[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题线性代数矩阵的特征值和特征向量(一)一、填空题问题:1. 设A为n阶矩阵，｜A｜≠0，A*为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．若A有特征值λ，则(A*)2+E必有特征值是______．答案:．解 因λ为A的特征值，故存在非零列向量X，使 AX=λX 两端左乘A*并利用A*A=｜A｜E，得 ｜A｜X=λA*X 因为A可逆，故λ≠0，两端同乘，得 两端左乘A*，得 两端同加X，得 由定义即知为(A*)2+E的一个特征值． 本题主要考查特征值和特征向量的定义与性质．如果可逆方阵A有特征值λ，则为A-1的特征值，为A*的特征值，这是常常用到的一个性质．如果λ为方阵B的特征值，f(B)为B的多项式，则f(λ)为f(B)的特征值．这些结论都可以利用特征值和特征向量的定义推出来．更进一步，有：如果λ1，λ2，…，λn为n阶方阵B的全部特征值，则f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn)为方阵f(B)的全部特征值利用这些结论，就很容易写出本题答案来：令多项式f(x)=x2+1，则(A*)2+E=f(A*)．因为A*有特征值，故f(A*)有特征值．问题:2. 设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．答案:λ1=n，λ2=λ3= … =λn=0．解 由 =(λ-n)λn-1=0 即得A的特征值为λ1=n，λ2=λ3= … =λn=0． 本题考查特征值的概念及简单”阶行列式的计算．做本题时，可以只计算n=2(或n=3)的情形，并由此类推出n阶的情形． 问题:3. 设A为2阶矩阵，α1，α2为线性无关的2维向量，Aα1=0，Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为______．答案:解1 由α1，α2线性无关，知2α1+α2≠0，又由已知条件知A(2α1+α2)=2Aα1+Aα2=0+2α1+α2=2α1+α2=1·(2α1+α2)，于是由定义知λ=1为A的一个特征值且2α1+α2为对应的一个特征向量． 解2 由条件知方阵P=[α1，α2]可逆，且 AP=A[α1，α2]=[Aα1，Aα2]=[0，2α1+α2] ， 两端左乘P-1，得，即A与D相似，因为相似矩阵有相同的特征值，而容易求得D的特征值为0，1．因此A的非零特征值为1． 本题综合考查线性无关、特征值与特征向量的基本概念．注意本题解1没有涉及到方阵A的阶数及向量α1，α2的维数，而解2用到[α1，α2]为方阵、即α1，α2为2维列向量的条件，因此解1更具一般性． 问题:4. 若3维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为______.答案:解1 由于αTβ=2，故β≠0，且有 (βαT)β=β(αTβ)=2β， 于是由特征值与特征向量的定义，知2为方阵βαT的一个特征值且β为对应的一个特征向量．下面还可证明方阵βαT只有一个非零特征值．首先可证方阵βαT的秩为1：由βαT≠0知r(βαT)≥1，又由r(βαT)≤r(β)=1，知r(βαT)=1，故0为βαT的特征值．其次可证0为βαT的2重特征值：由于齐次线性方程组(0-βαT)x=0的基础解系所含向量的个数——即方阵βαT的属于特征值0的线性无关特征向量的个数=3-r(βαT)=3-1=2，所以0至少是βαT的2重特征值，但不会是3重特征值(否则βαT=0)．既然3阶方阵βαT有2重特征值0，因此其非零特征值就只能有一个． 解2 同解1可证3阶方阵βαT的特征值为λ1=λ2=0，λ3≠0． 设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则 利用方阵所有特征值之和等于方阵主对角元之和，得方阵βαT的非零特征值为λ3=0+0+λ3=b1a1+b2a2+b3a3=βTα=αTβ=2． 解3 同解2，具体写出矩阵A=βαT，下面利用定义求A的特征值．由于α≠0，β≠0，不妨设a1b1≠0． 由此得A的特征值为λ1=λ2=0，，故A的非零特征值为2． 本题主要考查矩阵的运算、特征值与特征向量的定义与性质．当然，作为填空题，在求出A的一个非零特征值之后，即可完成本题，因此本题解1最为简单． 问题:5. 设α1=(1，2，0)T和α2=(1，0，1)T都是方阵A的对应于特征值2的特征向量，又β=(-1，2．-2)T，则Aβ=______．答案:Aβ=2β=(-2，4，-4)Tβ=α1-2α2也是A的属于特征值2的特征向量，故Aβ=2β=(-2，4，-4)T．问题:6. 设λ1、λ2为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值，X1为对应于λ1的一个单位特征向量，则矩阵B=有两个特征值为______．答案:0，λ2．设X2是A的属于λ2的一个特征向量，则BX1=AX1-=λ1X1-λ1X1=0=0X1，BX2=AX2-=AX2-λ1X10=AX2=λ2X2．故B有特征值0和λ2．问题:7. 设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，则行列式｜B-1-E｜=______．答案:24．B的特征值为，B-1的特征值为2，3，4，5，B-1-E的特征值为1，2，3，4，方阵的全部特征值的乘积等于方阵的行列式，故｜B-1-E｜=1×2×3×4=24．问题:8. 设3阶矩阵A的特征值为，则行列式=______．答案:1620．｜A｜=，A*=｜A｜A-1=，+12A*-E=2(A-1)2+A-1-E=f(A-1)，其中f(x)=2x2+x-1，A-1的特征值为：2，2，3，故f(A-1)的特征值为：f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20，故｜f(A-1)｜=9×9×20=1620．