第二章 有理数及其运算小结与复习一、有理数的意义1.有理数的分类（知识点：大于零的数叫正数，在正数前面加上“﹣” 读作负）号的数叫负数；如果一个正数表示一个事物2 也可写作+3，+ 82零 整数的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义；3， 8既不是正数，也不是负数 正整数整数有理数 有理数1 1，5.2 ，+5.2；零正有理数零正整数正分数 非负数分数正分数或负整数负有理数负分数负分数2.数轴知识点：数轴是数与图形结合的工具；数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴的三元素：原点、正方向、单位长度，这三元素缺一不可，是判断一条直线是否是数轴的根本依据；数轴的作用：1）形象地表示数（因为所有的有理数都可以用数轴上的点表示，以后会知道数轴上的每一个点并不都表示有理数），2）通过数轴从图形上可直观地解释相反数，帮助理解绝对值的意义， 3）比较有理数的大小：a）右边的数总比左边的数大，b）正数都大于零，c）负数都小于零，d）正数大于一切负数3. 相反数知识点: 只有符号不同的两个数互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等且分别在原点的两边；规定：0 的相反数是 0。
4. 绝对值知识点： 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离，数 a 的绝对值记作∣a∣；绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，即若 a＞0，则∣a∣＝a. 若 a＝0，则∣a∣＝0. 若 a＜0，则∣a∣＝﹣a ；绝对值越大的负数反而小；两个点 a 与 b 之间的距离为：∣a－b∣二、有理数的运算1. 有理数的加法知识点：有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得 0）；②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和 0 相加仍得这个数加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c）多个有理数相加时，把符号相同的数结合在一起计算比较简便，若有互为相反的数，可利用它们的和为 0 的特点2. 有理数的减法第 1 页 共 9 页 知识点：除法法则 1：除以一个数等于乘上这数的倒数，即 a÷b= a b =a· 1知识点：有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a－b=a+（-b）。
注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如 a－b 中的减号也可看成负号，看作 a 与 b 的相反数的和：a+（-b）；一个数减去 0，仍得这个数；0 减去一个数，应得这个数的相反数3. 有理数的加减混合运算知识点：有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一成加法运算以后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁4. 有理数的乘法知识点：乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数和 0 相乘都得 0几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：abc=a（bc） 乘法分配律：a（b+c）=ab+bc5. 有理数的除法b （b≠0 即 0 不能做除数）0除法法则 2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 除以任何一个不等于 0 的数都得 0倒数：乘积是 1 的两数互为倒数，即 a· 1 =1（a≠0），0 没有倒数a注意：倒数与相反数的区别6. 有理数的乘方知识点：乘方：求 n 个相同因数的积的运算。
乘方的结果叫幂，an中，a 叫做底数，n 叫做指数乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0 的任何次幂都为 07. 有理数的混合运算知识点：运算顺序：先乘方，再乘除，最后算加减，遇到有括号，先算小括号，再中括号，最后大括号，有多层括号时，从里向外依次进行技巧：先观察算式的结构，策划好运算顺序，灵活进行运算巩固练习 1】一.选择题1. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 （ ）A. 0 是整数 B. 0 是偶数 C. 0 是自然数 D. 0 既不是正数也不是负数2. –3.782： （ ）A. 是负数，不是分数 B. 不是分数，是有理数 C. 是分数，不是有理数 D. 