2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括两道大题，36道小题，总分100分，考试时间120分钟.2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3．答题时，请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦拭干净后，再选涂其他答案标号.4．考试结束时，请将本试卷与答题卡一并交回.一、单项选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1. 设集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集运算法则即可计算得出.【详解】根据列举法表示的集合可知，由，，利用交集运算可得.故选：C2. 若实数满足，则（ ）A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数相等求出即可.【详解】因，所以，所以，故选：A.3. 若实数满足，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用不等式的性质逐项分析即可.【详解】因为，，所以，故A错误，B正确，由不等式两边同时加上或减去同一个实数不等号不改变，所以，故C，D错误，故选：B4 已知向量，，若，则实数（ ）A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.【详解】因为，则，又因为向量，，所以，则，故选：.5. 设命题p：，，则p否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】根据含有一个量词命题的否定可知，改变量词符号并否定结论即可.【详解】由题意可知，含有一个量词命题的否定将改为，并否定结论即可，所以命题p：，否定为“，”.故选：B6. 函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式可得，再利用一元二次不等式解法即可求得定义域.【详解】根据函数定义域可知，解得或；所以函数的定义域为.故选：D7. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当a取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算面积为的正方形区域的边长，其结果是（ ）A. 35.1 m B. 35.3 m C. 35.5 m D. 35.7 m【答案】A【解析】【分析】由结合题设公式得出结果.【详解】，即用“不加借算”的方法计算面积为的正方形区域的边长，其结果是35.1 m.故选：A8. 若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】因为，且，所以，又因为，所以，故选：.二、单项选择题（共28小题，每小题3分，共84分）9. 已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的夹角公式运算求解.【详解】由题意可得：，∵，∴向量的夹角为.故选：D10. 已知函数，则的最小值是（ ）A. B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】求时函数的最小值及时函数的最小值，最后两个最小值比较，谁最小即为函数的最小值.【详解】当时，函数在上单调递减，所以当时，函数有最小值为，当时，函数在上单调递增，所以，综上，当时，函数有最小值为1.故选：C11. 已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（ ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若m，n与所成的角相等，则【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理以及空间中线线垂直的关系可判断A正确，C错误；由线面平行性质定理以及线面角的定义可得BD均错误.【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A正确；若，，可知m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即B错误；若，，则直线可以在平面内，所以C错误；由线面角的定义可知，若m，n与所成的角相等，则m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即D错误.故选：A12. 在中，设，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.【详解】，则，故选：.13. 某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：天/第1234567件数285367463290335719698已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（ ）A. 8808 B. 9696 C. 10824 D. 11856【答案】C【解析】【分析】求出样本平均数，由此估计30天代收快递件数，并估算出服务费即可.【详解】样本数据7天代收快递的件数的平均数为：（件），∴每月（按30天计算）代收快递约为件，∴该驿站每月（按30天计算）收取的服务费约为元.故选：C.14. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数及复合函数的单调性逐项判断即可.【详解】对于A: 在上单调递减,A正确;对于B: 在上单调递增,在上单调递减，B错误；对于C:是，与复合在一起的复合函数，在是单调递增且，在是单调递减的，在是单调递增的，所以在是单调递减的，在是单调递增的，C错误；对于D:是，与，复合在一起的复合函数，在是单调递增，是单调递增的，所以是在的单调递增的，D错误.故选：A.15. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由“”“”，“”⇒“”，即可得最后结果．【详解】∵函数在上单调递增，∴当时，，即，反之亦成立，∴“”是“”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题主要考查必要条件、充分条件、充分必要条件的性质和应用，属于基础题.16. 将一块棱长为60 cm的正方体石块，磨制成一个球形石块，则最大球形石块的体积是（取）（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题可得当球形石块半径等于正方体石块棱长时体积最大，根据球的体积公式计算可得结果.【详解】由题意可得，该问题相当于求正方体内切球体积，易知当石块直径等于正方体棱长时其体积最大，即最大球形石块的半径为30 cm，根据球的体积公式可得.故选：B17. 已知函数（，）的图象如图所示，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图可得函数的最小正周期，从而可得，再利用待定系数法即可得解.【详解】由图可知，所以，所以，则，把代入得，，所以，则，又因，所以.故选：A.18. 已知定义在上的偶函数在上是增函数，且，则使的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】使用函数的奇偶性和单调性进行求解即可.【详解】∵是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，∴在区间上单调递减，且，∴当时，，当时，，综上所述，的取值范围是.故选：C19. 若圆锥的底面半径为3，体积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆锥底面半径和体积可计算出圆锥的母线，再根据侧面展开图的特征利用弧长公式即可得出圆心角.【详解】设圆锥的高为，母线为；将半径代入体积公式可得，；则母线长，设此圆锥的侧面展开图的圆心角为，则其侧面展开图的半径为，弧长为圆锥底面周长， 所以圆心角.故选：D20. 某旅游爱好者想利用假期去国外的2个城市和国内的3个城市旅游，由于时间所限，只能在这5个城市中选择两个为出游地．若他用“抓阄”的方法从中随机选取2个城市，则选出的2个城市都在国内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事件，得到基本事件的总数，找出满足条件的事件数，由概率公式求解即可.【详解】设国外的2个城市和国内的3个城市分别为：，则随机选取2个城市的基本事件为：，共10种，选出的2个城市都在国内的情况为：共3种，故所求概率.故选：D.21. 已知，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质，将，，与和进行比较即可.【详解】由已知，∵指数函数在上单调递增，且值域为，∴，∴，即又∵对数函数在区间单调递减，∴，即，即.综上所述，，，的大小关系为.故选：C.22. 已知，，，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】使用基本不等式求解即可【详解】∵，，，∴由基本不等式有： ，当且仅当，即，时，等号成立.∴当且仅当，时，的最大值为.故选：B.23. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式将函数写成，再根据平移规则即可得出相应的解析式.【详解】由可得，将其图象向右平移个单位长度可得.故选：B24. 某足球队进行点球训练，假设守门员不变，球员甲进球的概率为0.9，球员乙、丙进球的概率均为0.8．若3人各踢点球1次，且进球与否相互独立，则至少进2球的概率是（ ）A. 0.784 B. 0.864 C. 0.928 D. 0.993【答案】C【解析】【分析】利用相互独立事件的概率公式，求出3人都进球和3人中恰有2人进球的概率即可计算求解.【详解】由题意知：由相互独立事件的概率公式得，3人都进球的概率为，3人中恰有2人进球的概率，故至少进2球的概率为，故选：.25. 若，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由倍角公式结合换元法得出，继而得出的值.【详解】由题意可知，令，则解得（舍），故.故选：A26. 在中，若，，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理可计算出，再利用正弦定理即可得出.【详解】由题意可得，，，由余弦定理可得，即又可得；利用正弦定理可知，所以.故选：A27. 如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设，，有以下四个结论：①平面； ②平面；③直线与成角的余弦值为 ④直线与平面所成角的正弦值为．其中正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】对于①. 如图所示，连接, 取中点取中点.连接,证明，即可判断；对于②③④，取AB中点O, 建立如图所示的空间直角坐标系，设是的中心。
