微重点15 离心率的范围问题圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.考点一 利用圆锥曲线的定义求离心率的范围例1 (1)设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足∠F1PF2＝，则e1e2的最小值为( )A. B. C. D.答案为：A解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设|PF1|>|PF2|，由椭圆和双曲线的定义可得得设|F1F2|＝2c，因为∠F1PF2＝，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1﹣a2)2﹣2(a1＋a2)(a1﹣a2)cos ，整理得a＋3a＝4c2，故＋＝4.又4＝＋≥2＝，即2≥，所以e1e2≥，即e1e2的最小值为，当且仅当＝.即e1＝，e2＝时，等号成立.(2)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点(点M在第一象限).若|MN|＝|F1F2|，≥，则椭圆C的离心率e的最大值为( )A. B.﹣1 C. D.﹣1答案为：D解析：依题意作图，如图所示，由于|MN|＝|F1F2|，并且线段MN，F1F2互相平分，∴四边形MF1NF2是矩形，其中∠F1MF2＝，∴|NF1|＝|MF2|，设|MF2|＝x，则|MF1|＝2a﹣x，根据勾股定理得|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2，即x2＋(2a﹣x)2＝4c2，整理得x2﹣2ax＋2b2＝0，由于点M在第一象限，则x＝a﹣，由题意得＝≥，∠MF1F2≥，即|MF2|≥|F1F2|，a﹣≥c，整理得2a2﹣2ac﹣c2≥0，e2＋2e﹣2≤0，解得0＜e≤﹣1，即e的最大值为﹣1.规律方法 此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.跟踪演练1 如图，已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，其渐近线与圆x2＋y2＝a2在第二象限交于点P，过P作圆的切线过双曲线的左焦点且与右支交于点Q，若|PQ|>|QF2|＋|OF2|，则双曲线的离心率的取值范围是________.答案为：解析：因为OP⊥PF1，所以|PF1|＝＝b.由双曲线的定义得|PQ|＋b﹣|QF2|＝2a，所以|PQ|＝2a﹣b＋|QF2|，因为|PQ|>|QF2|＋|OF2|，所以2a﹣b＋|QF2|>|QF2|＋c，所以2a﹣b>c，即2a﹣c>b，所以2>b2＝c2﹣a2，所以21e2＋40e﹣125<0，所以(3e﹣5)(7e＋25)<0，所以e<，因为直线F1Q与双曲线的右支相交，所以tan∠QF1F2<，所以<，所以a20，所以e2>2，所以e>.所以b>0)，点P是C上任意一点，若圆O：x2＋y2＝b2上存在点M，N，使得∠MPN＝120°，则C的离心率的取值范围是( )A. B. C. D.答案为：C解析：连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α，∵存在M，N使得∠MPN＝120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，又α<90°，∴sin α≥sin 60°，连接OA，则sin α＝＝≥，∴|OP|≤.又P是C上任意一点，则|OP|max≤，又|OP|max＝a，∴a≤，则由a2＝b2＋c2，得e2≤，又0b>0)的左、右焦点，若在直线x＝﹣(c为半焦距)上存在点P，使|PF1|的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为( )A. B. C. D.答案为：B解析：如图所示，椭圆＋＝1，可得焦距|F1F2|＝2c，因为在直线x＝﹣上存在点P，使|PF1|的长度恰好为椭圆的焦距，可得|MF1|≤2c，即﹣c≤2c，可得a2≤3c2，即≥，解得≥，又因为椭圆的离心率e∈(0,1)，所以e∈.(2)已知双曲线C：﹣＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线一条渐近线于P，Q两点，若cos∠PAQ≥﹣，则该双曲线离心率的取值范围是( )A.(1，] B. C. D.[，＋∞)答案为：B解析：以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2，双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，由解得(不妨设)P(a，b)，Q(﹣a，﹣b)，A(﹣a，0)，所以＝(2a，b)，＝(0，﹣b)，所以cos∠PAQ＝＝＝﹣≥﹣，即≤，解得≤，所以双曲线的离心率10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C与直线y＝x有交点，且双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则双曲线离心率的取值范围为____________.