第三十九讲第三十九讲 简单几何体的直观图和简单几何体的直观图和三视图三视图 走进高考第一关走进高考第一关 考点关考点关回回 归归 教教 材材 1.用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤用斜二测画法画空间几何体直观图的步骤①取互相垂直的取互相垂直的OX,OY轴轴,再取再取OZ轴轴,使使∠ ∠XOZ=90°,且且∠ ∠YOZ=90°;②画画O′X′,O′Y′,O′Z′,使使∠ ∠X′O′Y′=45°(或或135°),∠ ∠X′O′Z′=90°; ③画底面画底面:平行于平行于X轴的线段在直观图中长度不变轴的线段在直观图中长度不变,平行于平行于Y轴轴的线段在直观图中长度减半的线段在直观图中长度减半;④画侧棱画侧棱(或高或高):平行于平行于Z轴的线段在直观图中保持长度不变轴的线段在直观图中保持长度不变;⑤成图成图:顺次连接各个线段的端点顺次连接各个线段的端点,构成直观图构成直观图(注意实线与虚注意实线与虚线线). 注注:(1)空间几何体的直观图是在平面上表示空间几何体空间几何体的直观图是在平面上表示空间几何体,不是不是空间几何体的真实形状空间几何体的真实形状.(2)画直观图的基础是在水平面上画平面图形的直观图画直观图的基础是在水平面上画平面图形的直观图,关键关键是确定各顶点是确定各顶点(或其他具有代表性的点或其他具有代表性的点)的位置的位置.(3)运用斜二测画法时运用斜二测画法时,如果是对称图形如果是对称图形,一般选取图形的对称一般选取图形的对称轴为轴轴为轴,如果不是对称图形如果不是对称图形,一般选取图形中的一条水平线段一般选取图形中的一条水平线段所在的直线为所在的直线为x轴轴,选取这条线段外的一个顶点向选取这条线段外的一个顶点向x轴所作的垂轴所作的垂线为线为y轴轴;如果图形中没有水平线段如果图形中没有水平线段,可过图形中某一适当的顶可过图形中某一适当的顶点作一水平直线为点作一水平直线为x轴轴,选取另一适当的顶点向选取另一适当的顶点向x轴所作的垂线轴所作的垂线为为y轴轴. 2.三视图三视图(1)三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体,画出画出的平面图形的平面图形.①主视图主视图:从物体前面向后面正投影得到的投影图从物体前面向后面正投影得到的投影图,它反映了它反映了空间几何体的高度和长度空间几何体的高度和长度.②左视图左视图:从物体左面向右面正投影得到的投影图从物体左面向右面正投影得到的投影图,它反映了它反映了空间几何体的高度和宽度空间几何体的高度和宽度.③俯视图俯视图:从物体上面向下面正投影得到的投影图从物体上面向下面正投影得到的投影图,它反映了它反映了空间几何体的长度和宽度空间几何体的长度和宽度. (2)绘制三视图时要注意绘制三视图时要注意:①首先确定主视、俯视、左视的方向首先确定主视、俯视、左视的方向,同一物体放置的位置同一物体放置的位置不同不同,所画的三视图可能不同所画的三视图可能不同.②简单组合体是由哪几个基本几何体组成的简单组合体是由哪几个基本几何体组成的,并注意它们的并注意它们的组成方式组成方式,特别是它们交线的位置特别是它们交线的位置.③主、俯视图长对正主、俯视图长对正;主、左视图高平齐主、左视图高平齐;俯、左视图宽相等俯、左视图宽相等,前后对应前后对应.④在绘制三视图时在绘制三视图时,表面的交线与可见轮廓线都用实线画出表面的交线与可见轮廓线都用实线画出,不可见边界的轮廓线不可见边界的轮廓线,用虚线画出用虚线画出. 考考 点点 训训 练练 1.如图所示如图所示,下列几何体各自的三视图中下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相有且仅有两个视图相同的是同的是( )A.②③②③ B.①②③④①②③④ C.①②①② D.②③④②③④答案答案:D 解析解析:∵ ∵正方体的主视、左视、俯视图都为正方形正方体的主视、左视、俯视图都为正方形;圆锥的主视、圆锥的主视、左视、俯视图依次为三角形、三角形、圆左视、俯视图依次为三角形、三角形、圆;三棱台的主视、左三棱台的主视、左视、俯视图依次为梯形、梯形、三角形视、俯视图依次为梯形、梯形、三角形;正四棱锥的主视、左正四棱锥的主视、左视、俯视图依次为三角形、三角形、正方形视、俯视图依次为三角形、三角形、正方形.