[研究生入学考试题库]考研数学二模拟346一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的问题:1. 由图形所确定的平面区域的面积S可表示为 答案:D[解析] 方程表示圆心在y轴上，半径为且与原点相切的圆.r2=cos2θ表示双纽线．由对称性知其在第一、二象限所围的面积相等，只需计算第一象限部分的面积．当故有 问题:2. 设f(x)的二阶导数f"(x)存在，则求极限正确的方法是 答案:C[解析] (A)错．这是因为题设只说f"(x)存在，并未说明f"(x)连续，所以等式 皆未必成立． (B)错．此极限中，h是变量，而x是不变量，故使用洛比达法则时，分子、分母均应对变量h求导．此解错在分子是对x求导，而分母是对h求导． (D)错．事实上，这种解法运用的是乘积的求极限法则，但因不存在，故不能使用乘积的求极限法则 (C)对．因为这符合导数的定义． 问题:3. 设，则在区间(0,1)内，方程a0+a1x+…+anxn=0A.没有实根．B.至少有一个实根．C.仅有一个实根．D.是否有实根不能判定．答案:B[解析] 令，则f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 故由罗尔定理知．至少存在一点ξ∈(0,1),使f'(ξ)=0。
即a0+a1ξ+…+anξn，即方程a0+a1x+…+anxn=0至少有一根ξ∈(0,1)． 问题:4. 设f(x)，g(x)为恒大于0的可导函数，且(lnf(x))'＜(lng(x))'，则当a＜x＜b时，必有 答案:A[解析] (lnf(x))'＜(lng(x))'，所以 问题:5. 函数在点(0,0)处A.不连续且偏导数不存在．B.不连续但偏导数存在．C.连续且偏导数存在．D.连续但偏导数不存在．答案:B[解析] 例如，取y=kx，当x→0，y→0，于是 故f(x,y)在点(O,0)处不连续， 同理f'y(0,0)=0，说明f(x,y)在点(0,0)处有偏导数． 综上所述，选项(B)正确． 问题:6. (A) 0． (B) 1． (C) πr2． (D) 答案:B[解析] 由积分中值定理知，存在(ξ，η)∈{(x,y)|x2+y2≤r2}，使 问题:7. 设A是4×3阶的矩阵，且，则r(AB)为A.2．B.1．C.0．D.-1．答案:A[解析] 易见r(AB)≤r(A)， 又 A=(AB)B-1， 故 r(A)≤r(AB)， 从而 r(AB)=r(A)=2． 问题:8. 下列结论正确的是A.ξ1，ξ2是方程(A-λE)X=0的一个基础解系，则k1ξ1+k2ξ2是A的属于λ的全部特征向量，其中k1，k2是全不为零的常数．B.A，B有相同的特征值，则A与B相似．C.如果|A|=0，则A至少有一个特征值为零．D.设λ同是方阵A，B的特征值，则λ也是A+B的特征值．答案:C[解析] (A)错在于k1，k2是全不为零的常数；(B)错，因有相同特征值的矩阵未必相似，而相似矩阵有相同的特征值；(D)显然不成立．二、填空题问题:1. 答案:[解析] 问题:2. 设函数(c1，c2，c3为任意常数)为一微分方程的通解，则此微分方程为______.答案: (1+y'2)y'"-3y'y"=0．[解析] 求一微分方程，使所给函数满足此方程，且所求微分方程的阶数与函数中任意常数的个数相同．在所给函数中含有三个任意常数，所求方程必为3阶微分方程，因此，对(x-c1)2+(y-C2)2=；两边关于x连续求导3次，有 x-c1+(y-c2)y'=0， 1+y'2+(y-c2)y"=0， ① 2y'y"+y'y"+(y-c2)y'"=0． ② 由①解出 (1+y'2)y'"-3y'y"=0． 问题:3. 答案:[解析] 问题:4. 答案: arotan．[解析] 先求出f(x)的表达式，再由定积分算出结果． 问题:5. 设f(x,y,z)=xeyz2，其中z=z(x,y)为由方程确定的隐函数，则f'x(1,0,-1)=______．答案: -1．[解析] 由，两边对x求导，得 问题:6. ξ1，ξ2，ξ3，2ξ1+kξ2+3ξ3。
