自动控制原理课件

华中科技大学控制系：樊华中科技大学控制系：樊 慧津慧津自动控制原理自动控制原理(Automatic Control Theory)(Automatic Control Theory)学时：学时： 48+8/3.5考试：闭卷考试考试：闭卷考试参考书目：参考书目：1.王敏，秦肖臻编王敏，秦肖臻编  自动控制原理自动控制原理 北京：化学工业出版社，北京：化学工业出版社， 20032.孙德宝主编自动控制原理孙德宝主编自动控制原理 北京：化学工业出版社，北京：化学工业出版社， 20023.胡寿松主编自动控制原理胡寿松主编自动控制原理 北京：国防工业出版社，北京：国防工业出版社，19944.王划一主编自动控制原理王划一主编自动控制原理 北京：国防工业出版社，北京：国防工业出版社， 2001实验安排实验安排4周（周（332/322），），8，，11周（周（620）南一楼）南一楼0401-0402班班 周一（周一（11-12））0403-0404班班 周四（周四（11-12））4周（周（332/322），），7，，11周（周（620）南一楼）南一楼0405-0406班班 周二（周二（9-10））0407-0408班班 周二（周二（11-12））14周周  计算中心四楼计算中心四楼401机房机房0401-0408班班  周五（周五（1-2））3主要内容主要内容Ø 绪论绪论Ø 控制系统的数学模型控制系统的数学模型Ø 线性系统的时域分析线性系统的时域分析Ø 线性系统的频域分析线性系统的频域分析Ø 线性系统的校正方法线性系统的校正方法Ø 线性离散控制系统（采样系统分析）线性离散控制系统（采样系统分析）Ø 状态空间分析设计状态空间分析设计4第一章第一章 绪论绪论1.1 自动控制的基本概念自动控制的基本概念：：明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、控制装置和自控系统等概念。

控制装置和自控系统等概念1.2 自动控制理论的发展：自动控制理论的发展：了解自动控制理论发展的四个主要阶段了解自动控制理论发展的四个主要阶段1.3 控制系统的分类：控制系统的分类：明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征和信息特征 1.4 对控制系统的基本要求：对控制系统的基本要求：明确对自控系统的基本要求，正确理明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的含义解三大性能指标的含义5手动控制手动控制人在控制过程中起三个作用： （1）观测：用眼睛去观测温度计和转速表的指示值； （2）比较与决策：人脑把观测得到的数据与要求的数据相比较，并进行判断，根据给定的控制规律给出控制量； （3）执行：根据控制量用手具体调节，如调节阀门开度、改变触点位置控制：控制：操纵，节制使不超出范围或随意活动61.1 1.1 1.1 1.1 自动控制的基本概念自动控制的基本概念自动控制的基本概念自动控制的基本概念 在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。

如数控车床按预定程序自动切削，人造卫星准确进入预定轨道并回收如数控车床按预定程序自动切削，人造卫星准确进入预定轨道并回收等 除了在工业上广泛应用外，近几十年来，随着计算机技术的发展和应除了在工业上广泛应用外，近几十年来，随着计算机技术的发展和应用，在宇航、机器人控制、导弹制导及核动力等高新技术领域中，自用，在宇航、机器人控制、导弹制导及核动力等高新技术领域中，自动控制技术更具特别重要的作用不仅如此，自动控制技术的应用范动控制技术更具特别重要的作用不仅如此，自动控制技术的应用范围现在已扩展到生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领围现在已扩展到生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领域中，特别在化学工业中的应用有传热设备控制，反应器控制，流体域中，特别在化学工业中的应用有传热设备控制，反应器控制，流体输送设备控制，精馏塔控制等自动控制已成为现代社会生活中不可输送设备控制，精馏塔控制等自动控制已成为现代社会生活中不可缺少的一部分缺少的一部分7v自自动动控控制制：：自自动动控控制制，，就就是是在在没没有有人人直直接接参参与与的的情情况况下下，，利利用用外外加加的的设设备备或或装装置置（（控控制制装装置置）），，使使机机器器、、设设备备或或生生产产过过程程（（控控制制对对象象））的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律运行。

的某个工作状态或参数（被控量）自动地按照预定的规律运行v自自动动控控制制系系统统：：是是指指能能够够对对被被控控对对象象的的工工作作状状态态进进行行自自动动控控制制的的系系统统它它是是控控制制对对象象以以及及参参与与实实现现其其被被控控制制量量自自动动控控制制的的装装置置或或元元部部件件的的组组合合，，一一般般由由控控制制装装置置和和被被控控对对象象组组成成一一般般包包括括三三种种机机构构：：测测量量机机构构、、比较机构、执行机构比较机构、执行机构自自动动控控制制系系统统的的功功能能和和组组成成是是多多种种多多样样的的，，其其结结构构有有简简单单也也有有复复杂杂它它可可以以只只控控制制一一个个物物理理量量，，也也可可以以控控制制多多个个物物理理量量甚甚至至一一个个企企业业机机构构的的全全部部生生产产和和管管理理过过程程；；它它可可以以是是一一个个具具体体的的工工程程系系统统，，也也可可以以是是比比较较抽象的抽象的社会系统、生态系统或经济系统社会系统、生态系统或经济系统8v 控制系统分析控制系统分析：已知系统的结构参数，分析系统的稳定性，求取系：已知系统的结构参数，分析系统的稳定性，求取系统的动态、静态性能指标，并据此评价系统的过程称为控制系统分统的动态、静态性能指标，并据此评价系统的过程称为控制系统分析。

