课题课题：直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角和斜率教材教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学：普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学 第第 3 3 章第章第 1 1 节节一、教学目标：一、教学目标： 1 1、知识与能力：、知识与能力： (1)理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2)掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角. (3)理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系. 2 2、过程与方法：、过程与方法： (1)经历直线倾斜角概念的形成过程，理解直线倾斜角和斜率之间的关系. (2)从数与形两方面让学生明白，倾斜角和斜率都是刻画直线相对于 x 轴的倾斜程度.渗透数 形结合思想. (3)通过问题，层层设疑，提高学生分析、比较、概括、化归的数学思维能力,使学生初步了 解用代数方程研究几何问题的思路. 3 3、情感态度与价值观：、情感态度与价值观： 1．从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，让学生感受数学来源于生活，渗透辩 证唯物主义世界观. 2．帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内 在联系，体现数、形的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神. 二、教学重点：二、教学重点： 直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式推导和应用. 三、教学难点：三、教学难点： 倾斜角概念的形成，斜率公式的推导 四、教学方法与手段：四、教学方法与手段： 计算机辅助教学与发现法相结合.即在多媒体课件支持下，创设情境问题，层层设疑，制造 认知冲突，引发争论，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验 公式的推导过程，主动建构自己的认知结构.【教学过程】 一、知识导入一、知识导入 在初中，我们学过了函数的图象，知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对),(yx来表示和确定.那么直线呢？在平面直角坐标系中，问题：经过一点 P 的直线 L 的位置能确定吗? 预案：不能.如图, 过一点 P 就可以作无数多条直线.那么， 问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答 预案：(1)它们都经过点 P.(2)它们的“倾斜程度”不同. 那么，我们应该怎样描述这种不同直线的“倾斜程度”呢？〖 〖设计设计意意图图〗 〗学生学生刚刚刚刚学完立体几何，学完立体几何，对对解析几何已解析几何已经经有些陌生有些陌生.所以从所以从简单问题简单问题入手，便于激入手，便于激发发学生学学生学习热习热情，同情，同时时又能引入又能引入倾倾斜角的概念，起到承上启下的作用斜角的概念，起到承上启下的作用.二、知识探索二、知识探索( (一一) )直线倾的斜角直线倾的斜角 1．定义：直线 L 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 L 向上的方向之间 所成的角叫做直线 L 的倾斜角. 教师指出：对于定义的理解，我们强调的是 x 轴正向与直线 L 向上的方向所成的角.为了帮 助学生加深理解，此时，可以借助几何画板来直观呈现.如下图所示：教师在演示的过程中再次向学生强调：从 x 轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角 就是直线 L 的倾斜角.〖 〖设计设计意意图图〗 〗学生开始学生开始对倾对倾斜角概念斜角概念还还有些模糊，再此数形有些模糊，再此数形结结合，向学生合，向学生动态动态、直、直观观的展示的展示给给定定直直线倾线倾斜角的形成斜角的形成过过程，加深学生程，加深学生对对概念的理解概念的理解.【快速练习一】 1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )A B C D 2．请标出下列直线 L 的倾斜角.〖 〖设计设计意意图图〗 〗该题组该题组的的设计设计均均为为加深学生加深学生对倾对倾斜角概念的理解斜角概念的理解.第一第一题题比比较简单较简单，通，通过过 PPT 展展示出来后，示出来后，让让学生集体回答即可学生集体回答即可.第二第二题题稍稍难难一些，在一些，在实际实际授授课时课时，教，教师师将四个将四个图图形画到黑板上，形画到黑板上，请请一个同学到黑板上来画一个同学到黑板上来画.这这个个题题目看起来目看起来简单简单，而，而实际实际上，上，题题目中目中设设置了一些置了一些问题问题， ，图图（ （4）情况的）情况的倾倾斜角学生找一会儿，可就是找不到的！斜角学生找一会儿，可就是找不到的！这样这样就就给给学生的制造了一定的学生的制造了一定的认认知冲突，激知冲突，激发发了学生学了学生学习习探究的探究的兴兴趣，同趣，同时时加深了学生加深了学生对图对图（ （4） ）这这种特殊情况下种特殊情况下倾倾斜角的斜角的记忆记忆.教师一边巡查一边指导.待学生完成后指出，图（1）的倾斜角是锐角，图（2）是钝角，图 （3）是直角.那图（4）呢？问题：为什么图（4）的倾斜角我们没能标出来呢？那么它到底应该是多少呢？ 学生可能难以回答.此时让学生再看到倾斜角的定义，然后学生可以发现： 预案：定义中的倾斜角是要求直线 L 与 x 轴相交的，而图（4）中的直线 L 却是与 x 轴平行 的. 教师指出：因此，对于图（4）的直线的倾斜角并不能用该定义标出.所以，我们对于此类直 线，也就是当直线 L 与 x 轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为 00. 所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线 L 倾斜角的范围为：00≤＜1800.〖 〖设计设计意意图图〗 〗至此，直至此，直线倾线倾斜角的定斜角的定义义从引入到解从引入到解读读基本完成基本完成.由易到由易到难难，由旧到新，符合学生，由旧到新，符合学生的的认认知知过过程程.