ J J iJJ JJJJ J JJ iJ−+=− +=++ −⎡⎤=−− =⎣⎦null∵ null由于( )22max max,,0zzJJ ab J J J ab−+= −− =null即，2max max0ab b− −=null或( )max maxab b= +null而对于最小的bmin将导致min,0Jab−=[ ], 2zJJ JJJ JJ+− +− −+= −=22∵nullz zJJ J J J+ −=−+null( )22min,,zzab J J+− min0JJ J ab= −+ =null( )min minab b= −null可以推测max minbb=−由于max0b >所以，对于所能允许的b，必有max maxbbb− ≤≤显然，这可以通过J+作用到上有限次（say n）实现：min,abmax minbbn= + nullmax minbb=−with max/2bn= null为简单起见，记max2njbj= ⇒=null( )21ajj= +null由于maxbj= null和max max,bbb jbj−≤≤。