第三章时间响应分析机械工程控制基础第三章时间响应分析第三章时间响应分析一、时间响应及其组成1、时间响应定义:在输入作用下,系统的输出(响应)在时域的表现形式,在数学上,就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程2、时域分析的目的第三章时间响应分析2、典型示例分析在时间域,研究在一定的输入信号作用下,系统输出随时间变化的情况,以分析和研究系统的控制性能优点:直观、简便第三章时间响应分析则有:第三章时间响应分析其解可分解为:3、一般情况其解可分解为:第三章时间响应分析结论:1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性,与系统的初态无关第三章时间响应分析4、瞬态响应和稳态响应系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡若所有的ResS0,则自由响应逐渐增大,当t→+∞无穷时自由响应趋于无穷,自由响应不称为瞬态响应稳态响应一般就是指强迫响应p85第三章时间响应分析特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况,虚部绝对值越大,则自由响应项的振荡越剧烈二、典型输入信号1、定义:一般,系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动,扰动通常是随机的,即使对控制输入,有时其函数形式也不可能事先获得。
在时间域进行分析时,为了比较不同系统的控制性能,需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础这些信号称为控制系统的典型输入信号第三章时间响应分析2、作用:在实际中,输入信号很少是典型输入信号,但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系,所以,只要知道系统对典型输入信号的响应,再利用关系式:就能求出系统对任何输入的响应3、对典型输入信号的要求q形式简单,便于解析分析;q能够使系统工作在最不利的情形下;q实际中可以实现或近似实现第三章时间响应分析4、常用的典型输入信号Asint正弦信号1(t),t=0单位脉冲信号单位加速度信号t,t0单位速度(斜坡)信号1(t),t0单位阶跃信号复数域表达式时域表达式名称第三章时间响应分析能反映系统在工作过程中的大部分实际情况;5、典型输入信号的选择原则如:若实际系统的输入具有突变性质,则可选阶跃信号;若实际系统的输入随时间逐渐变化,则可选速度信号注意:对于同一系统,无论采用哪种输入信号,由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变第三章时间响应分析三、一阶系统的时间响应1、一阶系统(惯性环节)极点(特征根):-1T2、一阶系统的单位脉冲响应xo(t)1T0t0.3681T斜率xo(t)T第三章时间响应分析Ø一阶系统单位脉冲响应的特点q瞬态响应:(1T)e–tT;稳态响应:0;qxo(0)=1T随时间的推移,xo(t)指数衰减;q对于实际系统,通常应用具有较小脉冲宽度(脉冲宽度小于0.1T)和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
q第三章时间响应分析3、一阶系统的单位阶跃响应10.6321TA0B斜率=1T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章时间响应分析Ø一阶系统单位阶跃响应的特点q响应分为两部分ü瞬态响应:表示系统输出量从初态到终态的变化过程(动态过渡过程)ü稳态响应:1表示t时,系统的输出状态qxo(0)=0,随时间的推移,xo(t)指数增大,且无振荡xo()=1,无稳态误差;qxo(T)=1-e-1=0.632,即经过时间T,系统响应达到其稳态输出值的63.2%,从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T;第三章时间响应分析时间常数T反映了系统响应的快慢通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时,认为系统响应过程基本结束从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4Tq将一阶系统的单位阶跃响应式改写为:即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系该性质可用于判别系统是否为惯性环节,以及测量惯性环节的时间常数tln[1-xo(t)]0第三章时间响应分析4、一阶系统的单位速度响应0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-tTe()=TT第三章时间响应分析Ø一阶系统单位速度响应的特点q瞬态响应:Te–tT;稳态响应:t–T;q经过足够长的时间(稳态时,如t4T),输出增长速率近似与输入相同,此时输出为:t–T,即输出相对于输入滞后时间T;q系统响应误差为:第三章时间响应分析时间响应的概念描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式。