学生很自然的完成了知学生很自然的完成了知识识的的过过渡，并通渡，并通过动态过动态演示、演示、认认知冲突加深了知冲突加深了对倾对倾斜角斜角这这个概个概念的理解，念的理解，让让学生明白了学生明白了“直直线线的的倾倾斜角通俗的斜角通俗的讲讲就是直就是直线对线对 x 轴轴正方向的正方向的倾倾斜程度斜程度.”为为了更加深了更加深直直线线和和倾倾斜角之斜角之间间的关系，我的关系，我们继续们继续提提问问： ：问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？ 预案：有且只有一个. 问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？ 预案：无数条.它们都是互相平行的.如右图. 所以仅有倾斜角是不能确定直线的！ 问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？ 预案：再加一个点.即一个点 P 和倾斜角可以唯一确定一条直线.〖 〖设计设计意意图图〗 〗每提出一个每提出一个问题问题， ，让让学生自己先行思考，或是合作学生自己先行思考，或是合作讨论讨论，老，老师师再加以点再加以点评评.以加深以加深对对直直线倾线倾斜角的理解，明晰直斜角的理解，明晰直线线和和倾倾斜角之斜角之间间的关系的关系.（二）直线的斜率（二）直线的斜率 问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量 呢？ 学生可能难以回答此问题.老师可以慢慢引导. 在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度 即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）.其实坡度的实 际就是倾斜角的正切.用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度. 1 1．直线斜率的定义．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.用小写字母 k 表示，即tank.【快速练习二】 已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率.（1）030 （2）060 （3）090 （4）0120〖 〖设计设计意意图图〗 〗学生学生对对于初中学于初中学过过的特殊角的三角函数的特殊角的三角函数值值已已经经有些陌生，在此既复有些陌生，在此既复习习特殊角的三特殊角的三角函数角函数值值，又熟悉直，又熟悉直线线斜率的求法斜率的求法.对对于（于（4）要告）要告诉诉同学同学们们公式公式0tan(180)tan （ （是是锐锐角）角）.同同时时，根据，根据题题目可以目可以总结总结出一些出一些结论结论，承上启下，承上启下.教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为）①090000k ②01809000k ③000k ④不不不k090我们也可以通过几何画板来直观演示斜率的正负和倾斜角的关系，请大家看屏幕.(略) 问题：任何一条直线都有斜率吗？ 预案：倾斜角为 900的直线没有斜率. 教师：所以，我们要知道，所有的直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都有斜率的.〖 〖设计设计意意图图〗 〗加深加深对倾对倾斜角和斜率之斜角和斜率之间间的关系的理解的关系的理解.2 2．过两点的直线斜率的公式．过两点的直线斜率的公式 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了.我们知道，如果给定直线的倾斜角 90，我们当然可以根据斜率的定义tank求出直线的斜率.我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，那么怎么求出 该直线的斜率呢？也就是：问题：已知直线 L 上两个点的坐标),(),,(222111yxPyxP，21xx ，如何求直线 L 的斜率呢？对于这个问题，学生一下难以回答.教师可以先给出一个图形（图一） ，一定要让学生结合图 形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出1212 xxyyk.图一 图二 图三 教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，那么当为钝角时，公式还成立吗？在此老师要适当引导学生，得出0180(如图三)，再利用诱导公式0tan(180)tan 钝角的情况转化为锐角来求解.具体过程由同学们自己推导.让一个学生到黑板上推导.〖 〖设计设计意意图图〗 〗整个斜率的推整个斜率的推导过导过程体程体现现了数形了数形结结合和分合和分类讨论类讨论的思想，教学中一定要向学生不的思想，教学中一定要向学生不断渗透断渗透这这些数学思想些数学思想.师师生共同完成了生共同完成了倾倾斜角斜角为锐为锐角的推角的推导过导过程，而程，而倾倾斜角斜角为钝为钝角的推角的推导则导则通通过过教教师师引引导导，由学生自己完成，，由学生自己完成，让让学生真正体会到知学生真正体会到知识识的形成的形成过过程，并利用程，并利用这这一一过过程将外在的知程将外在的知识识点内点内化成自身知化成自身知识识体系的一部分，完成知体系的一部分，完成知识飞跃识飞跃，完善知，完善知识结识结构构.问题：当=00时，公式1212 xxyyk还成立吗？预案：当=00时，直线与 x 轴平行或重合.000tan.12yy ，此时0k，所以当=00时公式依然成立. 问题：与 P1，P2在直线上的顺序有关吗？ 让学生思考，讨论.学生开始会觉得与顺序有关，但是后来有觉得应该是没有关系的，但说 不出具体的利用.此时教师结合几何画板，再结合图象，拖动点 P1，P2的位置，让学生直观发现 直线 L 的斜率并没有因 P1，P2位置的改变而改变.详细推导过程留给学生课外完成.预案:无关.即21yy ,和21xx ,在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换.问题：从几何角度怎样理解公式中要求21xx 呢？预案：当21xx ，直线垂直x轴，倾斜角为 900，此时斜率不存在.所以一定要注意公式适用的范围.〖 〖设计设计意意图图〗 〗通通过问题过问题引引导导， ，层层层层推推进进，分解公式，分解公式难难点，挖掘公式中的点，挖掘公式中的隐隐含知含知识识点点.同同时结时结合几合几何画板，加深何画板，加深对对公式的理解公式的理解.留下一定的思考留下一定的思考题题，将，将课课堂内容延伸到堂内容延伸到课课外，培养学生合作。