历年考研数学高等数学基础讲义 考研数学高等数学基础讲义 目录 第一讲极限 (1) 第二讲高等数学的基本概念串讲 (9) 第三讲高等数学的基本计算串讲 (13) 第四讲高等数学的基本定理串讲 (24) 第五讲微分方程 (27) 第六讲多元函数微积分初步 (29) 1 第一讲 极限 核心考点概述 1.极限的定义 2.极限的性质 3.极限的计算 4.连续与间断内容展开 一、极限的定义 1. lim 是什么？ lim 是什么？ x →? n →∞ （1）lim 的情况： x →? ①“ x → ? ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x - , x → ∞, x → +∞, x → -∞ ②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了比如下面这个例子： sin x sin 1 x 【例】计算lim x →0 . x sin 1 x 事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数）， k π sin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim 不存在. x sin 1 x x →0 x sin 1 x （2）lim 是什么？ n →∞ 2.极限的定义 （1）函数极限的定义： lim f (x ) = A ? ?ε > 0, ?δ > 0, 当0 0, ?N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a 0 ，?X > 0 ，当 x > X 时，恒有件； ε f (x ) - A 0 ，则当 x →?时， f (x) > 0 . x→? 【例】设lim f (x) =f (0) ，且lim f (x) = 2 ，则x = 0 是 x→0 x→0 1- cos x （A）极大值点（B）极小值点（C）不是极值点（D）无法判断 三、极限的计算 1.函数极限的计算 （1）化简先行 【例1】求极限lim 2 + sin x (sin x -x) 3 x→0 tan x 3 2 - 【例 2】求极限lim x →0 1+ 3x - 3 1+ 5x x （2）基本的七种未定型 0 第一组： ∞ 0 ?∞ ∞ e x - e 2-2cos x 【例 1】求极限lim x →0 x 4 【例 2】求极限lim ln x ? ln(1- x ) x →1- 第二组： ∞ - ∞ ①有分母，则通分 【例】求极限lim( x →0 1 cos 2 x sin 2 x x 2 ) 4 ②没有分母，创造分母，再通分 1 【例】求极限 lim [x 2 (e x -1) - x ] x →+∞ 第三组： ∞ 00 1∞ 【例 1】求极限 lim (x + x →+∞ 1 1+ x 2 ) x 1 【例 2】求极限lim(tan x ) cos x -sin x x →π 4 （3）核心工具——泰勒公式 ①牢记 8 个公式 sin x = x - 1 x 3 + o (x 3 ) 6 arcsin x = x + 1 x 3 + o (x 3 ) 6 tan x = x + 1 x 3 + o (x 3 ) 3 arctan x = x - 1 x 3 + o (x 3 ) 3 cos x = 1- 1 x 2 + 2 1 x 4 + o (x 4 ) 24 ln(1+ x ) = x - 1 x 2 + 1 x 3 + o (x 3 ) 2 3 e x = 1+ x + 1 x 2 + 1 x 3 + o (x 3 ) 2 6 (1+ x )α = 1+ αx + α (α -1) x 2 + o (x 2 ) 2 5 ②掌握两个展开原则 i.A 型——上下同阶原则B 【例】lim x→0 1+x + x 1-x - 2 2 ii.A -B 型——幂次最低原则 【例】已知 x → 0 时，cos x -e x2 2 与cx k 为等价无穷小，求c, k . 【练习】设p(x) =a +bx +cx2 +dx3 ，当x → 0 时，若p(x) - tan x 与x3 为同阶无穷小，求a, b, c, d . 2.数列极限的计算 （1）将x n 连续化，转化为函数的极限 【例】lim(n ? n→∞ tan 1))n2 n 6 x a n n 0 0 （2）当数列通项为具体已知时，通常的解法为： 1)夹逼准则， 2)定积分定义， 3)利用幂级数求和（仅数学一要求）， 【例】lim 1 + 2 + ... + n n →∞ n 2 + n +1 n 2 + n + 2 n 2 + n + n （3）当数列通项由递推关系式a n = f (a n -1 )给出时，通常使用单调有界准则 【例】设a > 0, x 1 > 0, x n +1 = (2x n + 2 n n = 1,2,…，证明{x }收敛并求lim x . n →∞ 四、连续与间断 1.由于“一切初等函数在其定义区间内必连续”，则只需考虑两类特殊的点：函数的无定义点和分段函数的分段点. 2.所谓连续 lim x → x 0 f (x ) = f (x 0 ) ? f (x ) 在 x = x 0 处连续 3.所谓间断 （1）跳跃间断点： lim x →x + f (x ) ≠ lim x → x - f (x ) 7 ) 1 3 0 0 0 0 0 0 （2）可去间断点： lim x → x + f (x ) = lim x → x - f (x ) ≠ f (x 0 ) （3）无穷间断点： lim x → x + f (x ) = ∞ 或 lim x → x - f (x ) = ∞ （4）振荡间断点： lim x → x + f (x ) 或 lim x → x - f (x ) 振荡 ? ln(1+ ax 3 ) ??, x 0 （I ） f (x ) 在 x = 0 连续； （II ） x = 0 是 f (x ) 的可去间断点. 8 第二讲高等数学的基本概念串讲 核心考点概述 内容展开 一、一元函数微分需的概念及使用 1.考查导数定义的基本形式 ln(1 - 2x) + 2xf (x) 【例】设δ > 0 ，f (x) 在[-δ,δ] 上有定义，f (0) = 1,且满足lim x→0 x 2 = 0 , 证明 f (0) 存在，并求 f (0) . 2.考查导数定义中增量的广义化 【例】设f (0) = 0 ，下列命题能确定f (0) 存在的是( ) （A）lim h→0 f (1- cosh) h2 存在（B）lim h→0 f (1-e h ) 存在 h （C）lim h→0 f (h -s inh) h2 存在（D）lim h→0 f (2h) -f (h) 存在 h 9 x 二、一元函数积分学的概念及其使用 1.不定积分、变限积分和定积分 （1）不定积分 原函数与不定积分 设函数 f ( x ) 定义在某区间 I 上， 若存在可导函数 F ( x ) ，对于该．区．间．上 ．任．一．点．都有 F ( x ) = f ( x ) 成立，则称 F ( x ) 是 f ( x ) 在区间 I 上的一个原函数. 称 ? f (x )dx =F (x ) + C 为 f ( x ) 在区间 I 上的不定积分，其中C 为任意常数. 【注】谈到函数 f ( x ) 的原函数与不定积分，必须指明 f (x ) 所定义的区间. 【例 1】试证明：如果函数 f ( x ) 在[a , b ] 上连续，则函数 F (x ) = ?a f (t )d t 在[a , b ] 上可导， 且 F ( x ) = f ( x ) （本题即为变限积分函数求导的知识点）. 【例 2】试证明：含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f ( x ) 在包含该间断点的区间内必没有原函数 F ( x ) . 【注】第二类振荡间断点是否有原函数呢？举例说来，对于 f (x ) = ??2x s i n ? ?? 1 - cos 1 , 。