函数凹凸性判别法与应用 祝红丽 指导教师：邢抱花摘要函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并结合相关例题做了较详细的论述.关键词凹凸性导数 不等式 应用1 引言函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性提醒了函数的因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加准确.以函数在*区间上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量的稳定增加，当函数的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数的增量越来越小时，函数图形是凸的，当函数的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分析.作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛.本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此根底上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性，及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最根本的判别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明*些不等式，是其它方法不可替代的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加准确化.2 凹凸函数及拐点的定义0Y*Y0我们已经熟悉函数和的图象.*它们的不同之处是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方.我们把具有前一种特性的曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数；后一种曲线称为凸的，相应的函数成为凸函数.函数凹凸性的分析定义形式较多，下面给出函数凹凸性定义的更一般的形式.2.1函数凹凸性的定义 定义设函数在区间上连续，假设对上的任意两点，和任意实数,总有: ,则称为上的凹函数.反之，如果总有:,则称为上的凸函数.特别地，当=时，满足的函数为凹函数，满足的函数为凸函数.如果定义中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凹函数和严格凸函数.2.2 凹函数与凸函数的几何意义定义中凹函数与凸函数的图象如图、图.Y0*0Y*图1 图2凹函数〔凸函数〕的几何意义：连接曲线上任意两点的弦总位于对应曲线的上方〔下方〕.2.3拐点的定义设曲线在点处有穿过曲线的切线.且在切点近旁，曲线的切线的两侧分别是严格凹和严格凸的，这时称点为曲线的拐点.由定义可见，对于具有凹凸性的函数而言，拐点正是函数的凹凸性发生改变的那一点，即拐点的两侧邻域有着互异的严格凹凸性.如以下图中的点.*YM. · · .·0严格地说，拐点都是平面光滑曲线〔即切线连续变动的曲线〕弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是该点的切线不是在曲线的一侧“托着曲线〞而是切线在切点处把曲线一分为二，分别在切线的两侧.易知，有正弦曲线的图象可知有拐点 ，为整数.2.4 拐点的判别法假设在处连续，在两侧反号，则是曲线的拐点.假设，，则是的拐点.例题1求以下函数的拐点 ；.解，，当时，；当时，，又, 所以点是函数的拐点.，，，，，所以点是函数的拐点.注意：函数的拐点只是表示在该点的两侧函数具有不同的严格凹凸性，而不能只依靠判断二阶导数是否为零来确定函数的拐点.对于二阶导数不存在的点，检查在左右两侧邻近的符号，则当两侧邻近的符号相反时，点是曲线的拐点，当两侧的符号一样时，点不是曲线的拐点函数的拐点.因此函数的拐点与二次导数是否存在没有必然的联系.例如：在时的情况.易知，在处的二阶导数不存在，但是当时，，当时，，所以是的一个拐点.3 函数凹凸性的判别法观察函数图象，我们很容易得出结论：凹函数的一阶导数是不断变大的，而凸函数的一阶导数则恰恰相反.这是我们通过观察几何图形进展直观的感知得到的结论，但是人的观察不可防止的存在着一定的局限性，只有通过严密的证明得到的结论才能使人信服.迄今为止，判别函数的凹凸性已经有很多的方法.3.1定义法判别函数的凹凸性用定义法去判别函数的凹凸性是最根本的判定方法，也是其它判定方法的根底.所以对定义的理解和掌握是至关重要的.例题2，均为上的连续函数，证明：假设，均为凹函数，则为凹函数；假设，均为递增非负凹函数，则为凹函数.证明设任意的，，，、因为，均为凹函数，所以由定义知：和.两式相加：,即：， 所以为凹函数.、由题题意得：.下面只要证明：即可.采用做差法比拟两者的大小：.综上所述，可得.所以是凹函数.例3为区间上的可导函数，证明：假设对于上的任意两点，，有， 则为上的凹函数.证明设以，为上任意两点，，.由， 并利用与，..分别用与上列两式并相加，得到：.所以为上的凹函数.3.2函数凹凸性的判定定理定理为上的函数，假设对于上的任意三点，总有：， 则为上的凹函数.证明在上任取两点，在上任取一点，则，，， 因为，所以有：.