[研究生入学考试题库]考研数学三模拟593一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 已知幂级数在x=0处条件收敛，则幂级数在x=2处______A.条件收敛．B.绝对收敛．C.发散．D.敛散性与具体{an}有关．答案:C[解析] 在x=0处条件收敛，即在u=-2处条件收敛，由阿贝尔定理，的收敛区间为(-2，2)，的收敛区间为(0，4)，的收敛区间为(-3，1)，从而在x=2处发散，选C．问题:2. 设y=y(x)是初值问题的解，则______ A．x=1是y(x)的极大值点，且极限 B．x=1是y(x)的极大值点，且极限 C．x=1是y(x)的极小值点，且极限 D．x=1是否为y(x)的极值点与参数a有关，极限 答案:C[解析] 首先由y'(1)=0，知x=1是y(x)的一个驻点．又y"(1)=(πex-1-2y'-ay)|x=1=π＞0，所以x=1是y(x)的极小值点． 问题:3. 具有特解y1=e-x，y2=-2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是______A.y"'-y"-y'+y=0B.y"'+y"-y'-y=0C.y"'-6y"+11y'-6y=0D.y"'-2y"-y'+2y=0答案:B[解析] 根据题设条件，1，-1是特征方程的两个根，且-1是重根，所以特征方程为(λ-1)(λ+1)2=λ3+λ2-λ-1=0，故所求微分方程为y'"+y"-y'-y=0，故选B． 或使用待定系数法，具体为： 设所求的三阶常系数齐次线性微分方程是 y'"+ay"+by'+cy=0． 由于y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是上述方程的解，所以将它们代入方程后得 解得a=1，b=-1，c=-1．故所求方程为y'"+y"-y'-y=0，即选项B正确． 问题:4. 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常数，则方程组AX=b的通解是______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 方程组有齐次解：2α1-(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故选C．问题:5. 设{xn}与{yn}均无界，{zn}有界，则以下命题正确的是______A.{xn+yn}无界．B.{xxyn}无界．C.{xn+zn}无界．D.{xnzn}无界．答案:C[解析] 用反证法，设{xn+zn}有界，则存在M＞0与M1＞0，对一切n，|xn+xn|≤M，且|zn|≤M1．由不等式 |xn|=|xn+zn-zn|≤|xn+zn|+|zn|≤M+M1， 从而{xn}有界，与题设矛盾． 其它A、B、D均可举出反例． 评注：有界数列与有界数列之和或差、或积，均为有界，但其商未必有界；有界数列与无界数列之和或差必无界；有界数列与无界数列之积或商未必有界，也未必无界，无界数列与无界数列之和、差、积或商均未必无界也未必有界，应具体分析． 问题:6. 设A为m×n矩阵，且R(A)=m＜n，下列命题不正确的是______ A．A的任意m个列向量线性无关． B．若矩阵B满足BA=0，则B=0． C．对任意非零列向量b，方程组Ax=b有无穷多解． D．A通过初等变换可化为 答案:A[解析] 由题设，R(A)=m，A为行满秩矩阵，A的m个行向量线性无关，当然也有A的m个列向量线性无关，但不是A的任意m个列向量也线性无关．A不正确，选A． 若BA=0，那么(BA)T=0，ATBT=0，AT为列满秩矩阵，ATx=0仅有零解，∴BT=0，从而B=0．B正确． ，方程组Ax=b有无穷多解．C正确， ∵R(A)=m，通过初等变换可化为标准形．D正确．问题:7. 设α1，α2，α2，β1，β2均为四维列向量，A=[α1，α2，α3，β1]，B=[α3，α1，α2，β2]，且|A|=1，|B|=2．则|A+B|=______．A.9．B.6．C.3．D.1．答案:B[解析] 由于矩阵加法A+B=[α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2]，根据行列式的性质有 |A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =|2(α1+α2+α3)，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2|α1+α2+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2| =2|α1+α2+α3，-α3，-α1，β1+β2|=2|α2，-α3，-α1，β1+β2| =2|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|A|+|B|)=6 或|A+B|=|α1+α3，α2+α1，α3+α2，β1+β2|==|α1，α2，α3，β1+β2|=2(|α1，α2，α3，β1|+|α1，α2，α3，β2|)=6 评注：矩阵行列式多次在考研中出现，我们有行列式乘法公式|AB|=|A|·|B|，但|A+B|没有运算法则，本题考查用行列式性质对其化简．同时要注意kα1，α2，…，αn=k|α1，α2，…，αn|，而|kA|=kn|A|，不是k|A|．两者亦不能混淆． 问题:8. 设随机变量X和Y相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，则______ A． B． C． D． 