析v 控制系统设计（或综合）：控制系统设计（或综合）：根据控制对象和给定系统的性能指标，根据控制对象和给定系统的性能指标，合理的确定控制装置的结构参数，称为控制系统设计合理的确定控制装置的结构参数，称为控制系统设计v被控量被控量 ：：指被控对象中要求保持给定值、要按给定规律变化的物理指被控对象中要求保持给定值、要按给定规律变化的物理量被控量又称输出量、输出信号量被控量又称输出量、输出信号 v 给定值给定值：系统输出量应达到的数值（例如与要求的炉温对应的电压）：系统输出量应达到的数值（例如与要求的炉温对应的电压）v 扰动扰动：是一种对自动控制系统输出量起反作用的信号，如电源电压：是一种对自动控制系统输出量起反作用的信号，如电源电压的波动、环境温度的变化的波动、环境温度的变化9 开环控制是指系统的开环控制是指系统的被控制量（输出量）只受被控制量（输出量）只受控于控制作用，而控于控制作用，而对控制对控制作用不能反施任何影响作用不能反施任何影响的的控制方式采用开环控制控制方式采用开环控制的系统称为开环控制系统的系统称为开环控制系统优点：结构简单，成本低优点：结构简单，成本低廉，易于实现廉，易于实现缺点：对扰动没有抑制能缺点：对扰动没有抑制能力，控制精度低力，控制精度低v 控制方式控制方式• 开环控制开环控制10• 闭环控制闭环控制闭闭环环控控制制是是指指系系统统的的被被控控制制量量（（输输出出量量））与与控控制制作作用用之之间间存存在在着着负负反反馈馈的的控控制制方方式式。

采采用用闭闭环环控控制制的的系系统统称称为为闭闭环环控控制制系系统统或或反反馈馈控控制制系系统统闭闭环环控控制制是是一一切切生生物物控控制制自自身身运运动动的的基基本本规规律律人人本本身身就就是是一一个个具具有有高高度度复复杂杂控控制制能能力的闭环系统力的闭环系统优优点点：：具具有有自自动动补补偿偿由由于于系系统统内内部部和和外外部部干干扰扰所所引引起起的的系系统统误误差差（（偏偏差差））的的能力，因而有效地提高了系统的精度能力，因而有效地提高了系统的精度缺缺点点：：系系统统参参数数应应适适当当选选择择，，否否则则可可能能不能正常工作不能正常工作11反馈的概念反馈的概念反反馈馈：：把把输输出出量量送送回回到到系系统统的的输输入入端端并并与与输输入入信信号号比比较较的的过过程程若若反反馈馈信信号号是是与与输输入入信信号号相相减减而而使使偏偏差差值值越越来来越越小小，，则则称称为为负负反反馈馈；；反反之之，，则则称称为为正正反反馈馈显显然然，，负负反反馈馈控控制制是是一一个个利利用用偏偏差差进进行行控控制制并并最最后后消消除除偏偏差差的的过过程程，，又又称称偏偏差差控控制制同同时时，，由由于于有有反反馈馈的的存存在在，，整整个个控控制制过过程是闭合的，故也称为闭环控制。

程是闭合的，故也称为闭环控制12比较以上两种控制方式比较以上两种控制方式Ø由由于于开开环环控控制制的的特特点点是是控控制制装装置置只只按按照照给给定定的的输输入入信信号号对对被被控控制制量量进进行行单单向向控控制制，，而而不不对对控控制制量量进进行行测测量量并并反反向向影影响响控控制制作作用用这这样样，，当当炉炉温温偏偏离离希希望望值值时时，，开开关关K K的的接接通通或或断断开开时时间间不不会会相相应应改改变变因因此此，，开开环环控控制制不不具具有有修修正正由由于于扰扰动动（（使使被被控控制制量量偏偏离离希希望望值值的的因因素素））而而出出现现的的被被控控制制量量与希望值之间偏差的能力，即抗干扰能力差与希望值之间偏差的能力，即抗干扰能力差Ø在在闭闭环环控控制制中中，，被被控控量量一一般般是是由由测测量量装装置置检检测测并并反反馈馈到到输输入入端端，，然然后后由由比比较较装装置置将将它它与与输输入入信信号号综综合合得得到到偏偏差差（（误误差差）），，有有时时，，测测量量与与综综合合作作用用是是由由一一个个装装置置完完成成的的，，如如水水银银温温度度计计由由于于采采用用了了接接触触式式水水银银温温度度计计，，可可以以不不断断对对炉炉温温进进行行测测量量和和比比较较，，根根据据炉炉温温的的实实际际偏偏差差进进行行控控制制，，提提高高了控制精度和抗干扰能力。