所以有，，因为 ，所以不等式两边同时除以有：.即又.所以.所以为上的凹函数.例题4 设为区间上的函数，假设对于实数，使得，有， 证明：为区间上的凹函数.证明设是区间上任意三点，由条件，对于，存在实数，使得，，.令， 有，得到.再令， 有，得到.综上所述，，所以为区间上的凹函数.3.3 函数凹凸性的充要条件充要条件设函数在上连续，在内具有一阶和二阶导数，则，假设在内恒有，则在上的图形是凹的；假设在内恒有，则在上的图形是凸的.注意：假设在区间内的*一子区间上，则在该子区间上的图形是一段直线，该子区间既非凹区间也非凸区间.证明〔1〕充分性：因为，所以为上的增函数，设任意的，，在以，〔不妨设〕为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和为上的增函数，可得：，即对上的任意两点，，有：.令，，有，；；所以，..以上两个不等式的两端分别乘以与并相加得：.即在是凹函数；必要性：任取上两点及充分小的正数.由于，根据是凹函数及函数凹凸性的判定定理有：.由于是可导函数，令时可得.所以为上的增函数，所以在内恒有.〔2〕的情况类似的可以证明.例题5求曲线的凹凸区间及拐点.解函数的定义域为，又，，令，即，得到，点把定义域分成两个局部即与.在各局部区间内与的符号，相应曲段弧的升降及凹凸、拐点等，如以下图表：图形凸区间拐点凹区间可得：在，，因此是曲线的凸区间.在，，因此是曲线的凹区间.所以：点是曲线的拐点.小结：求曲线凹凸区间及拐点的步骤：首先找出可能是拐点的横坐标〔包括使二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点〕，再利用二阶导数的符号判断该曲线的凹凸区间及拐点.4 函数凹凸性的应用函数凹凸性的应用及其广泛，很多与函数、不等式交汇的综合问题都可以利用函数的凹凸性加以解决.利用函数的凹凸性去解决问题，往往能够使*些复杂的问题简单化.接下来，我们重点讨论函数凹凸性在不等式的证明、求函数最值以及函数作图等中的应用.4.1 函数凹凸性在证明不等式中的应用 有些不等式的表达形式很简单，但如果通过常规的证明方法和技巧却很难到达预期的效果，这就需要我们另辟蹊径，寻找更有效的方法技巧，利用凹凸函数的性质不但可以减少计算量，使解题更加合理，而且借助凹凸函数的几何特征可以使解题思路更加清晰直观.利用函数的凹凸性证明一个重要的不等式定理如果是凸函数对，满足，都有.特别地，当时，上述不等式称为琴生〔Jensen〕不等式.例题6 任意个非负实数的调和平均值小于或等于它们的几何平均值小于或等于他们的算数平均值.即：，， 恒有：.当且仅当时等号成立.证明考虑函数，很容易判断出其是凸函数，有琴生〔Jensen〕不等式得到：.即：，又在定义域上是单调递增的.所以有：，当且仅当时等号成立.另一方面，.即：.又在定义域上是单调递增的.所以有：，当且仅当时等号成立.综上所述有：.当且仅当时等号成立.注意：利用函数的凹凸性证明不等式时，一定要注意构造或者引进我们所需要的辅助函数，使条件和结论、与未知建立联系.凹凸函数不等式的积分形式定理设是上的可积函数且，是上的连续凸函数，则：〔如果是凹函数，则不等式反向〕.例题7设为上的正值连续函数，证明：.证明令，由上述定理得：.即得证.例题8设在上连续可导，.假设，证明：.证明由，可得，进而得到，所以.由函数凹凸性的充要条件知为凸函数.所以有：.又，所以.另一方面，由Hadamard不等式：设函数是上连续的凸函数，对任意的 ，有：，得.即：，又，所以在为单调增函数，所以有：， 即.综上所述， 即有：.小结：利用函数凹凸性证明不等式虽然有一定的局限性，但是它却能够防止一些繁杂的解题过程，大大的简化解题步骤，是其它方法不能到达的.利用函数凹凸性证明不等式的解题关键是构造适宜的辅助函数，能够使问题和的条件联系起来，只有这样才能到达预期的效果.4.2函数凹凸性在求函数最值中的应用通过观察不等式的证明，我们可以发现，如果不等式的一边是常数的话，则不等式的证明就演变成了求函数的最值问题，我们就可以利用函数的凹凸性来求函数的最值，从而就可以防止繁杂的化简、转化、变形等过程.假设能够灵活运用函数的凹凸性解题，可到达事半功倍的效果.例题9 设，试求 的最小值.解析如果采用一般的解题方法，我们就会发现很难找到问题的突破口，但是如果我们采用函数的凹凸性去思考，再结合着题目的表达形式，就很容易联想到琴生〔Jensen〕不等式，问题就迎刃而解了.解设，则，.所以为凹函数，由琴生〔Jensen〕不等式，得：.化简整理得：，所以的最小值为.例题10 设函数为上的凸函数，则求在闭区间上的最值.解对于任意的，取，〔〕，所以有.进而有，又为上的凸函数所以有：.所以的最小值为.记区间的中点为，且，设任意的关于的对称点为 则有，又是上的凸函数，所以有：，即：〕.〔其中〕.所以的最大值为 ：，〔其中.注意：此例题可以表述为假设函数在为凸函数，则在闭区间上有界.例题11 假设，且，求的最小值.解设，则，，所以为凹函数.所以有：.即：.化简整理得：，当且仅当时等号成立.小结：求函数最值的常用方法是利用函数的单调性、求导和均值不等式等方法，但是求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律.而利用函数的凹凸性求解，为求函数最值开辟了一条新的路径.从上面几个例题可以看出利用函数凹凸性去求函数最值的关键还是构造适宜的辅助函数.4.3利用函数的凹凸性作函数图象图象是刻画函数变。