2023年全国硕士研究生招生考试 数学三真题及答案解析【完整版】一、选择题：1 10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上1.已知函数 f(x,y)=ln(y+|xsiny|),贝(J ()A.更 不存在，笠 存在力(o j)力(0 1)B.红存在,d x(0,1)更不存在(OJ)C.更，笠 均存在(0.1)(0,1)D.2，笠 均不存在dx(o,.).(o.D【参考答案】A【参考解析】f(0,1)=0,由偏导数的定义或=所以 山 Um 心 业LsinllinMdx(oj)x ax因为=lim =-1,所以要 不存在,30+x io-%Qx(0J)或=lim”比迎1 1 至=dy z)y-1 yf y-1 i y-1所以更存在.(o,0,x0)o,In(Vl+x2-x),x 0A.F(x)=0B.尸(x)=,In(Jl+x2 一 x)+1,x 0C.InVl+x2+xj,x0D.F(x)=ln(，l+x?+xj+l,x 0【参考答案】D【参考解析】当 x W O时，J/(x)dx=J j .=In +Jl+d )+G当 x 0时,j/(x)dx=j(xd-l)cosAdr=J(x+l)d sin x=(x+l)sinx-j sin xdx=(x+l)sinx+cosx+C2原函数在(一8,4-O O)内连续，则在x=0处lim InA-0(x+Jl+f )+G=C，lim(x+l)sinx+cosx+C2=1 +C2所以 C =l+C 2，令 C 2=C,则 C =l+C,故j/(x)dx=In(y/1+x2+x)+l+C,xO(x+l)sinx+cosx+C,x0综合选项，令 C=0,则 f（x）的一个原函数为厂（x）=In+x2+X|4-l,X03.已知微分方程式y+a y，+b y=O 的 解 在（一 8,十8）上有界，则（）。
A.a 0B.a 0,b 0C.a=0,b 0D.a=0,b 0 时，特征方程有两个不同的实根储，入 2，则储，入 2 至少有一个不等于零，若 C 1,C 2 都不为零，则微分方程的解丁 二0+6/如 在（-8,+8）无界；当 A=a24 b=0 时，特征方程有两个相同的实根储,2=a/2,a a若 C 2 W 0,则微分方程的解丁二仁2寸+6于 在（一 8,十8）无界；当 A=a2-4 b 0.4.已知anV bn（n=l,2,.）,若 级 数“与均收敛，则 级 数 绝 对 收 敛”是“/:=1 /:=!=1 =1绝对收敛”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【参考答案】A【参考解析】由条件知（勿-为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设 为绝对收敛，则由|b n|=|b n-a n+a J W|bn-an|+|a与比较判别法，得力,绝对收敛;=1n=l88设Zd绝对收敛，则由|a n|=%-b +b n|W|bn-an|+|国|与比较判别法，得 绝 对 收 敛.=1=|5.设A,B为n阶可逆矩阵，E为n阶单位矩阵，M 为矩阵M的伴随矩阵，则 AE、B,()。
口4 出*8*4、y忸 a 佃|A*-A*B*）1aL*-8*A*、1 0 MB J（AB*-A*8*、yi N【参考答案】B【参考解析】结合伴随矩阵的核心公式，代 入（B）计算知EB同A*OBAA:、O 网 川EO-A Br+A BO|A|印7、|A|忸出,BAE 一|川8*+同6*、oM忸恒故（B）正确.6.二次型 f(x i，A.yi2+y22B-yi2-y22C.yi2+y224y32X2，X3)=(X|+X2)2+（X,+X3）2-4（X 2-X 3）2 的规范形为（)oD.yi2+y22-yj2【参考答案】B【参考解析】由已知 f(X|,X2，X3)=2 X|2 3X22 3X32+2X|X2+2X1X3+8X2X3,则其对应的矩阵A11-3J 414-3、7由 p L E-A|2-2-1-1-I4 +3-4-1-4 =2(2 +7)(/1-3)=0(得 A 的特征值为 3,2 +3-7,0故 选（B）.，若丫既可由a i，的线性表示，也可由与0 i，p2A.k334、,k e RB.k351 0,k s RC.k-112,k e RD.k,k E R【参考答案】D【参考解析】设 rX|i 4 X 2(i 2=yi 0 i +y2 P 2 则 X i a】+X 2 CI2 y,P i y?0 2=O1 2-2-1、1 0 0 3、又（。
2，一0 ，一隹）=2 1-5 00 1 0-1(3 1 -9-1；、0 0 1 1 ,故(X i，x2,y1，y2)T=C(3 I,1,1)T,c GR所以 r=-c p i+c 0 2=c (-1,-5,-8)T=-C(1,5,8)T=k (1,5,8)T,k SR8.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则 E（|X-E X|）=（）A.1/eB.1/2C.2/eD.1【参考答案】C【参考解析】法 1：由题可知E X=1,所以|X EX|=0)是未知参数，记o=aXXzl，若 E(o)=5 则 a=()oA-亚B-叵2C-&D-而【参考答案】A【参考解析】由题可知XX2 N(0,2o2).令Y=X1X2，则Y的概率密度为re 2-2(r2,E(|y|)=2-2a2dj=r I*ye dy=,y/lTTy/la JlTLyfla%&E(a|X1-X j)=aE(|y|)=.由 E(o)=o,得a=.故选(A).二、填空题：11 16小题，每小题5分，共30分请将答案写在答题纸指定位置上11.limx2 2-xsin cos=x-8 V X X J【参考答案】2/3【参考解析】lim x2A-002-x sin cos 一x x12.