故选故选D. 2.一个几何体的三视图如下图所示一个几何体的三视图如下图所示,其中主视图中其中主视图中△△ABC是边是边长为长为2的正三角形的正三角形,俯视图为正六边形俯视图为正六边形,那么该几何体的左视图那么该几何体的左视图的面积为的面积为( ) 答案答案:C 3.(2009··宁夏、海南高考宁夏、海南高考)一个棱锥的三视图如图一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的则该棱锥的全面积全面积(单位单位:CM2)为为( ) 答案答案:A 解析解析:立体图形为如图所示的三棱锥立体图形为如图所示的三棱锥.AO⊥ ⊥底面底面BCD,O点为点为BD的中点的中点,BC=CD=6 cm,BC⊥ ⊥CD,AO=4 cm,AB=AD. 4.(2010··安徽模拟安徽模拟)已知某一几何体的主视图与左视图如图已知某一几何体的主视图与左视图如图,则则在下列图形中在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有可以是该几何体的俯视图的图形有( ) A.①②③⑤①②③⑤B.②③④⑤②③④⑤C.①②④⑤①②④⑤D.①②③④①②③④答案答案:D 解读高考第二关解读高考第二关 热点关热点关 题型一题型一 作出几何体的三视图作出几何体的三视图例例1将正三棱柱截去三个角将正三棱柱截去三个角(如图如图①所示所示,A,B,C分别是分别是△△GHI三边的中点三边的中点)得到几何体如图得到几何体如图②,则该几何体按图则该几何体按图②所示方向所示方向的左视图为的左视图为( ) 解析解析:由题意由题意,得得AE=AD,连接连接A与与ED的中点的中点G,则则AG⊥ ⊥底面底面EFD,所以左视图为直角梯形所以左视图为直角梯形,且且EB为直角梯形的对角线为直角梯形的对角线,故选故选A.点评点评:对于简单几何体一定要先认识它的基本结构对于简单几何体一定要先认识它的基本结构,再画图再画图,作作图时要注意长对正、高平齐、宽相等的原则图时要注意长对正、高平齐、宽相等的原则. 题型二题型二 简单组合体的三视图的识图简单组合体的三视图的识图例例2(2009··广东节选广东节选)某高速公路收费站入口处的安全标识墩某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图如图A所示所示.墩的上半部分是正四棱锥墩的上半部分是正四棱锥P——EFGH,下半部分是下半部分是长方体长方体ABCD——EFGH.图图B、图、图C分别是该标识墩的主视图和分别是该标识墩的主视图和俯视图俯视图.(1)请画出该安全标识墩的左视图请画出该安全标识墩的左视图;(2)求该安全标识墩的体积求该安全标识墩的体积. 解解:(1)左视图同主视图左视图同主视图,如下图所示如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为该安全标识墩的体积为点评点评:解决这类问题要注意主视图表示的是几何体的高度与长解决这类问题要注意主视图表示的是几何体的高度与长度度,左视图表示的是高度与宽度左视图表示的是高度与宽度,运用时分清所给量的关系运用时分清所给量的关系. 题型三题型三 三视图还原成实物图三视图还原成实物图 点评点评:这类问题要抓住三视图的特征这类问题要抓住三视图的特征,根据主视图、左视图、根据主视图、左视图、俯视图反映几何体的不同方位进行想象俯视图反映几何体的不同方位进行想象. 题型四题型四 直观图与三视图直观图与三视图例例4一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如如图所示图所示,∠ ∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥ ⊥BC,求这个平面图形的面求这个平面图形的面积积. 解解:过过A作作AE⊥ ⊥BC,垂足为垂足为E,∵ ∵AB=AD=1,∠ ∠ABC=45°, 点评点评:一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生变化，注意原图与直观图中的生变化，注意原图与直观图中的““三变、三不变三变、三不变””.三变三变:坐坐标轴的夹角改变标轴的夹角改变,与与Y轴平行线段的长度改变轴平行线段的长度改变(减半减半),图形改变图形改变.