任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应组成瞬态响应系统在某一输入信号的作用下,系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态(或称暂态)响应,也称过渡过程稳态响应在某一输入信号的作用后,时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应第三章时间响应分析下图表示某系统在单位阶跃信号作用下的时间响应系统的输出量在ts时刻达到稳定状态,在时间内的响应过程称为瞬态响应;当时,系统的即为稳态响应.当收敛于某一稳态值,则系统是稳定的;若呈等幅振荡或发散,则系统不稳定注意:瞬态响应直接反应了系统的动态特性,输出第三章时间响应分析表示性能指标的阶跃响应曲线第三章时间响应分析5、线性定常系统时间响应的性质Ø系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成,前者反映系统的稳态特性,后者反映系统的动态特性Ø注意到:对一阶系统:第三章时间响应分析即:系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数同样可知,系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分,其积分常数由初始条件确定这种输入-输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立第三章时间响应分析6、一阶系统不同时间常数下的响应情况由上图可知,T越大,惯性越大。
一阶系统的性能指标:Ts它是一阶系统在阶跃输入作用下,达到稳态值的(1-△)所需的时间(△为容许误差)第三章时间响应分析△=2%ts=4T△=5%ts=3T,调整时间反映系统响应的快速性,T越大,系统的惯性越大,调整时间越长,响应越慢第三章时间响应分析四、二阶系统的时间响应1、二阶系统其中,T为时间常数,也称为无阻尼自由振荡周期,为阻尼比;n=1T为系统的无阻尼固有频率二阶系统的特征方程:极点(特征根):第三章时间响应分析Ø欠阻尼二阶系统(振荡环节):01,则即扰动作用点前的前向通道传递函数G1(0)越大,由一定的扰动引起的稳态误差越小第三章时间响应分析Ø系统总误差当系统同时受到输入信号Xi(s)和扰动信号N(s)作用时,由叠加原理,系统总的稳态偏差:稳态误差:第三章时间响应分析Ø例题系统结构图如下,其中K1、K2、K3、K4、T为常数,试求当输入xi(t)=1+t以及扰动作用下,使系统稳态误差为零的K4值和G0(s)K1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)第三章时间响应分析解:n(t)=0时K1Xi(s)Xo(s)_+K4系统闭环传递函数:第三章时间响应分析注:已知输入作用下闭环传递函数时,稳态误差也可由其等效单位反馈系统的开环传递函数通过稳态误差系数求解。
要使系统对输入xi(t)=1+t无稳态误差,Gi(s)需为II型系统,即1-K3K4=0⇒⇒K4=1K3第三章时间响应分析只有扰动作用时(xi(t)=0)+G0(s)N(s)Xon(s)__q减小稳态误差的方法ü提高系统开环增益;ü增加系统开环传递函数中积分环节的个数;ü通过顺馈控制或复合控制进行补偿;第三章时间响应分析第三章例题讲解例3.1已知系统的单位阶跃响应为:求:1)系统的闭环传递函数;2)系统阻尼比和无阻尼固有频率n解:1)第三章时间响应分析2)对比二阶系统的标准形式:有:第三章时间响应分析例3.2已知系统方框图如下:图中虚线方框称为“比例+微分”控制求系统的上升时间tr、峰值时间tp、调节时间ts及最大超调量Mp并分析“比例+微分”控制对二阶系统性能的影响dsXi(s)Xo(s)01第三章时间响应分析解:系统开环传递函数为:闭环传递函数为:其中:注意到上式为有零点的二阶系统,不可应用典型二阶系统的时域性能指标求解公式第三章时间响应分析当d1时,系统单位阶跃响应为:第三章时间响应分析其中,1)上升时间根据上升时间的定义有:第三章时间响应分析从而:即:2)峰值时间令xo1(t)=0,有:第三章时间响应分析因此:第三章时间响应分析其中:3)最大超调量第三章时间响应分析利用:解得:4)调节时间第三章时间响应分析下面分析“比例+微分”控制对系统性能的影响。
由于:可见,“比例+微分”控制不改变系统的固有频率,但可增加系统的阻尼比,减少超调其中:进一步,注意到:第三章时间响应分析上式中第一项为典型的二阶系统,第二项由“比例+微分”控制作用引入的零点所产生,且第二项为典型二阶系统的传递函数乘以s以及微分时间常数d,而s表示了微分算子,因此,从时域上看,第二项的时间响应等于原系统的时间响应的导数乘以d当d1时,典型二阶系统的单位阶跃响应为:其导数为:第三章时间响应分析t(s)00.511.522.53-0.200.20.40.60.811.21.41.61.8xo(t)“比例+微分”系统原系统xo1(t)dxo1(t)“比例+微分”控制可提高系统的响应速度第三章时间响应分析即“比例+微分控制”不影响系统的稳态误差尽管如此,由于增加了系统的阻尼,因此在保证一定的动态性能条件下,允许系统选用较大的开环增益以改善稳态精度但是,微分的引入会导致系统抗噪性能下降此外,引入“比例+微分控制”后,系统仍为I型系统,稳态速度误差系数不变:第三章时间响应分析例3.3某系统传递函数为:为了将调节时间减小为原来的110,同时系统维持原有的增益,采用增加负反馈的办法,改造后的系统方框图如下。
试确定参数K1和Kh的取值G(s)Xi(s)Xo(s)K1Kh第三章时间响应分析解:期望的系统闭环传递函数为:引入负反馈后,系统闭环传递函数为:对比上述两式,求得:Kh=0.45;K1=10。