收敛性是级数研究中最基本的问题, 本节将对最简单的正项级数建立收敛性判别法则.,数学分析 第 十二章 数项级数,*四、拉贝判别法,三、积分判别法,一、正项级数收敛性的一般判别原则,二、比式判别法和根式判别法,*点击以上标题可直接前往对应内容,正项级数收敛性的一般判别原则,若数项级数各项的符号都相同, 则称为同号级数.,对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级,数(称正项级数).,由级数与其部分和数列的关系，得：,后退 前进 目录 退出,正项级数收敛性的一般判别原则,证,所以{Sn}是递增数列.,单调数列收敛的充要条件是,定理).,仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不,容易的，,敛性判别法则.,收敛的充要条件是:,有界,,即存在某正数M, 对一切正整数 n 有,而,这就证明了定理的结论.,该数列有界(单调有界,正项级数收敛性的一般判别原则,部分和数列,因此要建立基于级数一般项本身特性的收,如果存在某正数N, 对一切 n N 都有,则,证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛,因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.,散性,,正项级数收敛性的一般判别原则,由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有,则由(2)式对一切 n 有,(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.,界,,这就证明了(i).,正项级数收敛性的一般判别原则,,例1,解,故由,正项级数收敛性的一般判别原则,例2 若级数,在实际使用上,下面给出的极限形式通常更方便.,而级数,均收敛，,正项级数收敛性的一般判别原则,设,是两个正项级数,若,则,证 (i) 由(3),存在某正数N,,当 n N 时,恒有,或,正项级数收敛性的一般判别原则,由比较原则及(4)式得,,,(ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,,则对于正数1,,当n N 时, 都有,也发散.,若,存在相应的正数N,,正项级数收敛性的一般判别原则,,因为,根据比较原则的极限形,正项级数收敛性的一般判别原则,例4 正项级数,是发散的,,根据比较原则的极限,散.,因为,正项级数收敛性的一般判别原则,解 因为,行比较.,正项级数收敛性的一般判别原则,由于,注意到,所以,根据比较原则, 原级数收敛.,正项级数收敛性的一般判别原则,,比式判别法和根式判别法,本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象,而得到的,,特征就能作出判断，不需要与已知级数进行比较.,比式判别法和根式判别法,但在使用时只要根据级数一般项本身的,比式判别法和根式判别法,把前n-1个不等式按项相乘后,得到,由于当0 q 1时,,根据比较,原则及上述不等式可得,证,比式判别法和根式判别法,(ii),从而,因此,所以级数发散.,且,则,证 由(7)式, 对任意取定的正数,存在正数,当 n N 时, 有,N,,比式判别法和根式判别法,由上述不等式,的左半部分及比式判别法的 (i), 得正项级数,是收敛的.,根据上述不等式的左半部分,比式判别法和根式判别法,例6 级数,由于,根据推论1，级数收敛.,比式判别法和根式判别法,解 因为,根据推论1,当 0 x 1时级数收敛;,而当 x = 1时, 所考察的级数是,它显然也是,发散的.,的敛散性作出判断.,当 x1时级数发,散;,若(7)中q = 1, 这时用比式判别法不能对级数,比式判别法和根式判别法,例如级数,它们的比式极限都是,却是发散的.,若某级数的(7)式的极限不存在,则可应用上、下极,限来判别收敛性.,比式判别法和根式判别法,解 由于,故有,于是当c 1时, 级数(8)收敛;,但当b 1 c时,比式判别法无法 判断级数的敛散性.,的敛散性, 其中 0 b c.,*例8 研究级数,当b 1时,级数发散;,比式判别法和根式判别法,且存在某正数,比式判别法和根式判别法,对于情形(ii), 由(10)式可得,不可能以零为极限,,证 由(9)式有,因为等比级数,时收敛，,故由比较原则, 这时级数,也收敛,,因而由级数,比式判别法和根式判别法,则,证 由(11)式,,存在某正数 N,,n N, 有,于是由根式判别法就得到推论所要证明的结论.,且,对一切,比式判别法和根式判别法,解 由于,所以级数是收敛的.,若在(11)式中 l =1,则根式判别法仍无法对级数的敛,散性做出判断.,都有,发散的.,例如,比式判别法和根式判别法,散性，其中,解 由于,则当,(i) l 1 时级数收敛;,(ii) l 1 时级数发散.,比式判别法和根式判别法,如果应用比式判别法, 由于,我们就无法判断其收敛性.,,那么比式法和根式法究竟哪个更有效呢？,因此级数是收敛的.,故,比式判别法和根式判别法,根据第二章总练习题 4 (7), 当,时, 必有,这说明凡能由比式判别法判别收敛性的级数, 也能,由根式判别法来判别,,别法更为有效.,由于,亦即根式判别法较之比式判,例如级数,比式判别法和根式判别法,故比式判别法无法鉴别此级数的收敛性.,式判别法却能判定此级数是收敛的(例9).,否就不需要比式判别法了？请看下面例子.,那么, 是,比式判别法和根式判别法,但应用根,例11 判别下列级数的敛散性：,解 (i) 因为,由比式判别法，原级数为收敛.,比式判别法和根式判别法,由根式判别法, 原级数为收敛.,采用比式法更方便.,(ii) 因为,比式判别法和根式判别法,积分判别法,由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局,限性较大, 所以还需要建立一些更有效的判别法.,那么正项级数,同时收敛,f 在[1, A]上可积,于是,或同时发散.,对任何正数 A,,积分判别法,依次相加可得,若反常积分收敛,,有,则由(12)式左边,对任何正整数m,,积分判别法,一正整数 m(1)有,因为f (x)为非负减函数,,则由(12)式右边, 对任,故对任何正数 A, 都有,,积分判别法,例12 讨论,时发散.,知它也是发散的.,积分判别法,例13 讨论下列级数的敛散性.,解,积分判别法,由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数, 如,果级数的通项收敛速度较慢, 它们就失效了, 如 p,级数.,这类级数的通项收敛于零的速度较慢, 因此较比式,或根式法在判断级数收敛时更精细.,*拉贝判别法,拉贝(Raabe)判别法是以 p 级数为比较对象,,*拉贝判别法,*拉贝判别法,故存在正数N,,证 (i),使对任意n N ，都有,*拉贝判别法,于是, 当n N 时，有,这样,*拉贝判别法,*拉贝判别法,且极限,存在, 则,*拉贝判别法,解 无论s =1, 2, 3哪一值,级数(14)的比式极限,所以用比式判别法无法判别级数(14)的敛散性.,拉贝判别法来讨论.,故级数(14)是发散的.,现应用,当 s =1时, 因,*拉贝判别法,当s = 2时, 利用极限形式, 有,无法对级数(14)的作出判断. 但由于,由拉贝法的非极限形式知级数(14)发散.,*拉贝判别法,,当 s =3时,,所以级数(14)收敛.,*拉贝判别法,,根式法更广泛,,似乎可以得出这样得结论：,收敛级数.,收敛问题,而不能解决所有级数的收敛问题.,们还可以建立比拉贝判别法更为精细有效的判别法,,但这个过程是无限的.,从上面看到,,拉贝判别法虽然判别的范围比比式或,但当 r =1 时仍无法判别.,而从例12,没有收敛得“最慢”的,因此任何判别法都只能解决一类级数的,当然我,*拉贝判别法,得最慢的级数.是否存在发散得最慢的级数？,3.总结判别法使用规律.,。