已知函数 f(x,y)满足寸(x,y)=y:,/(1,1)=，则/(瓜3)=;【参考答案】/3【参考解析】由题意可得f；(x,y)=7不，则 x Xf(x,y =-y arctan+c(y)=-arctan+c(y),Y又因为 f：(x,y)=下-Y,可得 c，(y)=c,由 f(l,1)=口/4可得=加/2,即/(x,y)=-a rc ta n +,故/(石,3)=?.8 2n13 V-=(2)！【参考答案】-ex+-e-x2 2【参考解析】令 山)吃岛上)4(2 n-2)!7(-2-.-2-/-7-11-)r!-,S(x)=吃 向12-2即有 s(x)s(x)=0,解得 s(x)=C|ex+C2e-x.又由 s(0)=1,sz(0)=0 有 C|+C2=l,C,-C2=0,解得 C|=C2=l/2.故 s(x)=L*+eV 2 2-X1 4.设某公司在t时刻的资产为f(t),从0时刻到t时刻的平均资产等于f(t)/tt.假设f(t)连续且 f(0)=0,则 f(t)=.【参考答案】2e-2t-2【参考解析】由题意可得方程J。
工 T ,即J：/(x)dx=/C)T 2.两边同时对t求导得f(t)=F(t)-2 t,即f(t)-f (t)=2t.由一阶线性微分方程通解公式有:/(/)=(j 2/e df+C)=e(J 2tedt+C=e (2f+2)eT+C =C e2f 2又由于 f(0)=0,则 C-2=0,即 C=2.故 f(t)=2e-2t-2.1 5.已知线性方程组ax+毛=1X i+ar,+占=01 一 3 有解，其 中a,b为常数，若x1 4-2X2+ax3-0axx+bx2=20a2aII1 11 =4,则 1a aa 12 ab 01 a 1M=J 2 a 0=1-4 1 2”2.(广a b 0【参考答案】8【参考解析】由已知r(A)=r(A,b)W3V4,故|A,b|=0即a 0 11 a 11 2 a1 a 1=-1 2 Q+2 4=0,a b 01 a 1故 1 2 a=8.a b 01 6.设随机变量X与Y相互独立，且X B(1,p),Y-B(2,p),pS(0,1),则X+Y与X-Y的 相 关 系 数 为:【参考答案】一1/3【参考解析】因为X B(1,p),所以DX=p(1-p).因为 Y B(2,p),所以 DY=2p(1-p).Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X+Y,X)-Cov(X+Y,Y)=Cov(X,X)+Cov(Y,X)-Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=DXDY=p(1 p)2p(1 p)=p (1 p)因为X与Y相互独立，所以D(X+Y)=DX+DY=3p(1-p),D(X-Y)=DX+DY=3p(1-p)故夕=c =(x,j)|0 y l.XyJ+X2.(1)求 D 的面积.(2)求 D 绕 x 轴旋转所成旋转体的体积.【参考解析】(1)面积r-Ko|S=,dx x=tan rj7T 2,nf j-dr=J esc tdt=In Icsc t-cot ttanr-seer 匕|j=m4(2)旋转体体积为r+oo匕=L 7ry-dx=-dx=7r-1 +X2J I1arctan x1 9.(本题满分12分)已知平面区域 D=(x,y)|(x1)2+y2 l),计算二重积分“J x?+y?-l|dxdy.【参考解析】本题目先利用奇偶对称性化简，再切割积分区域，把积分区域分为三块，分别采用极坐标进 行计算：y/x2+y2-1 d(J=2 J J J x2 +y2 _ d bD D 1+D2+D3=2 0 1-Jx2+y2d c r+2 jj 1-Jx2+y2 d c r+2 jj Jx2+，-I d er4。
2A分别采用极坐标进行计算：f f l-77da=p d4(/(l-r)d r=-=D fl-Jx2+y2d c r=J d f r(l-r)d r=J 2 c os2 0-c os3 d 0 =-+A/3日.%J4 3 6 9 4J Jy/x1+y2-ld c r=J d eJ：r(l-r)d r=3 geos%-2 c os2 0 +上(1 0 =:6一(+泉3所以：J J J x?+V _ i d c r=2“1 -J x?+y2 d b +2 jj 1 一 J x?+y，d c r+2“Jx2+y?-ld b =-，+3 gD D,D2 D；92 0.（本题满分1 2分）设函数f（x）在-a,a 上具有2阶连续倒数，证明：（1）若 f（x）=0,则存在（-a,a）使 得/偌）=/（2）若 f（x）在（-a,a）内取得极值，则存在 可昼（-a,a）,使得.【参考解析】（1）证明：/（x）=/（o）+/（o）x+g x 2=/，（o）x+/*x 2,n 介于 0 与*之间，则”/,0 7 a/（-a）/,（O）（-a）+a2,-a rj202+得：/（）+/（5（7）+/包）又(x)在 r)2，nl上连续，则必有最大值M与最小值m,即m W (r)i)W M；mW f(r)2)M；从而,/(6/(明小2由介值定理得：存 在 会 此，3 u(-a,a),有/()+/(/)=/(/,代入得:,/八/()+f(-a f(a)+f(-a)=a 2(&)即,=八)(2)证明：设f(x)在x=x()G (a,a)取极值，且f(x)在x=x()可导，则产(x0)=0.又 x)=/(xo)+r(xo)(x x()+琴=/(玉)+=(1-玉)2，丫 介于。
与 x 之间，则/（_ 4）=/（/）+（_一 工0）2，_%0/（/（%）+，：）（4一%0）2，%4从而|/（6 f）-/（-a）l=（a-x0）2 r（/2）-1（+x0）2r（/1）1919 axo）/（刈 +公）/（%）又|广（X）I 连续，设 1 =1 1 m|（Y 1）I，|f （丫2）I，则|/（）/（一1 4-X2+X j2 x）-x2+x3（1）求 A(2)求可逆转矩阵P 与对角矩阵A 使得P-A。