1初二数学（八上）创新教育实验手册 参考答案（苏科版） 第一章第一章 轴对称图形轴对称图形 1. 1 轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形 【实践与探索实践与探索】 例 1 请观察 26 个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母． 解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y． 注意注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形． 例 2 国旗是一个国家的象征， 观察图 1.1.1 中的国旗， 说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴． （略） 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1．A 2．D 3．B 4．A 5．A 二、填空题：二、填空题： 6． （1） （2） （5） （6） 7．2，3，1，4 8．10∶21 三、解答题：三、解答题： 9．如图： 10．长方形、正方形、正五边形 【拓展与延伸拓展与延伸】 1． （3）比较独特，有无数条对称轴 2ABCD1D2D3D4B1CB A C1 A1图 1.2.1 2． 1.2 轴对称的性质（轴对称的性质（1）） 【实践与探索实践与探索】 例 1 已知△ABC 和△A1B1C1是轴对称图形，画出它们的对称轴． 解： 连接 AA1，画出 AA1的垂直平分线 L，直线 L 就是△ABC 和△A1B1C1的对称轴． 回顾与反思回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点， 再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴． 例 2 如图 1.2.2， 用针扎重叠的纸得到关于 L 对称的两个图案， 并从中找出两对对称点、两条对称线段． 解：可标注不同的对称点．例如：A 与 A'是对称点，B 与 B'是对称点． 对称线段有 AB 与 A'B'，CD 与 C'D'等． 回顾与反思回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础， 一般先研究对称点， 再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质． 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1．B 2．D 3．B 4．A 二、填空题：二、填空题： 5．轴对称，3 条 6．略 7．810076 8．AB＝CD BE＝DE ∠B＝∠D 三、解答题：三、解答题： 9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上 【拓展与延伸拓展与延伸】 1．如图： 图 1.2.2 3图1.2.３（1） （2） 图 1． 2． 4 图 1． 2． 52．如图： 1.2 轴对称的性质（轴对称的性质（2）） 【实践与探索实践与探索】 例 1 画出图 1.2.3 中△ABC 关于直线 L 的对称图形． 解： 在图 1.2.3（1）和图 1.2.3（2）中，先分别画出点 A、B、C 关于直线 L 的对称点1A、1B和1C，然后连接11BA、11CB、11AC，则△111CBA就是△ABC 关于直线 L 对称的图形． 回顾与反思回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时， 只要画出图形中的特殊点 （如线段的端点、 角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图 1.2.3（1）中的点 B） ，其对称点就是它本身． 例 2 问题 1：如图 1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点 A 和 B，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使 A 和 B 两地的居民走的路最短？ 问题 2：如图 1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点 A 和 B，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到 A 和 B 两地的总长最短？ 4①②①②③③④④? ?图1.2.4 问题 1 和问题 2 之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：探索：对问题 1，显然只要连接 AB，AB 与 a 的交点就是所要找的点． 对问题 2，即要在直线 a 上找一点 C，使 AC＋BC 最小． 分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点 C： （1）作点 A 关于直线 a 的对称点 A'； （2）连结 A'B 交 a 于点 C，点 C 就是所求作的点． 理由： 如图 1.2.4， 如果 C'是直线 a 上异于点 C 的任意一点， 连 A C'、 B C'、 A' C'，则由于 A、A'关于直线 a 对称，所以有 '''',CAACCAAC． 所以 '''''BCCABCAC＞BCACBCCABA''． 这说明，只有 C 点能使 AC＋BC 最小． 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空题：二、填空题： 5． （1） 等腰三角形 （2） 矩形 （3） 等边三角形 （4） 正方形 （5） 五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5 个 三、解答题：三、解答题： 8．略 9．略 10．画图略 11．如图： 12．画出点 A 关于直线 L 的对称点 A'，连结 A'B 与直线 L 的交点即为所求停靠点． 【拓展与延伸拓展与延伸】 5图1.3.1 图1.3.21．图略 2．图略 1.3 设计轴对称图形设计轴对称图形 【实践与探索实践与探索】 例 1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学 一学： 观察一下，图 1.3.1 中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？ 例 2 如图 1.3.2，以直线 L 为对称轴，画出图形的另一半． 6图1.4.1 图1.4.２ 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1．B 2．