问题:9. 设向量α=(1，0，-1)T，矩阵A=ααT，a为常数，n为正整数，则行列式｜aE-An｜=______．答案:a2(a-2n)．实对称矩阵A的特征值为0，0，2，故存在可逆矩阵P，使P-1(aE-An)P=aE-P-1AnP=aE-(P-1AP)n=，两端取行列式，得｜aE-An｜=a2(a-2n)．二、选择题问题:1. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是______A.λ1≠0B.λ2≠0C.λ1=0D.λ2=0答案:B解1 由λ1≠λ2及特征值的性质知α1，α2线性无关．显然，向量组{α1，A(α1+α2)}={α1，λ1α1+λ2α2}等价于向量组{α1，λ2α2}．当λ2≠0时，它线性无关，当λ2=0时，它线性相关，故α1，A(α1+α2)线性无关λ2≠0． 解2 由条件知α1，α2线性无关，而 [α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=． 由于用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，得 α1，A(α1+α2)线性无关． 本题综合考查线性无关的概念及特征值的性质． 问题:2. 设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于______ A． B． C． D． 答案:D解1 设λ为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有Amξ=λmξ(m=1，2，…)，故有 (A2+A)ξ=Oξ=0， 即 (λ2+A)ξ=0， 因ξ≠0，得λ2+λ=O，从而有λ=0或λ=-1，又因r(A)=3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：-1，-1，-1，0，所以只有选项D正确． 解2 设A按列分块为A=[α1 α2 α3 α4]，由r(A)=3，知A的列向量组的极大无关组含3个向量，不妨设α1，α2，α3是A的列向量组的极大无关组．由于A2=-A，即 A[α1 α2 α3 α4]=-[α1 α2 α3 α4]， 即 [Aα1 Aα2 Aα3 Aα4]=[-α1 -α2 -α3 -α4]， 得Aαj=-α，j=1，2，3，4． 由此可知-1是A的特征值值且α1，α2，α3为对应的3个线性无关的特征向量，故-1至少是A的3重特征值．而r(A)=3＜4，知O也是A的一个特征值．于是知A的全部特征值为：-1，-1，-1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故A相似于对角矩阵D=diag(-1，-1，-1，0)，故选项D正确． 本题综合考查特征值与特征向量的概念与性质、方阵相似于对角矩阵的概念与条件．注意解1的方法要用到A为实对称矩阵这一条件，因为实对称矩阵必可对角化，而且对于可对角化的方阵A来讲，A的非零特征值的个数正好等于A的秩．而本题解2的方法适用面更宽，它不需要A为实对称矩阵这一假定，即本题若去掉“A为实对称矩阵”的条件，结论仍然成立． 问题:3. 矩阵与相似的充分必要条件为这______A.a=0，b=2．B.a=0，b为任意常数．C.a=2，b=0．D.a=2，b为任意常数．答案:B解 B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，b，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有 ， 由此得a=0．当a=0时，矩阵A的特征多项式为 ， 由此得A的全部特征值为2，b，0．以下可分两种情形： 情形1：若b为任意实数，则A为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时A必相似于B．综上可知，A与B相似的充分必要条件为a=0，b为任意常数．所以只有选项B正确． 情形2：若b是任意复数而不是实数，则3阶矩阵A有3个互不相同的特征值，因此A必相似于对角矩阵B．只有选项B正确． 本题综合考查方阵与对角矩阵相似的条件及特征值的计算．本题当a=0，b=2时，A有2重特征值2，此时可验证矩阵的秩为1，从而知对应于A的2重特征值2，有2个线性无关的特征向量，而另一特征值0为单特征值，所以此时A必相似于对角矩阵B，但实际上没有必要做这个验证，因为此时A为实对称矩阵，A必相似于对角矩阵．同样当a=0，b=0时，也不需验证矩阵-A的秩是否为1． 问题:4. 与矩阵相似的矩阵是______ A． B． C． D． 答案:CA与对角矩阵D相似A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=2，且A的对应于2重特征值1的线性无关特征向量的个数为2。
后一条件即方程组(E-A)x=0的基础解系含2个向量，即3-r(E-A)=2，或r(E-A)=1，经验证，只有备选项C中的矩阵满足上述要求．问题:5. n阶方阵A有n个两两不同特征值是A与对角矩阵相似的______A.充分必要条件．B.充分而非必要的条件．C.必要而非充分条件．D.既非充分也非必要条件．答案:B问题:6. 设A、B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是______A.秩(A)=秩(B)．B.｜A｜=｜B｜．C.A、B有相同的特征多项式．D.A、B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn且λ1，λ2，…，λn两两不同．答案:D当n阶方阵有n个互不相同特征值时，它也相似于对角矩阵．故在选项D的条件下，存在适当的可逆矩阵P、Q，使P-1AP=D，Q-1BQ=D．其中D=diag(λ1，λ2，…，λn。