了控制精度和抗干扰能力13是开环和闭环控制相结合的一种控制方式它是在闭环是开环和闭环控制相结合的一种控制方式它是在闭环控制回路的基础上，附加一个输入信号或扰动信号的顺控制回路的基础上，附加一个输入信号或扰动信号的顺馈通路，用来提高系统的控制精度顺馈通路通常由对馈通路，用来提高系统的控制精度顺馈通路通常由对输入信号的补偿器或对扰动信号的补偿器组成输入信号的补偿器或对扰动信号的补偿器组成优点：具有很高的控制精度，可以抑制几乎所有的可优点：具有很高的控制精度，可以抑制几乎所有的可量测扰动量测扰动缺点缺点: :补偿器的参数要有较高的稳定性补偿器的参数要有较高的稳定性• 复合控制复合控制14v方框图的概念方框图的概念 •方框方框 控制装置和被控对象分别用方框表示控制装置和被控对象分别用方框表示•信信号号线线 方方框框的的输输入入和和输输出出以以及及它它们们之之间间的的联联接接用用带带箭头的信号线表示箭头的信号线表示•输入信号输入信号 进入方框的信号进入方框的信号•输出信号输出信号 离开方框的信号离开方框的信号信号线信号线方框方框信号线信号线输入信号输入信号输出信号输出信号15开环控制系统方框图开环控制系统方框图控制装置控制装置被控对象被控对象输入量输入量输出量输出量（被控制量）（被控制量）输输入入量量：：加加在在电电阻阻丝丝两两端端的的电电压压被控制对象：炉子被控制对象：炉子被控制量（输出量）：炉温被控制量（输出量）：炉温控制装置：开关控制装置：开关K K和电热丝，对和电热丝，对被控制量起控制作用。

被控制量起控制作用16温度计温度计继电器继电器电阻丝电阻丝炉温炉温 输入量输入量（炉温希望值）（炉温希望值） 输出量输出量（炉温实际值）（炉温实际值）扰动扰动闭环控制的电加热炉方框图闭环控制的电加热炉方框图闭环控制的电加热炉方框图闭环控制的电加热炉方框图17人取书的控制过程人取书的控制过程眼睛眼睛脑脑手手 输入量输入量（书的位置）（书的位置） 输出量输出量（手的位置）（手的位置）18闭环控制系统方框图闭环控制系统方框图19反馈控制系统方框图反馈控制系统方框图反馈控制系统的组成、名词术语和定义反馈控制系统的组成、名词术语和定义201.2 1.2 1.2 1.2 自动控制理论的发展自动控制理论的发展自动控制理论的发展自动控制理论的发展        自自动动控控制制理理论论是是研研究究自自动动控控制制共共同同规规律律的的技技术术科科学学既既是是一一门门古古老老的的、、已已臻臻成成熟熟的的学学科科，，又又是是一一门门正正在在发发展展的的、、具具有有 强强 大大 生生 命命 力力 的的 新新 兴兴 学学 科科 从从 18681868年年 马马 克克 斯斯 威威 尔尔（（J.C.MaxwellJ.C.Maxwell））提提出出低低阶阶系系统统稳稳定定性性判判据据至至今今一一百百多多年年里里，，自动控制理论的发展可分为四个主要阶段：自动控制理论的发展可分为四个主要阶段：第第一一阶阶段段：：经经典典控控制制理理论论（（或或古古典典控控制制理理论论））的的产产生生、、发发展展和成熟；和成熟；第二阶段：第二阶段：现代控制理论的兴起和发展；现代控制理论的兴起和发展；第三阶段：第三阶段：大系统控制兴起和发展阶段；大系统控制兴起和发展阶段；第四阶段：第四阶段：智能控制发展阶段。

智能控制发展阶段21经典控制理论经典控制理论         控控制制理理论论的的发发展展初初期期，，是是以以反反馈馈理理论论为为基基础础的的自自动动调调节节原原理理，，主主要要用用于于工工业业控控制制第第二二次次世世界界大大战战期期间间，，为为了了设设计计和和制制造造飞飞机机及及船船用用自自动动驾驾驶驶仪仪、、火火炮炮定定位位系系统统、、雷雷达达跟跟踪踪系系统统等等基基于于反反馈馈原原理理的的军用装备，进一步促进和完善了自动控制理论的发展军用装备，进一步促进和完善了自动控制理论的发展Ø1868年，马克斯威尔（年，马克斯威尔（J.C.Maxwell）提出了低阶系统的稳定性代）提出了低阶系统的稳定性代数判据数判据 Ø1875年和年和18961896年，数学家劳斯（年，数学家劳斯（Routh）和赫尔威茨（）和赫尔威茨（Hurwitz））分别独立地提出了高阶系统的稳定性判据，即分别独立地提出了高阶系统的稳定性判据，即Routh和和Hurwitz判据Ø二二战战期期间间（（1938-19451938-1945年年））奈奈奎奎斯斯特特（（H.NyquistH.Nyquist））提提出出了了频频率率响响应应理理论论 19481948年年，，伊伊万万斯斯（（W.R.EvansW.R.Evans））提提出出了了根根轨轨迹迹法法。

至至此此，，控控制制理理论论发发展展的的第第一一阶阶段段基基本本完完成成，，形形成成了了以以频频率率法法和和根根轨轨迹迹法法为为主主要方法的经典控制理论要方法的经典控制理论22经典控制理论的基本特征经典控制理论的基本特征（（1 1））主主要要用用于于线线性性定定常常系系统统的的研研究究，，即即用用于于常常系系数数线线性性微微分分方方程程描描述的系统的分析与综合；述的系统的分析与综合；（（2 2）只用于单输入，单输出的反馈控制系统；）只用于单输入，单输出的反馈控制系统；（（3 3））只只讨讨论论系系统统输输入入与与输输出出之之间间的的关关系系，，而而忽忽视视系系统统的的内内部部状状态态，，是一种对系统的外部描述方法是一种对系统的外部描述方法 基本方法：根轨迹法，频率法，基本方法：根轨迹法，频率法，PIDPID调节器调节器 （频域）（频域）反反馈馈控控制制是是一一种种最最基基本本最最重重要要的的控控制制方方式式，，引引入入反反馈馈信信号号后后，，系系统统对对来来自自内内部部和和外外部部干干扰扰的的响响应应变变得得十十分分迟迟钝钝，，从从而而提提高高了了系系统统的的抗抗干干扰扰能能力力和和控控制制精精度度。

