2.1 整式（单元教学设计）一、【单元目标】通过回忆耳熟能详的儿歌——数蛤蟆，引发学生对代数式的思考，从小时候的记忆激发学生学习的兴趣，对代数式的概念进行思考与拓展，形成对知识的全面认识，从而促进学生思维的发展；（1）通过儿歌编造出一道代数式的题，让学生根据要求可以自主地用字母表示数，从而加强对代数式概念的理解，并且学会用字母来表示代数式的数量关系；（2）通过小组合作探究，让学生参与教学过程，加深对基础概念的理解，提升了学生的数学抽象素养，进一步发展了学生的类比推理素养；（3）通过典型例题的训练，加强学生的做题技巧，训练做题的方法，提升学生的逻辑推理素养；（4）在师生共同思考与合作下，学生通过概括与抽象、类比的方法，体会了归因与转化的数学思想，同时提升了学生的数学抽象素养，并发展了学生的逻辑推理素养； 二、【单元知识结构框架】1．用字母表示数：字母和数一样，可以参与运算，可以用式子把数量关系简明地表示出来．2．列式的注意事项：①数与字母、字母和字母相乘省略乘号；②数与字母相乘时数字写在前面．3、单项式的相关概念单项式概念：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式的系数概念：单项式中的数字因数，叫做这个单项式的系数．单项式的次数概念：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．4、多项式的相关概念多项式：几个单项式的和叫做多项式．多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项．常数项：不含字母的项叫做常数项．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数．整式：单项式与多项式统称整式．三、【学情分析】1．认知基础本节内容是本章的基础，学会用字母表示数，既考验学生对未知数的理解，同时也是对问题中的逻辑关系进行考察；单项式、多项式与整式的概念、区别要加以熟悉与辨别，不能混淆；2.认知障碍在理解单项式、多项式与整式的概念时，容易产生混乱，导致概念的不清晰；整式这一块会涉及到多项式的项数与次数问题，要注意怎么算多项式的次数；对于整式这一块的规律性问题，要学会由简到繁，从个例抽象出普遍规律；四、【教学设计思路/过程】课时安排： 约4课时教学重点： 掌握代数式表示数；单项式、多项式与整式的概念；教学难点： 学会正确区分单项式与多项式的概念；掌握单项式、多项式的系数、项数和次数等相关概念；五、【教学问题诊断分析】 【情景引入】我们不少同学都是唱着儿歌长大的，朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀．其中有一首名叫《数蛤蟆》的儿歌，你想起来了吗？一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，一声扑通跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，两声扑通跳下水；三只青蛙三张嘴，六只眼睛……，a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿，由此看出a是一个字母，它代表“很多只”的数量，用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系．今天我们就学习用字母表示数．2.1.1 用字母表示数问题1：（含字母式子的书写要求）同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许下列各式中，符合代数式书写要求的是( )(1)1x2y； (2)a×3；(3)ab÷2； (4).A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【破解方法】代数式的书写要求：(1)在代数式中出现的乘号，通常简写成“·”或者省略不写；(2)数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；(3)在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．【解析】(1)正确的书写格式是x2y，不符合要求；(2)正确的书写格式是3a，不符合要求；(3)正确的书写格式是ab，不符合要求；(4)符合要求．符合代数式书写要求的共1个．故选D.问题2：（用字母表示代数型的数量关系）用字母表示下列问题中的数量关系：(1)为落实“阳光体育”工程，某校计划购买m个篮球和n个排球，已知篮球每个80元，排球每个60元，购买这些篮球和排球的总费用为__________元．(2)在运动会中，一班总成绩为m分，二班比一班总成绩的还多5分，则二班的总成绩为________．(3)某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格为______________元．【破解方法】像这样的实际问题要先找出各个量之间的关系．要抓住关键词语，明确它们之间的意义及它们之间的关系，如和、差、积、商、大、小、多、少、倍、分等，注意数量关系的运算顺序，正确使用运算符号及括号．【解析】(1)用购买m个篮球的总价加上n个排球的总价表示．所以购买这些篮球和排球的总费用为(80m＋60n)元．(2)二班的总成绩＝m＋5.(3)根据题意得m(1＋50%)(1－30%)(1－10%)＝0.945m(元)．问题3：（用字母表示几何图形中的数量关系）用字母表示图中阴影部分的面积： (1) (2)【破解方法】将不规则图形的面积转化为规则图形(如长方形、圆、三角形等)的面积的和或差是解决求阴影部分面积问题的关键．【解析】(1)图中阴影部分的面积是正方形中挖去一个圆后剩下的部分，且正方形的边长是a，圆的直径也是a，圆的半径是；(2)图中阴影部分是长方形中挖去4个小正方形后剩下的部分，且长方形的长为a，宽为b，小正方形的边长为x.解：(1)S＝a2－π·()2；(2)S＝ab－4x2.问题4：（探究规律性问题）观察下列图形：它们是按一定规律排列的．(1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？(2)摆成第n个图案需要几个五角星？(3)摆成第2015个图案需要几个五角星？【破解方法】此题首先要结合图形具体数出几个值．注意由特殊到一般的分析方法．此题的规律为摆成第n个图案需要3n枚五角星．