第四节二、欧拉方程二、欧拉方程二阶常系数非齐次线性微分方程 一、二阶常系数非齐次线性方程解法一、二阶常系数非齐次线性方程解法 第九章 ★★ 2 2二阶常系数非齐次线性方程：二阶常系数非齐次线性方程：一、二阶常系数非齐次线性方程解法一、二阶常系数非齐次线性方程解法对应齐次线性方程对应齐次线性方程:(1)的通解结构的通解结构:如何求如何求(1)的特解？的特解？方法：方法：待定系数法待定系数法. 3 3类型类型1.设非齐次线性方程设非齐次线性方程(1)的特解为的特解为x的待定的待定多项式多项式 4 4代入方程代入方程(1), 得得 5 5 6 6 7 7 8 8综上所述：综上所述：注注上述结论可推广到上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程微分方程(k 是重根次数是重根次数). 9 9例例1解解 1010不是特征根，不是特征根，是特征单根，是特征单根，由解的叠加原理，由解的叠加原理， 1111解解2° 对应齐次线性方程通解对应齐次线性方程通解1°特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程, 得得例例2 1212例例3解解(1)(2)(2)之通解：之通解： 1313代入代入(1)，得，得故故(1)有特解：有特解：(1)的通解为：的通解为： 1414另另法法:方程方程(1)为为:(2)之通解：之通解： 1515代入代入(1)，得，得故故(1)有特解：有特解：(1)的通解为：的通解为： 1616 = +i k非非特征根特征根0特征根特征根1类型类型2. 1717解解2º 对应齐次线性方程的通解对应齐次线性方程的通解例例4 1818代入原方程，得代入原方程，得 1919比较同类项系数：比较同类项系数：从而原方程有特解：从而原方程有特解：故原方程通解为故原方程通解为 2020例例5解解 2121 2222 2323例例6解解 2424例例7解解 2525 2626 2727解法：解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.二、欧拉方程二、欧拉方程形如形如的方程的方程(其中其中 叫叫欧拉方程欧拉方程.为实常数为实常数)特点：特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．变量的方次数相同．★★ 2828作变量变换作变量变换将自变量换为将自变量换为 2929用用表示对自变量表示对自变量求导的运算求导的运算上述结果可以记为上述结果可以记为 3030将上式代入欧拉方程，则化为以将上式代入欧拉方程，则化为以 为自变量为自变量的常系数线性微分方程：的常系数线性微分方程：求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 换为换为 ，， 即得到原方程的解即得到原方程的解.一般地，一般地，注注与与(8.6)对应的齐次线性方程的对应的齐次线性方程的特征方程特征方程为：为： 3131例例8 求欧拉方程求欧拉方程的通解．的通解．解解 作变量变换作变量变换原方程化为原方程化为即即或或(1) 3232或或(1)方程方程(1)所对应的齐次线性方程为所对应的齐次线性方程为其特征方程其特征方程特征方程的根为特征方程的根为 3333所以齐次线性方程的通解为所以齐次线性方程的通解为设方程设方程(1)的特解为的特解为代入方程代入方程(1)，，得得故方程故方程(1)的通解为的通解为特征方程的根为特征方程的根为变量代回，得所给欧拉方程的通解变量代回，得所给欧拉方程的通解 3434内容小结内容小结待定系数法：待定系数法： 3535写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式. . 思考题思考题 3636思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（（重根）重根） 37371.解解综合题综合题 3838 3939备用题备用题例例1-1解解 4040 4141 4242解解例例2-1特征根：特征根： 4343 4444解解例例3-1 4545 4646解解 对应齐线性方程的通解对应齐线性方程的通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例4-1 4747原方程的特解为：原方程的特解为：原方程通解为：原方程通解为：（（取实部）取实部）注注. 4848解解例例6-1 4949 5050 5151课堂练习课堂练习解解 5252 5353 5454 5555 5656 5757 5858 5959 。