与与此此同同时时，，反反馈馈作作用用又又带带来来了了系系统统稳稳定定性性问问题题，，正正是是这这个个曾曾一一度度困困扰扰人人们们的的系系统统稳稳定定性性问问题题激激发发了了人人们们对对反反馈馈控控制制系系统统进进行行深深入入研研究究的的热热情情，，推推动动了了自自动动控控制制理理论论的的发发展展与与完完善善因因此此从从某某种种意意义义上上讲讲，，古古典典控控制制理理论论是是伴伴随随着着反反馈馈控控制技术的产生和发展而逐渐完善和成熟起来的制技术的产生和发展而逐渐完善和成熟起来的23现代控制理论现代控制理论 经经典典控控制制理理论论只只适适用用于于单单输输入入、、单单输输出出的的线线性性定定常常系系统统，，只只注注重重系系统统的外部描述而忽视系统的内部状态在实际应用中有很大局限性的外部描述而忽视系统的内部状态在实际应用中有很大局限性 随随着着航航天天事事业业和和计计算算机机的的发发展展，，2020世世纪纪6060年年代代初初，，在在经经典典控控制制理理论论的的基基础础上上，，以以线线性性代代数数理理论论和和状状态态空空间间分分析析法法为为基基础础的的现现代代控控制制理理论论迅速发展起来。

迅速发展起来Ø19541954年贝尔曼（年贝尔曼（R.Belman)R.Belman)提出动态规划理论提出动态规划理论Ø19561956年庞特里雅金（年庞特里雅金（L.S.PontryaginL.S.Pontryagin）提出极大值原理）提出极大值原理Ø19601960年卡尔曼（年卡尔曼（R.K.Kalman)R.K.Kalman)提出多变量最优控制和最优滤波理论提出多变量最优控制和最优滤波理论 在在数数学学工工具具、、理理论论基基础础和和研研究究方方法法上上不不仅仅能能提提供供系系统统的的外外部部信信息息（（输输出出量量和和输输入入量量）），，而而且且还还能能提提供供系系统统内内部部状状态态变变量量的的信信息息它它无无论论对对线线性性系系统统或或非非线线性性系系统统，，定定常常系系统统或或时时变变系系统统，，单单变变量量系系统统或或多多变量系统变量系统，都是一种有效的分析方法都是一种有效的分析方法基本方法：状态方程基本方法：状态方程 （时域）（时域）大系统理论大系统理论 2020世世纪纪7070年年代代开开始始，，现现代代控控制制理理论论继继续续向向深深度度和和广广度度发发展展，，出出现现了了一一些些新新的的控控制制方方法法和和理理论论。

如如（（1 1））现现代代频频域域方方法法 以以传传递递函函数数矩矩阵阵为为数数学学模模型型，，研研究究线线性性定定常常多多变变量量系系统统；；（（2 2））自自适适应应控控制制理理论论和和方方法法 以以系系统统辨辨识识和和参参数数估估计计为为基基础础，，在在实实时时辨辨识识基基础础上上在线确确定定最最优优控控制制规规律律；；（（3 3））鲁鲁棒棒控控制制方方法法 在在保保证证系系统统稳稳定定性性和和其其它它性性能能基基础础上上，，设设计计不不变变的的鲁鲁棒控制器，以处理数学模型的不确定性棒控制器，以处理数学模型的不确定性 25•随随着着控控制制理理论论应应用用范范围围的的扩扩大大，，从从个个别别小小系系统统的的控控制制，，发发展展到到若若干干个个相相互互关关联联的的子子系系统统组组成成的的大大系系统统进进行行整整体体控控制制，，从从传传统统的的工工程程控控制制领领域域推推广广到到包包括括经经济济管管理理、、生生物物工工程程、、能源、运输、环境等大型系统以及社会科学领域能源、运输、环境等大型系统以及社会科学领域• 大大系系统统理理论论是是过过程程控控制制与与信信息息处处理理相相结结合合的的系系统统工工程程理理论论，，具具有有规规模模庞庞大大、、结结构构复复杂杂、、功功能能综综合合、、目目标标多多样样、、因因素素众众多多等等特特点点。