【解析】通过观察已知图形可得每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答．解：(1)根据题意得∵第1个图中，五角星有3个(3×1)；第2个图中，有五角星6个(3×2)；第3个图中，有五角星9个(3×3)；第4个图中，有五角星12个(3×4)；∴第n个图中有五角星3n个．∴第20个图中五角星有3×20＝60个．(2)由(1)可知，摆成第n个图案需要3n个五角星．(3)摆成第2015个图案需要五角星2015×3＝6045(个)．2.1.2 单项式问题5：（单项式的判断）下列代数式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，单项式有( )A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【破解方法】数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．分母中含字母的不是单项式，分子中含加、减运算的式子也不是单项式．【解析】2x，－ab2c，πr2，0，都符合单项式的定义，共4个．故选A.问题6：（确定单项式的次数与系数）分别写出下列单项式的系数和次数．(1)－ab2； (2)； (3).【破解方法】(1)当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．单项式的系数包括前面的符号．(2)我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.(3)π是圆周率，是一个确定的数，不是字母．【解析】单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可．解：(1)单项式的系数是－1，次数是3；(2)单项式的系数是，次数是6；(3)单项式的系数是，次数是3.问题7：（单项式的应用）用单项式表示下列各式，并指出其系数和次数．(1)王明同学买2本练习册花了n元，那么买m本练习册要花多少元？(2)正方体的棱长为a，那么它的表面积是多少？体积呢？【破解方法】此题考查了列代数式，用到的知识点是系数、次数、正方形的表面积公式、体积公式，根据题意列出式子是本题的关键．【解析】(1)根据买2本练习册花了n元，得出买1本练习册花元，再根据买了m本练习册，即可列出算式，再根据系数、次数的定义进行解答即可；(2)根据正方体的棱长为a和表面积公式、体积公式列出式子，再根据系数、次数的定义进行解答．解：(1)∵买2本练习册花了n元，∴买1本练习册花元，∴买m本练习册要花mn元，∴它的系数是，次数是2；(2)∵正方体的棱长为a，∴它的表面积是6a2，系数是6，次数是2；它的体积是a3，系数是1，次数是3.2.1.3 多项式问题8：（单项式、多项式与整式的识别）指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.【破解方法】(1)分母中含有字母(π除外)的式子不是整式；(2)单项式和多项式都是整式；(3)单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算．【解析】根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断．解：，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式．单项式有：－x，10，m2n，a7；多项式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.问题9：（确定多项式的项数与次数）写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式．(1)x2－3x＋5；(2)a＋b＋c－d；(3)－a2＋a2b＋2a2b2.【破解方法】(1)多项式的项一定包括它的符号；(2)多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，而不是各项次数的和；(3)几次项是指多项式中次数是几的项．【解析】根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案．解：(1)x2－3x＋5的项数为3，次数为2，二次三项式；(2)a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，一次四项式；(3)－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，四次三项式．问题10：（根据多项式的概念求字母的取值）已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．【破解方法】此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数．【解析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式．解：由题意得m＋2＝6，解得m＝4，此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.问题11：（与多项式有关的探究性问题） 若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值．【破解方法】多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.【解析】多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.解：∵关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，∴m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.问题12：（多项式的应用）如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草．如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元．那么美化这块空地共需多少元？【破解方法】用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间。
