简单的线形规划 一 复习回顾 1 二元一次方程与不等式的联系 即 直线定界 特殊点定域 特别地 当C不等于0时 取 0 0 3 画不等式组所表示的平面区域 等价于画各个不等式所表示的平面区域的公共部分 4 画一些特殊的复杂不等式所表示的平面区域 等价于画其几个不等式组的并集比如 x 1 y 1 0 简单的说 就是A与不等式的符号相同 则取x轴的正方向区域 即直线一侧的右方区域 B与不等式的符号相同 则取y轴的正方向区域 即直线一侧的上方区域 反之 异号 取负方向区域 5 特别地 我们在画二元一次不等式的时候 总结的一个规律 同为正 异为负 练习 1 二元一次不等式x 2y 6 0表示的平面区域在直线x 2y 6 0的 若方程Ax By C 0表示的直线为 不等式Ax By C 0表示的平面区域为D 则 当A 0 B 0时 D为的 当A 0 B0时 D为的 当A 0 B 0时 D为的 右上方 右下方 左上方 左下方 左下方 当x 3 y 0时 得出2x y的最小值为6 但此时x y 3 点 3 0 不在不等式组的所表示的平面区域内 所以上述解答明显错了 怎么来解决这个问题和这一类问题呢 这就是我们今天要学习的线性规划问题 要求z的范围 现在就转化为求这一组平行线中 与阴影区域有交点 且在y轴上的截距达到最大和最小的直线 由图 我们不难看出 这种直线的纵截距的最小值为过A 3 1 的直线 纵截距最大为过C 5 1 的直线 所以 过A 3 1 时 因为z 2x y 所以 同理 过B 5 1 时 因为z 2x y 所以 线性规划里的一些基本概念 1 线性约束条件 由x y的一次不等式 或方程 组成的不等式组 2 目标函数 关于x y的解析式 如z 2x y 3 线形目标函数 如果这个解析式是x y的一次解析式 则目标函数又称为线形目标函数 7 线性规划问题 求线形目标函数形约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线形规划问题 4 可行解 满足线形约束条件的解 x y 叫做可行解 6 最优解 分别使目标函数取得最大值和最小值的解 叫做这个问题的最优解 5 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 y 例 求z 2x y的最大值 和最小值 使式中的变量x y满足约束条件 解 作线形约束条件所表示的平面区域 即如图所示四边形ABCD 作直线 所以 求得A 3 1 B 4 0 C 5 1 D 4 2 1 我们首先根据线形约束条件画出可行域 即画出不等式组所表示的公共区域 结论 1 线形目标函数的最大值 最小值一般在可行域的顶点处取得 2 线形目标函数的最大值 最小值也可能在可行域的边界上取得 即满足条件的最优解有无数个 解线形规划问题的基本步骤 3 代入计算 直接代入交点坐标 可得最大 最小值 令z 0 画出 在可行域内平行移动 得其在y轴有最大 最小截距的两条平行线 所以 通常我们通过解方程组 求出要用的顶点坐标 特别地 当B Z的最大值就是直线最大截距的时候 Z的最小值是直线有最小截距的时候 反之 B 则相反 例2 某工厂生产甲 乙两种产品 已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t B种矿石5t 煤4t 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t B种矿石4t 煤9t 每1t甲种产品的利润是600元 每1t乙种产品的利润是1000元 工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t B种矿石不超过200t 煤不超过360t 甲 乙两种产品应各生产多少 精确到0 1t 能使利润总额达到最大 分析 将已知数据列成下表 10 4 300 5 4 200 4 1000 600 360 9 解 设生产甲 乙两种产品分别为xt yt 利润总额为z元 那么 目标函数Z 600 x 1000y 例3 书p65 4 解 设隔出大房间x间 小房间y间时收益为z元 则x y满足 且 即 作直线l 200 x 150y 0即直线l 4x 3y 0 把直线l平移至l1时 直线经过可行域上的B点 且与原点距离最大 此时 Z 200 x 150y取最大值 l l1 4x 3y 260 0 经验证 要求经过可行域内的整数点 且使z 200 x 150y取得最大值 经过的整数点是D 0 12 和C 3 8 此时Zmax 1800 所以 应隔出小间12间 或大间3间 小间8间 可以获得最大利润 解方程组 得B点坐标为 由于点B的坐标不是整数点 而最优解 x y 中x y必须都是整数 所以 可行域内的点B不是最优解 例4 某公司承担了每天至少搬运280t水泥的任务 已知该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车 已知A型卡车每天每辆的运载量为30t 成本费为0 9千元 B型卡车每天每辆的运载量为40t 成本费为1千元 1 假设你是公司的调度员 请你按要求设计出公司每天的排车方案 2 设每天派出A型卡车x辆 B型卡车y辆 公司每天花费成本为Z千元 写出x y应满足的条件以及Z与x y之间的函数关系式 Z 0 9x y 3x 4y 280 x 60 y 4 例5 某公司承担了每天至少搬运280t水泥的任务 已知该公司有6辆A型卡车和4辆B型卡车 已知A型卡车每天每辆的运载量为30t 成本费为0 9千元 B型卡车每天每辆的运载量为40t 成本费为1千元 1 假设你是公司的调度员 请你按要求设计出公司每天的排车方案 设每天派出A型卡车x辆 B型卡车y辆 2 若公司每天花费成本为Z千元 写出x y应满足的条件以及Z与x y之间的函数关系式 3 如果你是公司的经理 为使公司所花的成本费最小 每天应派出A型卡车 B型卡车各为多少辆 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Z 0 9x y为最小 Zmin 7 6 此时应派A B卡车各4辆 Z 0 9x y为最小 线性规划的实际应用 解线性规划应用问题的一般步骤 1 理清题意 列出表格 2 设好变元 列出线性约束条件 不等式组 与目标函数 3 准确作图 4 根据题设精度计算 。