它它是是一一个个多多输输入入、、多多输输出出、、多多干干扰扰、、多多变量的系统变量的系统大系统理论目前仍处于发展和开创性阶段大系统理论目前仍处于发展和开创性阶段 智能控制智能控制 是是近近年年来来新新发发展展起起来来的的一一种种控控制制技技术术，，是是人人工工智智能能在在控控制制上上的的应应用用智智能能控控制制的的概概念念和和原原理理主主要要是是针针对对被被控控对对象象、、环环境境、、控控制制目目标标或或任任务务的的复复杂杂性性提提出出来来的的，，它它的的指指导导思思想想是是依依据据人人的的思思维维方方式式和和处处理理问问题题的的技技巧巧，，解解决决那那些些目目前前需需要要人人的的智智能能才才能能解解决决的的复复杂杂的的控控制制问问题题被被控控对对象象的的复复杂杂性性体体现现为为: :模模型型的的不不确确定定性性，，高高度度非非线线性性，，分分布布式式的的传传感感器器和和执执行行器器，，动动态态突突变变，，多多时时间间标标度度，，复复杂杂的的信信息息模模式式，，庞庞大大的的数数据据量量，，以以及及严严格格的的特特性性指指标标等等智智能能控控制制是是驱驱动动智能机器自主地实现其目标的过程智能机器自主地实现其目标的过程27 智能控制是从智能控制是从“仿人仿人”的概念出发的。

其方法包括学的概念出发的其方法包括学习控制、模糊控制、神经元网络控制和专家控制等方法习控制、模糊控制、神经元网络控制和专家控制等方法 281.3 控制系统的分类控制系统的分类Ø 恒值系统和随动系统（按参考输入形式分类）恒值系统和随动系统（按参考输入形式分类） 恒值系统恒值系统是指参考输入量保持常值的系统其任是指参考输入量保持常值的系统其任务是消除或减少扰动信号对系统输出的影响，使被务是消除或减少扰动信号对系统输出的影响，使被控制量（即系统的输出量）保持在给定或希望的数控制量（即系统的输出量）保持在给定或希望的数值上             随动系统随动系统是指参考输入量随时间任意变化的系是指参考输入量随时间任意变化的系统其任务是要求输出量以一定的精度和速度跟踪统其任务是要求输出量以一定的精度和速度跟踪参考输入量，跟踪的速度和精度是随动系统的两项参考输入量，跟踪的速度和精度是随动系统的两项主要性能指标主要性能指标29Ø线性系统和非线性系统（按照组成系统的元线性系统和非线性系统（按照组成系统的元件特性分类）件特性分类） 线性系统线性系统是指构成系统的所有元件都是线性元件的是指构成系统的所有元件都是线性元件的系统。

其动态性能可用线性微分方程描述，系统满足叠系统其动态性能可用线性微分方程描述，系统满足叠加原理非线性系统非线性系统是指构成系统的元件中含有非线性元件是指构成系统的元件中含有非线性元件的系统其只能用非线性微分方程描述，不满足叠加原的系统其只能用非线性微分方程描述，不满足叠加原理同时把可以进行线性化处理的系统或元件特性称为理同时把可以进行线性化处理的系统或元件特性称为非本质非线性特性反之，称之为本质非线性，它只能非本质非线性特性反之，称之为本质非线性，它只能用非线性理论分析研究用非线性理论分析研究30Ø连连续续系系统统和和离离散散系系统统（（按按照照系系统统内内信信号号的的传递形式分类）传递形式分类） 连连续续系系统统是是指指系系统统内内各各处处的的信信号号都都是是以以连连续续的的模模拟量传递的系统拟量传递的系统如如果果系系统统内内某某处处或或数数处处信信号号是是以以脉脉冲冲序序列列或或数数码码形形式式传传递递的的系系统统则则称称为为离离散散系系统统其其脉脉冲冲序序列列可可由由脉脉冲冲信信号号发发生生器器或或振振荡荡器器产产生生，，也也可可用用采采样样开开关关将将连连续续信信号号变变成成脉脉冲冲序序列列，，这这类类控控制制系系统统又又称称为为采采样样控控制制系系统统或或脉脉冲冲控控制制系系统统。

而而用用数数字字计计算算机机或或数数字字控控制制器器控控制制的的系系统统又称为数字控制系统或计算机控制系统又称为数字控制系统或计算机控制系统311.4 1.4 控制系统的性能指标控制系统的性能指标对控制系统性能的要求概括为三方面：对控制系统性能的要求概括为三方面：稳，准，快稳，准，快稳定性稳定性 控制系统运行的必要条件，不稳定的系统是不能工作的控制系统运行的必要条件，不稳定的系统是不能工作的动态性能动态性能 系统动态响应的快速性，系统的过渡过程越短越好系统动态响应的快速性，系统的过渡过程越短越好稳态性能稳态性能 过渡过程结束，到达稳态后系统的控制精度的度量过渡过程结束，到达稳态后系统的控制精度的度量y(t)y(t)t t0 0y(t)y(t)t t0 0y(t)y(t)t t0 0y(t)y(t)t t0 0(a(a) )(b(b) )(c(c) )(d(d) )32Ø 稳定性稳定性 系统在受到扰动作用后自动返回原来的平衡状态的能力系统在受到扰动作用后自动返回原来的平衡状态的能力如果系统受到扰动作用（系统内或系统外）后，能自动返回到原来的平衡状统受到扰动作用（系统内或系统外）后，能自动返回到原来的平衡状态，则该系统是稳定的。

