6.3 平面向量基本定理及坐标表示,第六章 平面向量及其应用,6.3.5 平面向量数量积的坐标表示,学习目标： 1. 掌握用坐标表示平面向量的数量积； 2. 会用坐标表示两个平面向量的夹角； 3. 能用坐标表示平面向量垂直的充要条件. 教学重点： 平面向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件的坐标表示. 教学难点： 平面向量数量积的坐标表示的应用,想一想,复习 平面向量数乘运算的坐标表示：已知 =( ，,，,问题1 已知 = ( 1 ， 1 )， = ( 2 ， 2 ) ，怎样用坐标表示 呢,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,因为 = 1 i + 1 j ， = 2 i + 2 j ， 所以 = 1 i + 1 j 2 i + 2 j = 1 2 i 2 + 1 2 i j + 1 2 j i + 1 2 j 2 . 又 i i =1， j j =1， i j = j i =0， 所以 = 1 2 + 1 2,问题2 用坐标表示向量的模,若 =( ，)，则 | | 2 = 2 + 2 ， | |= 2 + 2,如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( 1 ， 1 )， ( 2 ， 2 )，那么 = ( 2 1 ， 2 1 ， | |= 2 1 2 + 2 1 2,问题3 复习：设 ， 是非零向量,=0,如何用坐标表示两个向量垂直,设 = ( 1 ， 1 )， = ( 2 ， 2 ) ，则 1 2 + 1 2 =0,解：如图，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我们发现是直角三角形.证明如下： 因为 = 21，32 =(1，1)， = 21，52 =(3，3)， 所以 =1 3 +13=0. 于是 . 因此，是直角三角形,例10 若点A 1，2 ，B 2，3 ，C(2，5)，则是什么形状？证明你的猜想,设 ， 都是非零向量， = ( 1 ， 1 )， = ( 2 ， 2 ) ， 是 与 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得 cos= | | | = 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 2 2 + 2 2,解： =5 6 + 7 4 =30+28=2. 因为 = 5 2 + (7) 2 = 74 ， = (6) 2 + (4) 2 = 52 ，所以用计算器计算可得 cos= | | | = 2 74 52 0.03. 利用计算器中的“ cos 1 ”键，得92,例11 设 =(5，7)， =(6，4)，求 及 ， 的夹角（精确到1,例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos =coscos+sinsin,证明：如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B. 则 =(cos，sin)， =(cos，sin). 由向量数量积的坐标表示，有 =coscos+sinsin. 设 与 的夹角为，则 =| | |cos =cos. 所以cos=coscos+sinsin,另一方面，由图（1）可知，=2+；由图（2）可知，=2+. 于是=2，Z . 所以cos() =cos. 于是cos()=coscos+sinsin,练一练,已知向量 =(1，1)， =(0，2)，则下列结论正确的是（ ） A. / B. (2 ) C. | |=| | D. =3,B,解：对于A，因为2101=20，所以向量 ， 不平行，A错误；对于B，因为2 =(2，0)，所以(2 ) =20+02=0，则 (2 ) ，B正确；对于C，| |= 1+1 = 2 ，| |= 0+ 2 2 =2，C错误；对于D， =10+12=2，C错误；对于D， =10+12=2，D错误.故选B,练一练,2.已知 =(3，2)， =(1，0)，若向量 + 与 2 垂直，则实数的值为（ ） A. 1 7 B. 1 7 C. 1 6 D. 1 6,B,解：由向量 + 与 2 垂直，得( + )( 2 )=0. 因为 =(3，2)， =(1，0)， 所以 31，2)(1，2)=0 ，即3+1+4=0， 解得= 1 7 .故选B,练一练,已知向量 =(2，1 ， =(6，)，且 ，则=______,12,解： ， =12=0 ，解得=12,课堂小结 你学到了那些新知识呢,平面向量数量积的坐标表示； 用坐标表示两个平面向量的夹角； 用坐标表示平面向量垂直的充要条件。