三不变三不变:平行性不变平行性不变,与与X轴平行的线段长度不变轴平行的线段长度不变,相相对位置不变对位置不变.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图按照斜二测画法得到的平面图形的直观图.其面其面积与原图形的面积有以下关系积与原图形的面积有以下关系: 变式变式:如下的三个图中如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图多面体的直观图,它的主视图和左视图在下面画出它的主视图和左视图在下面画出(单位单位:CM). (1)在主视图下面在主视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸按照给出的尺寸,求该多面体的体积求该多面体的体积. 解解:(1)如图如图. (2)所求多面体体积所求多面体体积 笑对高考第三关笑对高考第三关 技巧关技巧关 对于三视图的考查对于三视图的考查,主要是根据几何体去判断三视图或给出三主要是根据几何体去判断三视图或给出三视图想象几何体视图想象几何体,这类题目关键是弄清三视图和几何体之间的这类题目关键是弄清三视图和几何体之间的关系关系. 典例典例(2009··辽宁模拟辽宁模拟)下图是一个几何体的三视图下图是一个几何体的三视图,根据图中数根据图中数据据,可得该几何体的体积是可得该几何体的体积是( )答案答案:B 解析解析:我们知道我们知道,球的三视图是三个圆球的三视图是三个圆,圆柱的三视图是一个圆圆柱的三视图是一个圆与两个长方形与两个长方形,故由所给三视图可知故由所给三视图可知,这个几何体是由一个球这个几何体是由一个球和一个圆柱组成的和一个圆柱组成的,而且这个球的直径为而且这个球的直径为2,圆柱的底面直径为圆柱的底面直径为2,母线长为母线长为3.故几何体的体积为故几何体的体积为 考考 向向 精精 测测 1.已知正四面体已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所的俯视图如图所示示,其中四边形其中四边形ABCD是边长为是边长为2 CM的正方形的正方形,则这个四面体则这个四面体的主视图的面积为的主视图的面积为CM2. 2.一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示,该几何体的内接圆柱侧面积该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为的最大值为_______. 课时作业课时作业(三十九三十九) 简单几何体的直观图和三视图简单几何体的直观图和三视图 一、选择题一、选择题1.用若干个大小相同用若干个大小相同,棱长为棱长为1的正方体摆成一个立体模型的正方体摆成一个立体模型,其其三视图如下三视图如下:根据三视图回答此立体模型共有正方体个数为根据三视图回答此立体模型共有正方体个数为( )A.4 B.5 C.6 D.7 解析解析:依三视图依三视图,可知正方体模型的直观图如图可知正方体模型的直观图如图.所以共有所以共有5个正个正方体方体.故选故选B.答案答案:B 2.(2009··山东调研山东调研)如图所示如图所示,水平放置的三棱柱的侧棱长和底水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为面边长均为2,且侧棱且侧棱AA1⊥ ⊥平面平面A1B1C1,主视图是边长为主视图是边长为2的正的正方形方形,该三棱柱的左视图面积为该三棱柱的左视图面积为( ) 答案答案:B 3.(2009··山东高考山东高考)一空间几何体的三视图如图所示一空间几何体的三视图如图所示,则该几何则该几何体的体积为体的体积为( ) 解析解析:由几何体的三视图可知由几何体的三视图可知,该几何体是由一个底面直径和该几何体是由一个底面直径和答案答案:C 4.如图所示如图所示,△△A′O′B′表示水平放置的表示水平放置的△△AOB的直观图的直观图,B′在在X′轴上轴上,A′O′和和X′轴垂直轴垂直,且且A′O′=2,则则△△AOB的边的边OB上的高为上的高为( ) 答案答案:D 5.(2009··安徽模拟安徽模拟)一个几何体的三视图如下图所示一个几何体的三视图如下图所示,则该几何则该几何体外接球的表面积为体外接球的表面积为( ) 解析解析:该几何体为圆锥该几何体为圆锥,如图如图,外接球的球心为外接球的球心为△△ABC的重的重答案答案:D 6.