6.5 一阶电路的全响应全响应：由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应下面讨论RC串联电路在直流电压源作用下的全响应已知：uC(0-)=U0 t=0时开关闭合 为了求得电容电压的全响应，以uC(t)为变量，列出电路的微分方程iCRt=0+Us-+uC(0-)=U0-其解为 代入初始条件uC(0+)=vC(0-)=U0，可得 求得 则：也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现 上式可改写为tuC(t)U0USUSU0uCzi(t)uCzS(t)tuC(t)U0USUSr(0+)tr(t)r(0+)r()r()0电路达到新的稳态，将电容用开路或电感用短路代替，得一个直流电阻电路，再从稳态图求稳态值r()3，时间常数 的计算(开关已动作)先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用公式 =RoC 或 =L/Ro计算出时间常数4，将r(0+),r()和 代入三要素公式得到响应的一般表达式 注意点：三要素公式可以计算全响应、零输入响应分量和零状态响应但千万不要认为就推广到一般，得出结论，所有的响应应该是：如求全响应。
RC+R+图外激励引起内激励引起从另一个角度说：只有电容电压和电感电流，只要知道全响应表达式，就可以把它分成零输入响应(分量)和零状态响应(分量)否则，在仅知道全响应的表达式时，无法将零输入响应(分量)和零状态响应(分量)分开非要知道电路，画出零输入的图或零状态的图，求出零输入响应或零状态响应来才行例16 电路原处于稳定状态求t0的UC(t)和i(t)，并画波形图 解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)开关闭合前，电路已稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入4电阻中，uC+-0.1F442i10V+-2At=0由于开关转换时，电容电流有界，电容电压不能跃变，故 画0+图如右8V+-442i(0+)10V+-2A2，计算稳态值uC()、i() 10VuC()+-442i()+-2A换路后，经一段时间，重新达到稳定，电容开路，终值图如右，运用叠加定理得3，计算时间常数计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联 时间常数为 10Vi(t)uC+-442+-2A 4，将初始值、终值及时间常数代入三要素公式，得到响应表达式： 下面看响应过程波形ti(t)1.5 15/3uC(t)t870例17 求u(t)和i(t)。
已知： uC-40.01F4+2Ai+2i-+ u-t=0解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+)零状态电路，由换路定则得：画0+图如右,用节点法442Ai(0+)+2i (0+)-+ u (0+)-ab解得：则：2，计算稳态值u()、i() t ，电路重新达到稳定，电容开路，终值图如右，得：442Ai()+2i ()-+ u ()-时间常数为代入三要素公式得： 3，计算时间常数电容相连接的电阻网络如右图，用加压求流法得： 44i+2i -Req例18 求u(t)已知： 解：电路可分成两部分分别求响应，然后迭加uC-10.5F2+1A+ u-t=01HiL2+u(t)_RC部分：uC-10.5F2+1At=01H2+u(t)_uL-+uC+-0.5F21A所以RL部分：uC-10.5F2+1At=01H2+u(t)_uL-+所以uL+-1H21A例19 开关在a时电路已稳定t=0倒向b,t=R1C倒向c，求t0的iC(t)并画波形 解：t0时的i(t)，已知uC(0-)=2V 0.5F+uS-2+uC-i(t)uS2-1012t先求零输入响应izi(t).izi(0+)=-1A，时间常数=RC=1s。
解：（1）所以：（2）求零状态响应iCzs(t).先求单位阶跃响应s(t).0.5F+uS-2+uC-i(t)初始值 uC(0+)=0, iC(0+)=0.5A，由于uS(t)=-(t)+3(t-1)- 2(t-2), 所以，零状态响应为 （3）全响应二阶电路：由二阶微分方程描述的电路分析二阶电路的方法：仍然是建立微分方程(二阶)，并利用初始条件求解得到电路的响应它是一阶电路的推广主要讨论含两个(独立)动态元件的线性二阶电路，重点是讨论电路的零输入响应7.8 二阶电路的零输入响应 为了得到图示RLC串联电路的微分方程，先列出KVL方程代元件VCR得： RLC串联电路的零输入响应 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程为了得到电路的零输入响应，令uS(t)=0，得二阶齐次微分方程其特征方程为由此解得特征根特征根称为电路的固有频率当电路元件参数R,L,C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：1时，s1,s2为不相等的负实根3时，s1,s2为相等的负实根2时，s1,s2为共轭复数根1.当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；2.当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；3.当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。
以下分别讨论这三种情况一、过阻尼情况电路的固有频率s1,s2不相同的实数，齐次微分方程的解为：式中的常数A1，A2由初始条件确定令上式中的t=0+得对uC(t)求导，再令t=0+得联立求解，可得:将A1，A2代入uC(t)得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时t0例23已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零输入响应则：解：由R,L,C的值，计算出固有频率利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得：解得:K1=6和K2=-4，最后得到电容电压的零输入响应为它们的波形曲线如下图所示过阻尼情况uC20tiL10t从波形可看出，在t0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场能，使电容电压增加到电感电流变为零时，电容电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为磁场能到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初始储能全部消耗完为止。
