离散数学--6.5 平面图

1,6.4.4 平面图,平面图与平面嵌入平面图的面及其次数极大平面图极小非平面图欧拉公式库拉图斯基定理平面图的对偶图,2,平面图与非平面图,定义6.22 如果能将图G除顶点外边不相交地画在平面上, 则称G是平面图. 这个画出的无边相交的图称作G的平面嵌入. 没有平面嵌入的图称作非平面图.,例如 下图中(1)~(4)是平面图, (2)是(1)的平面嵌入， (4)是(3)的平面嵌入. (5)是非平面图.,3,平面图的面与次数,设G是一个平面嵌入G的面: 由G的边将平面划分成的每一个区域无限面(外部面): 面积无限的面, 用R0表示有限面(内部面): 面积有限的面, 用R1, R2,…, Rk表示 面Ri的边界: 包围Ri的所有边构成的回路组面Ri的次数: Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 说明: 构成一个面的边界的回路组可能是初级回路, 简单回路, 也可能是复杂回路, 甚至还可能是非连通的回路之并.,4,实例,例1 右图有 个面,4,deg(R1)=deg(R2)=deg(R3)=deg(R0)=,1,3,2,8,R1的边界:R2的边界:R3的边界:R0的边界:,a,bce,fg,abcdde, fg,5,实例,例2 右边2个图是同一平面图的平面嵌入. R1在(1)中是外部面, 在(2)中是内部面; R2在(1)中是内部面, 在(2)中是外部面.,说明: (1) 一个平面图可以有多个不同形式的平面嵌入, 它们都同构.(2) 可以通过变换(测地投影法)把平面图的任何一面作为外部面,6,平面图的面与次数(续),定理6.13 平面图各面的次数之和等于边数的2倍证 一条边或者是2个面的公共边界, 或者在一个面的边界中出现2次. 在计算各面的次数之和时, 每条边恰好被计算2次.,7,极大平面图,定义6.24 若G是简单平面图, 且在任意两个不相邻的顶点之间加一条新边所得图为非平面图, 则称G为极大平面图,8,极大平面图的性质,极大平面图是连通的 设G为n(n3)阶简单图, G为极大平面图的充分必要条 件是, G每个面的次数均为3.,例如,极大平面图,外部面的次数为4 非极大平面图,9,极小非平面图,定义6.25 若G是非平面图, 并且任意删除一条边所得图都是平面图, 则称G为极小非平面图,例如 K5, K3,3都是极小非平面图下述4个图也都是极小非平面图,10,欧拉公式,定理6.14 设G为n阶m条边r个面的连通平面图, 则 nm+r=2 证 对边数m做归纳证明. m=0, G为平凡图, 结论成立.设m=k(k0)时结论成立, 对m=k+1,若G中无圈, 则G必有一个度数为1的顶点v, 删除v及关联的边, 记作G. G连通, 有n-1个顶点, k条边和r个面. 由归纳假设, (n-1)-k+r=2, 即n-(k+1)+r=2, 得证m=k+1时结论成立. 否则, 删除一个圈上的一条边,记作G. G连通, 有n个顶点,k条边和r-1个面. 由归纳假设, n-k+(r-1)=2, 即n-(k+1)+r=2. 得证m=k+1时结论也成立. 证毕.,11,欧拉公式(续),推论 设平面图G有 p (p2) 个连通分支, 则 n  m + r = p + 1其中n, m, r 分别是G的阶数, 边数和面数.证 设第 i 个连通分支有 ni个顶点, mi 条边和 ri 个面. 对各连通分支用欧拉公式, ni  mi + ri = 2, i = 1, 2, … , p求和并注意 r = r1+…+rp p+1, 即得 n  m + r = p + 1,12,欧拉公式(续),定理6.15 设G为n阶连通平面图, 有m条边, 且每个面的次数不小于l (l 3), 则 证 由各面次数之和等于边数的2倍及欧拉公式得 2m  lr = l (2+m-n)可解得所需结论.,13,实例,例4 设简单连通平面图有n(n3)个顶点、m条边, 则 m3n-6,例3 证明 K5 和 K3,3不是平面图,证 不难证明3阶以上的简单连通平面图每个面的次数至少为3, 由定理6.15立即得到要证的结论.,证 K5 : n=5, m=10, l=3,K3,3 : n=6, m=9, l=4不满足定理6.15的条件,14,同胚与收缩,消去2度顶点v 如图从(1)到(2)插入2度顶点v 如图从(2)到(1)G1与G2同胚: G1与G2同构, 或经过反复插入、或消去2度顶点后同构收缩边e 如图从(3)到(4),15,库拉图斯基(Kuratowski)定理,定理6.16 一个图是平面图当且仅当它既不含与K5同胚的子图, 也不含与K3,3同胚的子图.定理6.17 一个图是平面图当且仅当它既无可收缩为K5的子图, 也无可收缩为K3,3的子图.,16,实例,与K3,3同胚也可收缩到K3,3,例5 证明下面2个图均为非平面图.,与K5同胚也可收缩到K5,17,对偶图,定义6.28 设平面图G有n个顶点, m条边和r个面, G的对偶图G*=构造如下: 在G的每一个面Ri中任取一个点vi*作为G*的顶点, V*= { vi*| i=1,2,…,r }. 对G每一条边ek, 若ek在G的面Ri与Rj的公共边界上, 则作边ek*=(vi*,vj*), 且与ek相交; 若ek只在面Ri的边界上, 则作环ek*=(vi*,vi*). E*={ ek*| k=1,2, …,m }.,18,实例,性质G*是平面图，而且是平面嵌入.G*是连通的.若e为G中的环, 则G*中e*为桥; 若e为桥, 则G*中e*为环.同构的平面图的对偶图不一定同构. 如(1)和(3),,(1),(2),(3),19,对偶图(续),定理6.18 设G*是连通平面图G的对偶图, n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则(1) n*= r(2) m*=m(3) r*=n(4) 设G*的顶点vi*位于G的面Ri中, 则d(vi*)=deg(Ri),20,实例,例6 画出所有非同构的6阶11条边的简单连通非平面图,解 在K5(5阶10条边)上加一个顶点和一条边,在K3,3(6阶9条边)上加2条边,。