答案为：(，2)解析：双曲线C与直线y＝x有交点，则>1，＝>1，解得e＝>，双曲线上存在不是顶点的点P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则P点在右支上，设PF1与y轴交于点Q，由对称性知|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，所以∠PF2Q＝∠PF2F1﹣∠QF2F1＝2∠PF1F2＝∠PQF2，所以|PQ|＝|PF2|，所以|PF1|﹣|PF2|＝|PF1|﹣|PQ|＝|QF1|＝2a，由|QF1|>|OF1|得2a>c，所以e＝<2，在△PF1F2中，∠PF1F2＋∠PF2F1＝4∠PF1F2<180°，∠PF1F2<45°，所以＝cos∠PF1F2>，即e＝>，综上，b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P使得·＝c2，则椭圆C的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.答案为：B解析：设点P(x，y)，·＝(﹣c﹣x，﹣y)·(c﹣x，﹣y)＝x2﹣c2＋y2＝x2﹣c2＋b2﹣x2＝x2﹣c2＋b2，因为0≤x2≤a2，所以b2﹣c2≤·≤b2，即b2﹣c2≤c2≤b2，结合b2＝a2﹣c2可得≤≤，所以e∈.2.已知双曲线﹣＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )A. B. C.2 D.答案为：B解析：方法一 由双曲线的定义知|PF1|﹣|PF2|＝2a，①又|PF1|＝4|PF2|，②故联立①②，解得|PF1|＝a，|PF2|＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝﹣e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，当cos∠F1PF2＝﹣1时，解得e＝，即e的最大值为.方法二 由双曲线的定义知，|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a，∵|F1F2|＝2c，∴a＋a≥2c，∴≤，即双曲线的离心率e的最大值为.3.已知双曲线M：﹣＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆O与双曲线M在第一象限交于点A，若tan∠AF2F1≤2，则双曲线M的离心率的取值范围为( )A.[，＋∞) B.(1，] C.(1，] D.[，＋∞)答案为：D解析：依题意可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，又|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(|AF2|＋2a)2＋|AF2|2＝4c2，得|AF2|＝﹣a＋，所以|AF1|＝2a＋|AF2|＝a＋，所以tan∠AF2F1＝＝≤2，得c2≥5a2，得e≥.4.已知双曲线C：﹣＝1(a>0，b>0)，直线x＝2a与C交于A，B两点(A在B的上方)，＝，点E在y轴上，且EA∥x轴.若△BDE的内心到y轴的距离不小于，则C的离心率的最大值为( )A. B. C. D.答案为：B解析：因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以A(2a，b)，B(2a，﹣b)，则|AB|＝2b.因为＝，所以A是线段BD的中点，又EA∥x轴，所以|ED|＝|EB|，EA⊥BD，所以△BDE的内心G段EA上.因为DG平分∠EDA，在△EDA中，由角平分线定理知＝，因为G到y轴的距离不小于，所以≥＝2，所以≥2，所以∠EDA≥60°，因此tan∠EDA＝＝≥，即a≥3b，≤，故1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )A.|QF1|＋|QF2|＝4B.当离心率为时，|QF1|的最大值为2＋C.椭圆C离心率的取值范围为D.存在点Q使得·＝0答案为：AB解析：由长轴长为4，故2a＝4⇒a＝2，由点Q在椭圆上，根据椭圆的定义得|QF1|＋|QF2|＝4，故A正确；当离心率为时，可得e＝＝⇒c＝，则|QF1|的最大值为2＋，故B正确；点P(，1)在椭圆内部，故＋<1⇒4>b2>2，椭圆C的离心率为e＝＝∈，故C错误；由选项C知，c＝ae∈(0，)，b∈(，2)，∴|OQ|min＝b>c，故不存在点Q使得·＝0，故D错误.6.(多选)已知O为坐标原点，双曲线C：﹣＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则( )A。