稳定系统的数学特征是其输出量具有非发散态，则该系统是稳定的稳定系统的数学特征是其输出量具有非发散性；反之，系统是不稳定系统性；反之，系统是不稳定系统33Ø 动态性能动态性能 当当系系统统受受到到外外部部扰扰动动的的影影响响或或者者参参考考输输入入发发生生变变化化时时，，被被控控量量会会随随之之发发生生变变化化，，经经过过一一段段时时间间，，被被控控量量恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态或或到到达达一一个个新新的的给给定定状状态态，，称称这这一一过过程为过渡过程程为过渡过程 在在时时域域中中，，常常用用单单位位阶阶跃跃信信号号作作用用下下，，系系统统输输出出的的超超调调量量 p p , ,上上升升时时间间T Tr r ，，峰峰值值时时间间T Tp p , ,过过渡渡过过程程时时间间（（或或调调整时间）整时间）T Ts s和和振荡次数振荡次数N N等特征量表示等特征量表示34Ø稳态误差稳态误差 指指稳稳定定系系统统在在完完成成过过渡渡过过程程后后的的稳稳态态输输出出偏偏离离希希望望值值的的程程度度开开环环控控制制系系统统的的稳稳态态误误差差通通常常与与系系统统的的增增益益或或放放大大倍倍数数有有关关，，而而反反馈馈控控制制系系统统（（闭闭环环系系统统））的的控控制制精精度度主主要要取取决决于于它它的的反反馈馈深深度度。

稳稳态态误误差差越越小小，，系系统统的的精度越高精度越高，它由系统的稳态响应反映出来它由系统的稳态响应反映出来35 作作 业业Page 6.      2, 3Due date:  29th Sep.  周六周六 36小小 结结明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、控制装置和自明确什么叫自动控制，正确理解被控对象、控制装置和自控系统等概念控系统等概念了解自动控制理论发展的四个主要阶段了解自动控制理论发展的四个主要阶段明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征明确系统常用的分类方式，掌握各类别的含义和信息特征 明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的含明确对自控系统的基本要求，正确理解三大性能指标的含义37预备知识预备知识•复变函数：复变函数：LaplaceLaplace变换（拉氏变换）变换（拉氏变换）, Z, Z变换变换•常微分方程解法：常微分方程解法：LaplaceLaplace变换和反变换变换和反变换•电路理论电路理论•基本的电子学和力学知识基本的电子学和力学知识第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 2.1 基本概念基本概念：：数学模型及常见的系统。

数学模型及常见的系统2.2 2.2 时域模型时域模型 - - 微分方程：微分方程：微分方程的建立及线性化微分方程的建立及线性化2.3 2.3 复域模型复域模型 – 传递函数：传递函数：借助拉氏变换，给出系统传递函数借助拉氏变换，给出系统传递函数经典控制理论中引用最广泛的一种模型经典控制理论中引用最广泛的一种模型2.4 2.4 控制系统方块图：控制系统方块图：掌握方块图的建立及化简掌握方块图的建立及化简2.52.5 状态空间模型状态空间模型：：控制系统的内部模型，描述了系统内部状态、控制系统的内部模型，描述了系统内部状态、系统输出与系统输入之间的关系，深入地揭示了系统的动态特性，是系统输出与系统输入之间的关系，深入地揭示了系统的动态特性，是现代控制理论分析、设计系统的基础掌握系统的状态变量表达式的现代控制理论分析、设计系统的基础掌握系统的状态变量表达式的求取及它与传递函数之间的关系求取及它与传递函数之间的关系2.1  基本概念基本概念Ø 定定义义：：数数学学模模型型是是描描述述系系统统内内部部物物理理量量（（或或变变量量））之之间间关关系系的的数数学学表表达达式Ø 建立数学模型的目的建立数学模型的目的• 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。

是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）• 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的通过数学模型来研究自控系统，可这些系统发展的模型却可以是相同的通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律Ø 建立方法建立方法• 解析法（机理模型）：解析法（机理模型）：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律，列出各变量之间的数学关系式定律，列出各变量之间的数学关系式• 实验法（实验建模实验法（实验建模 ）：）：对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信对系统施加典型测试信号（脉冲、阶跃或正弦信号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函号），记录系统的时间响应曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性数或频率特性Ø 常见的控制系统常见的控制系统常见的控制系统常见的控制系统1 1、集中参数系统、集中参数系统变量仅仅是时间的函数。

变量仅仅是时间的函数这类系统建立的动态数学模型通常是微分方程这类系统建立的动态数学模型通常是微分方程2 2、分布参数系统、分布参数系统变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数这类系统建立的动态数学这类系统建立的动态数学模型通常是偏微分方程如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是模型通常是偏微分方程如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是有梯度变化的在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，有梯度变化的在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，但由于偏微分方程求解比较困难，因此在一定误差允许范围内，对但由于偏微分方程求解比较困难，因此在一定误差允许范围内，对系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用微分方程进系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用微分方程进行分析413、线性系统、线性系统–能够用线性数学模型能够用线性数学模型( (线性的代数方程、微分方程、差分方程等线性的代数方程、微分方程、差分方程等) )描描述的系统，称为线性系统这类系统的基本特性，即输出响应特性、述的系统，称为线性系统这类系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系。

状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系–对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为线性系统线性系统线性系统线性系统，其运动方，其运动方程一般为线性微分方程若其各项系数为常数，则称为程一般为线性微分方程若其各项系数为常数，则称为线性定常系线性定常系线性定常系线性定常系统统统统–在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增大同样的倍数（均匀性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线大同样的倍数（均匀性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统性系统–非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不能应用叠加原理能应用叠加原理424 4、非线性系统、非线性系统–不满足叠加原理的系统，就是非线性系统因此非线性系统对两个输入量的不满足叠加原理的系统，就是非线性系统因此非线性系统对两个输入量的响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用方响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用方法。