是分数，也是负数1 1二、将下列各数填入相应的集合中 ，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，- 8 ，180，-42，7 2-45%，π，1整数：______________________ 自然数：___________________________正数：______________________ 负数： ___________________________第 2 页 共 9 页偶数：______________________ 奇数： ___________________________分数：______________________ 非负数：___________________________非负整数： _________________ 非正分数：_________________________非负有理数：________________ 有理数： __________________________三、填空题1、一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。
2、绝对值小于 3 的整数有 个3 、 -1 19的相反数的倒数是 4 、计算：(-1)2002 ´ (-22 ) ´ 0 = 5、如果 a 2 = 16 ，那么 a= 6、如果规定上升 8 米记作 8 米，那么－ 7 米表示______________7、最小的正整数是____，最大的负整数是_____，绝对值最小的有理数是_______8、 河道中的水位比正常水位低 0.2m 记作-0.2m，那么比正常水位高 0.1m 记作________9、一潜艇所在深度是-80 米,一条鲨鱼在艇上 30m 处,鲨鱼所在的深度是________巩固练习 2】一.填空题1. 数轴上与表示﹣2 点相距 3 个单位的点所表示的数是________2. 数轴表示+3 和﹣3 的点离开原点的距离是______个单位，这两个点的位置分别在_______点右边和左边3. 在有理数中最大的负整数是 ________, 最小的正整数是 ________, 最大的非正数是________, 最小的非负数是________.4. 用“＞”或“＜”号填空：1 ） 3.5 ____ 0 ; 2) ﹣ 2.8 ____ 0 ; 3) ﹣ 1.95 ____ 1.59 ; 4)____ ;5) ____ ﹣0.3 ; 6) ﹣0.67 ____ ; 7) ____ ;8) ﹣π ____ ﹣3.14 ; 9) ﹣1.6 ____ ﹣1.6 ; 10) ﹣( ) ____ ﹣(﹣∣∣) .【巩固练习 3】一.填空题1. 如果一个数的相反数是它本身, 则这个数是________.2. 如果一个数的相反数是最小的正整数, 则这个数是________.第 3 页 共 9 页3. 若 aa= 1 , 则 a 与 b________; 若 = -1, 则 a 与 b________; 若 a+b=0, 则 a 与b bb________.4. 在数轴上与－3 距离 4 个单位的点表示的数是5.写出大于-4 且小于 3 的所有整数为______________;二、求下列各数的相反数0.26 ； - 25；π－3 ；﹣a ；﹣x+1 ； m+1 ；2xy ；a－b 。
三、在数轴上表示出下列各数的相反数的点，并比较大小1 1 1- 3 ，4，﹣1.5， 2 ，0，1，8，﹣2，﹣（﹣4.5），∣ - ∣2 2 4【巩固练习 4】一.选择题1. ﹣∣﹣3∣是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或 0 D.负数或 02. 绝对值最小的整数是 （ ） A. 0 B. 1 C. –1 D. 1 和-11二、填空题 1.若 a＝ - 3 , 则∣a∣＝________; 若∣a∣＝3, 则 a＝________.22 1 2 32.﹣∣﹣ 4 ∣＝ ______; ∣﹣ 3 ∣－∣﹣ 1 ∣＝ ______; ∣﹣ 0.77∣÷∣ + 2 ∣＝3 4 3 4_______;3.绝对值小于 4 的负整数有 个，正整数有 个，整数有 个三、解答题1. 已知∣x+y+3∣=0，求∣x+y∣的值2. 已知 A，B 是数轴上两点，A 点表示﹣1，B 点表示 3.5，求 A，B 两点间的距离3. 已知：∣a＋2∣＋∣b－3∣=0，求 2a2－b＋1 的值巩固练习 5】计算：1） ﹣1 1 5 3－ ＋ －（ - ）； 2） 1－2＋3－4＋5－6＋…＋3 2 6 499－100；5 2 33） ﹣（﹣8）－∣﹣6∣－∣+8∣－（+7）； 4） (-2000 ) - (-1999 ) + (-4000 ) 。
6 3 4第 4 页 共 9 页（【巩固练习 6】计算：1） - 51 1 1 3 1 24）× 3 ； 2） - 2 × 2 ÷（ - 2 ）； 3）492 3 5 11 2 25×（－5）；1 1（24 243 7 7 3 7 7 24） 1 - + ）÷ (- ) ； 5）(- ) ÷（1 - + ）； 6） (-29 )4 8 12 4 8 12 7÷（－5）；3 32 1 【巩固练习 7】1.计算：（-5）3； -53； (- ) 2； - ；（-1）2001； (-1 ) 344 22. 若∣x＋1∣＋（2x－y＋4）2= 0 ，求代数式 x5y＋xy5 的。