都是方程组AX=b(b≠0)的解向量，则参数k=______．答案: -4[解析] 由设知 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤问题:1. 设f(x)为可微函数，ξ为开区间(a,b)内一点，且有f(ξ)＞0，(x-ξ)f'(x)≥0，试证在闭区间[a,b]上必有f(x)＞0．答案: 由f(ξ)＞0，(x-ξ)f'(x)≥0，ξ∈(a,b)，知： 当x＞ξ，f'(x)≥0，从而f(x)单增，于是有f(x)≥f(ξ)＞0，x∈[ξ,b]； 当x＜ξ，f'(x)≤0，从而f(x)单减，于是有f(x)≥f(ξ)＞0，x∈[a,ξ]． 总之，f(x)＞0，x∈[a,b]．[解析] 利用函数的单调性． 问题:2. 求微分方程(y4-2xy)y'=y2+1满足初始条件y(0)=0的特解．答案: 将方程改写为 代入y(0)=0，得C=0． 故所求方程的特解为 [解析] 把方程中的y看做自变量，x看做y的函数，注意到y2+1≠0，则所给方程可以改写为一阶非齐次线性微分方程．问题:3. 设曲线L：r=r(θ)，P(r,θ)为L上任意一点，P0(2,0)为L上的一定点，且曲线L与极径OP0、OP所围成的曲边扇形面积值等于曲线L上P0，P两点间弧长值之半，试求曲线L的方程．答案:曲线L：r=r(θ)，P(r,θ)为L上任一点，P0(2,0)为L上的定点．由题意，知 此即所求曲线方程．[解析] 由题设，列出变上限积分等式，接着求导，得出微分方程，求得通解，再由题设定出特解，即为所求曲线方程． 问题:4. 已知函数f(x)=ax3+x2+2在x=0和x=-1处取得极值，试求f(x)的增减区间、极大值、极小值和拐点．答案: f'(x)=3ax2+2x=x(3ax+2)． 所以(-∞,-1)∪(0,+∞)为f'(x)的增区间，(-1,0)是减区间．是极大值，f(0)=2是极小值．点是曲线的拐点．[解析] 函数f(x)表达式中含有未知参数a，这可以用已知x=0和x=-1处取得极值来确定，分析f'(x)和f"(x)的正负就可以定出f(x)的增减区间和极大值，极小值、拐点．问题:5. 设f(x)存[a,b]上连续，在(a,b)内可导f'(x)单调减小．试证： 答案: 令 则有 F(a)=0， 因f'(x)单减，故F'(x)≥0．从而F(x)单增． 即当x＞a，有F(x)≥F(a)=0，即有F(b)≥0． [解析] 构造辅助函数，利用微分中值定理及f'(x)单减性即可证之．问题:6. 答案: [解析] 先由In的表达式，导出计算In的递推关系式，再利用反证法证明．问题:7. 设函数f(x)二阶可导，x∈[a,b]，则至少存在一点ξ∈(a,b)，使 答案: 将f(x)在点处展为一阶泰勒公式，有 [解析] 利用一阶泰勒公式，取 问题:8. 设A，B皆为m×n矩阵，证明： r(A±B)≤r(A)+r(B)． 答案: 设α1，α2，…αn与β1，β2，…，βn分别为矩阵A与B的列向量，于是 A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)， 且有 A+B=(α1+β1，α2+β2，…，an+βn)． 这就是说，A+B的列向量可由向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn线性表出，故有 r(A+B)≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn) ≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn) =r(A)+r(B)． 易知r(-B)=r(B)，故 r(A-B)≤r(A)+r(-B)=r(A)+r(B)．[解析] 利用矩阵与向量组的关系以及秩的概念证之． 9. 求t的值： 答案:(I)二次型对应矩阵为，由二次型的秩为2，知0，得t=0．[解析] (Ⅰ)根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求t的值；10. 求正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化成标准形；答案:这里，可求出其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0． 解(2E-A)x=0，得特征向量为： 解(0E-A)x=0，得特征向量为： 由于α1，α2已经正交，直接将α1，α2，α3单位化，得 令Q=(η1，η2，η3)，即为所求的正交变换矩阵，由X=QY，可化原二次型为标准形[解析] (Ⅱ)是常规题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；11. 求方程f(x1，x2 ，x3)=0的解．答案:由，得y1=0，y2=0，y3=k(k为任意常数)．从而所求解为X=，其中c为任意常数．[解析] (Ⅲ)利用第二步的结果，通过标准形求解即可． 本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准形以及方程组求解等多个知识点．。