但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系统法但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系统也是在一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出现也是在一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出现“死区死区”，在大信号时，又可能出现饱和现象，如图所示即为几种常见的，在大信号时，又可能出现饱和现象，如图所示即为几种常见的非线性的关系曲线非线性的关系曲线显然上面的微分方程不容易求解，系统分析很困难，所以常常需要引入显然上面的微分方程不容易求解，系统分析很困难，所以常常需要引入“等效等效”线性系统来代替非线性系统，这种等效线性系统仅在有限的工作范线性系统来代替非线性系统，这种等效线性系统仅在有限的工作范围内是正确的我们下面研究的系统就是线性系统或能等效为线性系统的围内是正确的我们下面研究的系统就是线性系统或能等效为线性系统的非线性系统非线性系统– 非线性微分方程：非线性微分方程： 435 5、线性定常系统、线性定常系统–如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么称如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么称系统为线性定常系统。

系统为线性定常系统–如如 6 6、线性时变系统、线性时变系统–如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的函数，那么称系统为线性时变系统函数，那么称系统为线性时变系统–如如 44Ø 建立合理的数学模型建立合理的数学模型建立的数学模型既有准确性，又有简化性建立的数学模型既有准确性，又有简化性–一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，一般应根据系统的实际结构参数及要求的计算精度，略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的略去一些次要因素，使模型既能准确反映系统的 动态动态本质，又能简化分析计算的工作本质，又能简化分析计算的工作–除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般除非系统含有强非线性或参数随时间变化较大，一般尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统尽可能采用线性定常数学模型描述自动控制系统2.2 2.2 时域模型时域模型 - - 微分方程微分方程2.2.1. 2.2.1. 建立系统或元件微分方程的步骤建立系统或元件微分方程的步骤I.I. 确定元件输入量和输出量确定元件输入量和输出量II.II.根据物理或化学定律，列出元件的原始方根据物理或化学定律，列出元件的原始方程程III.III.在可能条件下，对各元件的原始方程进行在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理化处理IV.IV.消去中间变量，得到描述元件输入和输出消去中间变量，得到描述元件输入和输出关系的微分方程关系的微分方程V.V.对微分方程进行标准化处理：与输出量相对微分方程进行标准化处理：与输出量相关的各项置于等号左侧，而与输入量相关关的各项置于等号左侧，而与输入量相关的置于等号右边；等号左右各项均按降幂的置于等号右边；等号左右各项均按降幂排列；将各项系数归化为具有一定物理意排列；将各项系数归化为具有一定物理意义的形式义的形式图2-1 建立系统或元件微分方程的 步骤46例例2.1 机械位移系统机械位移系统•如图表示一个弹簧—质量—阻尼器系统。

f (t)为一作用在运动部件上 的外加作用力，系统产生的位移为y(t)，运动部件质量用M表示，B为阻尼器的阻尼系数， K为弹簧的弹性系数要求写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式图2-2 弹簧－质量－阻尼器系统① 选择f (t)为系统的输入，y(t)为系统的输出② 列出原始方程式根据牛顿第二定律，有： 式中 f 1(t)——阻尼器阻力； f 2(t)——弹簧力在忽略弹簧质量的情况下 2.2.2. 微分方程微分方程47f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)为中间变量，消去中间变量，整理得为中间变量，消去中间变量，整理得 方程两边同时除以方程两边同时除以 K K令令则有则有图2-2 弹簧－质量－阻尼器系统例例2.22.2 RLCRLC电路电路设回路电流为设回路电流为 , ,由克希霍夫定律写由克希霍夫定律写出回路方程为：出回路方程为：i i确定元件的输入、输出确定元件的输入、输出 InputInput：： u ur r(t)(t) Output: u Output: uc c(t)(t)–消去中间变量消去中间变量 ，得到描述，得到描述网络输入输出关系的微分方程为网络输入输出关系的微分方程为图2-3 RLC电路系统例例2.3设流体是不可压缩的，应满足物质守恒设流体是不可压缩的，应满足物质守恒定律，可得：定律，可得：由流量公式得由流量公式得图2-4 液位流体系统50Ø具有相同结构微分方程的系统称为相似系统具有相同结构微分方程的系统称为相似系统 例如：例如：R-L-C电路与弹簧电路与弹簧-质量质量-阻尼器系统，虽然这两个系统阻尼器系统，虽然这两个系统就系统本质而言完全不同，但其具有相同结构的微分方程。

就系统本质而言完全不同，但其具有相同结构的微分方程i拉氏变换法求解步骤：拉氏变换法求解步骤： 1. 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量行拉氏变换，得到变量s s的代数方程；的代数方程； 2. 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式；求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解的时域表达式，即为所求微分方程的解2.2.3. 2.2.3. 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解求解方法求解方法：：经典法、拉氏变换法经典法、拉氏变换法Ø 拉氏拉氏(laplace)变换变换•定义定义：设函数：设函数f(t)当当t>=0时有定义，而且积分时有定义，而且积分   存在，存在，其中其中s s是复数是复数, ,则称则称F(s)是是f(t)的象函数的象函数,即即f(t)的拉的拉氏变换记为氏变换记为       f(t)称为称为 F(s)的原函数。

