薛定谔方程在一维空间里，一个独自粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)此中，是质量，是地点，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势近似地，在三维空间里，一个独自粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为2)倘若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，全部可能的粒子地点空间用方程表达，此中，波函数的第个参数是第个粒子的地点所以，第个粒子的地点是不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程顾名思义，本征能量薛定谔方程，能够用来计算粒子的本征能量与其余有关的量子性质应用分别变量法，猜想的函数形式为；此中，是分别常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会觉察就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程(1)会变为不含时薛定谔方程：近似地，方程(2)变为历史背景与发展爱因斯坦解说普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波拥有粒子的性质，一种很奇妙的波粒二象性他建议光子的能量与频次成正比在相对论里，能量与动量之间的关系跟频次与波数之间的关系同样，所以，连带地，光子的动量与波数成正比1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假定，每一种粒子都拥有波粒二象性。
电子也有这类性质电子是一种颠簸，是电子波电子的能量与动量决定了它的物质波的频次与波数1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将迟缓挪动的电子射击于镍晶体标靶而后，丈量反射的强度，侦测结果与X射线依据布拉格定律(Bragg'slaw)计算的衍射图案同样戴维森-革末实验完全的证了然德布罗意假说薛定谔废寝忘食地思虑这些先进理论，既然粒子拥有波粒二象性，应当会有一个反响这特征的颠簸方程，能够正确地描绘粒子的量子行为于是，薛定谔试着找寻一个颠簸方程哈密顿先前的研究指引著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地隐藏于一个觉察里这觉察就是，在零波长极限，实质光学系统趋势几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变为明确的路径，恪守最小作用量原理哈密顿相信，在零波长极限，波流传会变为明确的运动但是，他并无设计出一个方程来描绘这波行为这也是薛定谔所成就的他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创立了薛定谔方程薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，获得了与用玻尔模型计算出的能级同样的答案但是，薛定谔对这结果其实不知足，因为，索末菲仿佛已经正确地计算出氢原子光谱线精美构造常数的相对论性的修正。
薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来找寻一个相对论性方程（当今称为克莱因-高登方程），能够描绘电子在库仑位势内的量子行为薛定谔计算出这方程的定态波函数但是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧固然这样，他以为先前非相对论性的部分，依旧含有足够的新结果所以，决定临时不发表相对论性的修正，只把他的颠簸方程与氢原子光谱剖析结果，写为一篇论文1926年，正式发布于物理学界[2]此后，赐予了量子力学一个新的发展平台薛定谔方程美丽地解说了的行为，但并无解说的意义薛定谔曾试试解说代表电荷的密度，但却失败了1926年，就在薛定谔第四篇的论文发布以后几日，马克斯·玻恩提出概率幅的观点，成功地解说了的物理意义[3]但是，薛定谔自己向来不认可这种统计或概率的表示方法，和它所陪伴的非连续性波函数坍缩就像爱因斯坦的以为量子力学是基本为确立性理论的统计近似，薛定谔永久没法接受哥本哈根解说在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表示了这见解含时薛定谔方程导引启迪式导引含时薛定谔方程的启迪式导引，成立于几个假定：假定(1)一个粒子的总能量能够经典地表达为动能与势能的和：；此中，是动量，是质量特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。
2)1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频次成正比：此中，是普朗克常数，是角频次1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明全部的粒子都拥有波的性质，可以用一个波函数来表达粒子的动量与陪伴的波函数的波长有关：；此中，是波数用矢量表达，波函数以复值平面波来表达波函数1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：他想到，所以并且同样地因为，所以获得再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处挪动：薛定谔获得一个单调粒子在一维空间有位能之处挪动时的方程：薛定谔的导引思虑一个粒子，运动于一个守旧的位势我们能够写出它的哈密顿-雅可比方程；此中，是哈密顿主函数因为位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数能够分别成两部分：；此中，不相依于时间的函数将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿是哈密顿特点函数，是能量雅可比方程，略加运算，能够获得；哈密顿主函数随时间的全导数是思虑哈密顿主函数的一个常数的等值曲面这常数的等值曲面在空间挪动的方程为所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向挪动的速度是这速度是相速度，而不是粒子的挪动速度：我们能够想像为一个相位曲面。