B 二、填空题：二、填空题： 3．M、P、N、Q 三、解答题：三、解答题： 4．如图： 5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略 8．图略 【拓展与延伸拓展与延伸】 1．图略 2．图略，答案不唯一 1.4 线段、角的轴对称性线段、角的轴对称性(1) 【实践与探索实践与探索】 例1 如图1.4.1，在△ABC中，已知边AB、BC的垂直平分线相交于点P． (1)你知道点P与△ABC的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC的垂直平分线时，你发现了什么？ 解：(1)点P与△ABC的三顶点距离相等，即PA＝PB＝PC． (2)如图，AC的垂直平分线也经过P点．即三角形的三条中垂线交于一点． 例2 如图1.4.2，在△ABC中，已知AB ＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，交AC于E．已知△BCE周长为8，且AB－BC＝2，求AB、BC的长． 7图1.4.３ 分析 ：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE， 因此△BCE的周长就转化为AC ＋BC，问题即可解决． 解： 因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE， 则△BCE的周长＝ BE＋CE ＋BC －AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8． 又因为AB －BC ＝2， AB ＝AC，所以AC－BC＝2. 由上可解得AC ＝5， BC＝3． 回顾与反思回顾与反思 (1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE“的转移，这是我们常用的方法； (2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等． 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1．C 2．D 3．D 4．A 二、填空题：二、填空题： 5．无数个 6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm 三、解答题：三、解答题： 9．240 10．连结 AB，作 AB 的中垂线交直线 L 于 P，点 P 即为所求作的点 11．24 cm 12．(1) 35 0 （2）55 0 【拓展与延伸拓展与延伸】 1．图略 （1）只要任意找一个以 A 为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与 BＣ的交点就是点Ｐ （2）找与 A 为顶点的正方形中与 A 相对的顶点． 2． 9 cm 1.4 线段、角的轴对称性线段、角的轴对称性(2) 【实践与探索实践与探索】 例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和 ∠ACB的角平分线相交于O．请问： (1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？ (2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？ 8图1.4.4 解： (1)点O到△ABC的三边的距离相等； (2)如图1.4.3，∠A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点． 例2 已知：如图1.4.4， AD∥BC， DC⊥BC， AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之． 分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试 （包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法． (1)将“AE平分∠BAD“与“DE⊥AD“结合在一起考虑，可以联想到， 若作EF⊥AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF＝AD． (2)再结合“点E是DC的中点”， 可得： ED＝ EF＝EC． 于是连接BE， 可证BF＝BC． 这样，AD ＋ BC ＝AF ＋ BF ＝AB． 解：AD、BC与AB之间关系：AD ＋ BC ＝AB．证明思路简记如下： 作EF⊥AB，连接BE，易证△ADE≌△AFE( AAS)，∴AD ＝ AF． 再由EF＝ED， EF＝EC， 可得△BFE≌△BCE( HL)， ∴ BF＝BC， AD＋BC ＝AB． 回顾与反思回顾与反思 (1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等； (2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法． 【训练与提高训练与提高】 一、选择题：一、选择题： 1．A 2．B 3．A 4．C 二、填空题：二、填空题： 5．线段的垂直平分线、角平分线 6．3 7．900 三、解答题：三、解答题： 8．略 9．过 P 点分别作垂线 10．作图略 11．作 MN 的中垂线，∠AOB的平分线交点即是 12．6 cm 【拓展与延伸拓展与延伸】 9图1.5.1 B E D CFA 1．600 2．略 1.5 等腰三角形的轴对称性等腰三角形的轴对称性(1) 【实践与探索实践与探索】 例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数． 分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角； (2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况． 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为 21(1800 － 1000)＝400． (2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500． 回顾与反思回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？ 例2 如图1.5.1，在△ABC中，AB ＝AC，D为BC的中点， DE⊥AB，垂足为E， DF⊥AC，垂足为F．试说明DE＝DF的道理． 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DE＝DF．也可以利用△ADB和△ACD面积相等来说明DE＝。