答案:D[解析] X～N(0，1)，Y～N(0，1)． X+Y～N(0，2)，X-Y～N(0，2)， ，排除A，B； P{max(X，Y)≥0}=1-P{max(X，Y)＜0} =1-P{X＜0，Y＜0} =1-P{X＜0}P{Y＜0} ，排除C； 又P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0} = P{X≥0}P{Y≥0} ，选D．问题:9. 以下3个命题： ①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A； ②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A； ③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A． 正确的个数为______ A.0B.1C.2D.3答案:D[解析] 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有|un-A|＜ε，则当ni＞N时，恒有|uni-A|＜ε，因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确． 对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有|xni-A|＜ε． 由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有-ε＜xni-A≤xn-A≤xni+1-A＜ε，从而|xn-A|＜ε．可知数列{xn}收敛于A因此命题正确． 对于命题③，因由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2： 当2n＞N1时，恒有|x2n-A|＜ε； 当2n+1＞N2时，恒有|x2n+1-A|＜ε； 取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有|xn-A|＜ε．因此可知命题正确． 故答案选择D． 问题:10. 设平面区域D(t)={(x，y)|0≤x≤y，0＜t≤y≤1}，，则______ A．4． B．-4． C． D． 答案:D[解析] 选D. 二、填空题问题:1. 对充分大的一切x，给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，x1010，，则其中最大的是______．答案:[解析] 当x充分大时，有重要关系：其中α，β，γ＞0，故本题填 问题:2. 抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围面积为，则a=______．答案:1[解析] y2=ax与x=1所围面积所以 问题:3. 设=______．答案:2[考点] 定积分的计算． [解析] 利用定积分的分部积分法计算即可． 解： 故应填2． 问题:4. 设随机变量X的概率密度为随机变量Y服从参数为1的泊松分布，且X与Y独立，则D(XY)=______．答案:43[解析] 由X的概率密度知，则E(X-2)=3，得EX=5，D(X-2)=32，得DX=9，因Y～P(1)，则EY=DY=1，故 D(XY)=E[(XY)2]-[E(XY)]2= E(X2Y2)-[E(XY)]2 =E(X2)·E(Y2)-(EX·EY)2 =[DX+(EX)2][DY+(EY)2]-(EX)2·(EY)2 =DXDY+DX(EY)2+DY(EX)2 =9×1+9×12+1×52=43． 问题:5. 设，则α，β的值分别为______．答案:[解析] 所以α=5， 问题:6. 已知则 答案:-1[解析] 此积分的计算要用分部积分法， 三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分． 1. 求f(x)；答案:解：du=[xy(1+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy， 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u(x，y)的二阶混合偏导数连续，所以有 即有x(1+2y)-f(x)=f'(x)+2xy， 整理得f'(x)+f(x)=x，解得f(x)=Ce-x+x-1． 由f(0)=0，得C=1． ∴f(x)=e-x+x-1． 2. 求u(x，y)的表达式，答案:解：由 =xy(1+y)-(e-x+x-1)y=xy2-e-xy+y， 对x积分，得， 又 C'(y)=-1，C(y)=-y+C1， ∴，其中C1为任意常数．问题:3. 已知其中a＞0，a≠1，求dz．答案:解： 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．4. 求D的面积A；答案:解：图形D如下图所示，设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0，lnx0)处的切线方程是 由该切线过原点知lnx0-1=0，从而x0=e，所以该切线的方程为 平面图形D的面积 5. 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．答案:解：切线与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的曲边三角形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 因此所求旋转体体积为 注：本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式，也可考虑用已知截面积S(y)=π(e-ey)2-(e-ey)2，0≤y≤。