既然粒子拥有波粒二象性，试着赐予粒子一个相位与成比率的波函数：；此中，是常数，是相依于地点的系数函数将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为注意到的量纲一定是频次，薛定谔忽然想起爱因斯坦的光电效应理论；此中，是约化普朗克常数，是角频次设定，粒子的波函数变为；此中，的颠簸方程为将波函数代入颠簸方程，经过一番运算，获得略加编排，能够导引出薛定谔方程：特征线性方程态叠加原理薛定谔方程是一个线性方程知足薛定谔方程的波函数拥有线性关系倘若与是某薛定谔方程的解设定，此中，与是任何常数则也是一个解证明依据不含时薛定谔方程(1)，，线性组合这两个方程的解，所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程近似地，我们能够证明不含时薛定谔方程是一个线性方程实值的本征态不含时薛定谔方程的波函数解答，也切合线性关系但在这情况，线性关系有略微不一样的意义倘若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，则这两个不一样的波函数解答为简并的任何线性组合也是能量为的解答关于任何位势，都有一个显然的简并：倘若波函数是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数也是这薛定谔方程的解答所以，的实值部分或虚值部分，都分别是解答。
我们只要要专注实值的波函数解答这限制其实不会影响到整个不含时问题转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向挪动赐予某含时薛定谔方程的解答其代替波函数是此外一个解答：这解答是复共轭对称性的延长称复共轭对称性为时间反转幺正性在量子力学里，关于任何事件，全部可能产生的结果的概率总和等于1，称这特征为幺正性薛定谔方程能够自动地保持幺正性用波函数表达，3)为了知足这特征，一定将波函数归一化倘若，某一个薛定谔方程的波函数尚未归一化因为薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积仍是这个薛定谔方程的波函数设定；此中，是归一常数，使得这样，新波函数仍是这个薛定谔方程的解答，并且，已经被归一化了在这里，特别注意到方程(3)的波函数相依于时间，而跟着地点的积分依旧可能相依于时间在某个时间的归一化，其实不保证跟着时间的演化，波函数依旧保持归一化薛定谔方程有一个特征：它能够自动地保持波函数的归一化这样，量子系统永久地知足幺正性所以，薛定谔方程能够自动地保持幺正性证明总概率随时间的微分表达为4)思虑含时薛定谔方程，其复共轭是所以，代入方程(4)，在无量远的极限，切合物理实质的波函数一定等于0薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
齐备基底能量本征函数形成了一个齐备基底任何一个波函数能够表达为失散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分这就是数学的谱定理(spectraltheorem)在一个有限态空间，这表示了厄米算符的本征函数的齐备性相对论性薛定谔方程薛定谔方程并无将相对论效应归入考虑范围内关于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；但是关于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变为了要包括相对论效应，一定将薛定谔方程做极大的改变试想能量质量关系式，；此中，是光速，是静止质量直接地用这关系式来推行薛定谔方程：或许，略加编排，；此中，，是达朗贝尔算符这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式但是，它是一个时间的二阶方程所以，不可以成为波函数的方程并且，这方程的解答拥有正频次和负频次一个平面波函数解答恪守；此中，是角频次，能够是正当或负值对量子力学来说，正负角频次或正负能量，是一个很严重的问题，因为没法从底端限制能量的最低值固然这样，加以适合的解说，这方程依旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个特意描绘自旋-?粒子量子态的波函数方程：，此中，是自旋-?粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。
狄拉克方程方程依旧存在负能量的解答为了要除掉这麻烦的瑕疵，一定用到多粒子图案，把颠簸方程看作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程因为，相对论与单粒子图案互不相容一个相对论性粒子不可以被限制于一个小地区，除非粒子的数目变为无量多倘若，一个粒子被限制于一个长度为的一维盒子里，依据不确立性原理，动量的不确立性倘若，因为粒子的动量足够的大，质量能够被忽视，则能量的不确立性大概为当盒子的长度等于康普顿波长时，能量的不确立性等于粒子的质能当盒子的长度小于康普顿波长时，我们没法确立盒子内只有一个粒子因为，能量的不确立性，足够从真空制造更多的粒子我们用来丈量盒子内粒子地点的体制，也能够从真空制造更多的粒子分析方法自由粒子主条目：自由粒子当位势为0时，薛定谔方程为解答是一个平面波：，此中，是波矢，是角频次代入薛定谔方程，这两个变量一定恪守以下关系：因为粒子存在的概率一定等于1，波函数一定先归一化，而后才能够表达出正确的物理意义关于一般的自由粒子而言，这不是一个问题因为，自。