二、临界情况固有频率s1,s2相同的实数s1=s2=-齐次解式中常数K1,K2由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定令t=0+得到对uC(t)求导，再令t=0+,得到联立求解以上两个方程，可以得到代入vC(t)表达式，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容的VCR可以得到电感电流的零输入响应当uC(0+)=U0,iL(0+)=0时例24已知R=1,L=0.25H,C=1F,uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，求电容电压和电感电流的零输入响应解：固有频率利用初始值，得则：求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2，得到电容电压的零输入响应.得到电感电流的零输入响应波形曲线如图所示临界阻尼情况uC-10tiL0t三、欠阻尼情况固有频率s1,s2为两个共轭复数根，即：其中三者组成一个直角三角形齐次微分方程的解为：(用欧拉公式)式中由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2后，得到电容电压的零输入响应，再利用KCL和VCR方程得到电感电流的零输入响应例25已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。
则得：利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:解：固有频率：解得K1=3和K2=4，得到电容电压和电感电流的零输入响应(a)衰减系数 =3的电容电压波形(b)=3的电感波形(c)=0.5的电容电压的波形（d)=0.5的电感电流的波形下图为欠阻尼情况可以看出，欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢当例3中电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，可以看出电容电压和电感电流的波形曲线衰减明显变慢假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡例26已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0+)=3V,iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应解：固有频率:则：利用初始条件得：解得：K1=3和K2=1.4，得电容电压和电感电流的零输入响应 从电容电压和电感电流的表达式和波形可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。
综上所述，RLC二阶电路的零输入响应形式与其固有频率密切相关，如下图：1.过阻尼情况，s1和s2是不相等的负实数，响应按指数规律衰减2.临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，响应按指数规律衰减3.欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数越大，衰减越快衰减振荡的角频率d越大，振荡周期越小，振荡越快图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围4.无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，=0，振幅不再衰减，形成角频率为0的等幅振荡显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的由此可知，当一个电路的全部固有频率具有负实部时，电路是稳定的直流激励的RLC串联电路，当uS(t)=US时，可以利用初始条件uC(0+)=U0和iL(0+)=I0来求解以下非齐次微分方程,从而得到全响应二阶电路的零状态响应和全响应 全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成电路的固有频率为当s1s2时，对应齐次微分方程的通解为特解为全响应为利用初始条件，可以得到联立求解，得到常数K1和K2后，就可得到电容电压的全响应，再利用KCL和电容元件VCR可以求得电感电流的全响应。
类似地，当s1=s2时，全响应为求两个待定系数的方法也类似：类似地，根据元件的VCR或KVL计算其它响应类似地，当特征根为共轭复根时，全响应为求两个待定系数的方法也类似：类似地，根据元件的VCR或KVL计算其它响应例27已知R=6,L=1H,C=0.04F,uS(t)=(t)V求t0时电容电压的零状态响应单位阶跃响应)解：t0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理固有频率固有频率为共轭复根,可以得到利用初始值uC(0+)=0和iL(0+)=0,得:解得：K1-1和K2-0.75，得到电容电压的零状态响应波形如图(a)(b)：当电阻由R=6减小到R=1，衰减系数由3变为0.5时，波形如图(c)和(d) GCL并联电路分析 与RLC串联电路对偶：得二阶微分方程其特征方程为解得特征根同样对偶地，特征根可能出现以下三种情况：1，时，s1,s2为不等的实根2，时，s1,s2为相等的实根3，时，s1,s2为共轭复数根当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的这三种情况响应的计算方法和公式与RLC串联电路完全对偶。
补充： 图示电路中，已知当 时；当时，求(1) 、和C ; (2) 时电路的全响应C-+解: 1)当时： +-C-+C-+当时： 2)当 时： 。