已知两个圆锥已知两个圆锥,底面重合在一起底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的其中一个圆锥顶点到底面的距离为距离为2 CM,另一个圆锥顶点到底面的距离为另一个圆锥顶点到底面的距离为3 CM,则其直观则其直观图中这两个顶点之间的距离为图中这两个顶点之间的距离为( )A.2 CMB.3 CMC.2.5 CMD.5 CM答案答案:D 解析解析:圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为故两顶点间距离为2+3=5 CM.在直观图中与在直观图中与Z轴平行线段长度不变轴平行线段长度不变,仍为仍为5 CM.故选故选D. 二、填空题二、填空题7.一个几何体的主视图与左视图都是边长为一个几何体的主视图与左视图都是边长为2的正方形的正方形,其俯其俯视图是直径为视图是直径为2的圆的圆,则该几何体的表面积为则该几何体的表面积为________.解析解析:由三视图可知该几何体是底面半径为由三视图可知该几何体是底面半径为1,高为高为2的圆柱的圆柱,则则其表面积其表面积S=2π×1×2+2π=6π.答案答案:6π 8.一几何体的三视图如下图所示一几何体的三视图如下图所示,则这个几何体是由组合而成则这个几何体是由组合而成的的______________.答案答案:由正方体和三棱柱组合而成的由正方体和三棱柱组合而成的. 9.用单位正方体搭成一个几何体用单位正方体搭成一个几何体,使它的主视图和俯视图如图使它的主视图和俯视图如图所示所示,则符合条件的几何体体积最小值与最大值分别是则符合条件的几何体体积最小值与最大值分别是_____ ______.解析解析:最小值最小值10,最大值最大值16.答案答案:10 16 10.已知一个正三棱锥已知一个正三棱锥P——ABC的主视图的主视图,如图所示如图所示,则这个正则这个正三棱锥的斜高为三棱锥的斜高为__________. 三、解答题三、解答题11.下图是某几何体的直观图与三视图的左视图、俯视图下图是某几何体的直观图与三视图的左视图、俯视图.在在直观图中直观图中,2BN=AE,M是是ND的中点的中点.左视图是直角梯形左视图是直角梯形,俯视图俯视图是等腰直角三角形是等腰直角三角形,有关数据如图所示有关数据如图所示. (1)画出该几何体的主视图画出该几何体的主视图,并标上数据并标上数据;(2)求证求证:EM∥ ∥平面平面ABC. 解解:(1)主视图如图所示主视图如图所示.(2)由俯视图和左视图由俯视图和左视图,得得∠ ∠CAB=90°,DC=3,CA=AB=2,EA=2,BN=1,EA⊥ ⊥平面平面ABC,EA∥ ∥DC∥ ∥NB.取取BC的中点的中点F,连结连结FM、、EM、、AF, 12.如图如图,多面体多面体AED——BFC的直观图及三视图如图所示的直观图及三视图如图所示,M,N分别为分别为AF,BC的中点的中点. (1)求证求证:MN∥ ∥平面平面CDEF;(2)求多面体求多面体A——CDEF的体积的体积;(3)求证求证:CE⊥ ⊥AF. 解解:(1)证明证明:由多面体由多面体AED——BFC的三视图知的三视图知,三棱柱三棱柱AED——BFC中中,底面底面DAE是等腰直角三角形是等腰直角三角形,DA=AE=2,DA⊥ ⊥平面平面ABEF,侧面侧面ABFE,ABCD都是边长为都是边长为2的正方形的正方形.连接连接EB,则则M是是EB的中点的中点,在在△△EBC中中,MN∥ ∥EC,且且EC⊂ ⊂平面平面CDEF,MN⊄ ⊄平平面面CDEF,∴ ∴MN∥ ∥平面平面CDEF. (2)解解:因为因为DA⊥ ⊥平面平面ABEF,EF⊂ ⊂平面平面ABEF,∴ ∴EF⊥ ⊥AD.又又EF⊥ ⊥AE,∴ ∴EF⊥ ⊥平面平面ADE,∴ ∴四边形四边形CDEF是矩形是矩形,且侧面且侧面CDEF⊥ ⊥平面平面DAE,取取DE的中点的中点 (3)证明证明:∵ ∵DA⊥ ⊥平面平面ABEF,DA∥ ∥BC,∴ ∴BC⊥ ⊥平面平面ABEF,∴ ∴BC⊥ ⊥AF.∵ ∵面面ABFE是正方形是正方形,∴ ∴EB⊥ ⊥AF,∴ ∴AF⊥ ⊥面面BCE,∴ ∴CE⊥ ⊥AF.(本题也可以选择用向量的方法去解决本题也可以选择用向量的方法去解决) 。