的原函数•  拉氏反变换拉氏反变换为为53•单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)1(t)•单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为•单位脉冲函数单位脉冲函数•单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为10t0t54 •几个重要的拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)55•拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(1) (1) 线性性质线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和 (2) (2) 微分性质微分性质 若若 ，则有，则有 f(0)f(0)为原函数为原函数f(t) f(t) 在在t=0t=0时的初始值时的初始值3) (3) 积分性质积分性质 若若 则则 式中式中 为积分为积分 当当t=0t=0时的值56 (4) 终值定理终值定理        即原函数的终值等于其象函数乘以即原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。

的初值5) 初值定理初值定理：：(6) 位移定理位移定理：：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟   ，则其，则其  象函数应乘以象函数应乘以b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应，原函数应   乘以乘以     ，即，即57例例2.42.4：用拉氏变换解微分方程：用拉氏变换解微分方程iucurCRL5859练习–方程两边进行拉氏变换得–整理得–方程两边进行拉氏反变换得–若–则系统响应如图所示Ø重点重点*建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式建立微分方程要掌握所涉及系统的关键公式*例如：牛顿第二定律、克希霍夫定律、质量守恒定律，刚例如：牛顿第二定律、克希霍夫定律、质量守恒定律，刚体旋转定律等体旋转定律等*建立的微分方程的标准形式建立的微分方程的标准形式特点：特点：方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统方法直观，但是微分方程的求解麻烦，尤其是高阶系统2.3 复域模型复域模型 – 传递函数传递函数2.3.1. 2.3.1. 传递函数的定义与性质传递函数的定义与性质传递函数的定义与性质传递函数的定义与性质定义：定义： 线性定常系统线性定常系统的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与的传递函数为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比。

系统输入量的拉氏变换之比问题的提出问题的提出 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且还可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响结构或参数变化对系统性能的影响所谓零初始条件是指所谓零初始条件是指1）输入量在）输入量在t>0时才作用在系统上，即在时才作用在系统上，即在             时系统输入及各时系统输入及各项导数均为零；项导数均为零；2）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在）输入量在加于系统之前，系统为稳态，即在          时系统输出及时系统输出及其所有导数项为零其所有导数项为零 62•设设r(t)r(t)和和c(t)c(t)及其各阶导数在及其各阶导数在t=0t=0时的值为时的值为0 0，即零初始条件，，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，则对上式中各项分别求拉氏变换，可得可得s s的代数方程为：的代数方程为：•由定义得系统得传递函数为由定义得系统得传递函数为•设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性阶线性常微分方程描述：常微分方程描述：•式中式中c(t)c(t)为系统输出量，为系统输出量，r(t)r(t)为系统输入量，为系统输入量，a ai i(i=1(i=1，，2 2，，3 3…n)n)和和 b bj j (j= 1,2,3 (j= 1,2,3….m ).m )是与系统结构和参数有关的常是与系统结构和参数有关的常系数系数分母中分母中s的最高阶次的最高阶次n即为系统的即为系统的阶次阶次，该系统称为，该系统称为n阶系统阶系统。

试列写网络传递函数试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).例例2.5  如图如图RLC电路，电路，RLCi(t)ur(t)uc(t)解解:   零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：传递函数：传递函数：64Ø性质性质 •传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数的有理真分式函数，分子多项式的次数，分子多项式的次数m m 低于低于或等于分母多项的次数或等于分母多项的次数n n，所有系数均为实数；，所有系数均为实数；•传递函数与微分方程有相通性传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换；，可经简单置换而转换； •传递函数表征了系统本身的动态特性传递函数表征了系统本身的动态特性传递函数只取决于系统本传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性数有效地描述了系统的固有特性. .））•只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，不能表征内部所有状只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，不能表征内部所有状态的特征态的特征•只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条不能反映非零初始条件引起的输出。

件引起的输出•服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数服从不同动力学规律的系统可有同样的传递函数•传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能极点分布图也表征了系统的动态性能65 Ø   传递函数的物理意义传递函数的物理意义传递函数的物理意义传递函数的物理意义显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变显然，在零初始条件下，若线性定常系统的输入的拉氏变换为，则系统的输出的拉氏变换为换为，则系统的输出的拉氏变换为                                             系统的输出为系统的输出为                                           由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为由于单位脉冲输入信号的拉氏变换为         所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为所以，单位脉冲输入信号作用下系统的输出的拉氏变换为 66 单位脉冲输入信号下系统的输出为单位脉冲输入信号下系统的输出为g(t),则则                                   可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉可见，系统传递函数的拉氏反变换即为单位脉冲输入信号下系统的输出。

因此，系统的单位冲输入信号下系统的输出因此，系统的单位脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动脉冲输入信号下系统的输出完全描述了系统动态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为态特性，所以也是系统的数学模型，通常称为脉冲响应函数脉冲响应函数67 作作 业业Page 41. 2-5, Due date:  29th Sep.  周六周六 682.3.2. 典型环节的传递函数典型环节的传递函数•比例环节比例环节: : 输出量无滞后，按比例复现输入量输出量无滞后，按比例复现输入量 电位器电位器69•惯性环节惯性环节 该环节存在储能元件，典型惯性环节该环节存在储能元件，典型惯性环节的微分方程为一阶常微分方程，其特的微分方程为一阶常微分方程，其特点是当系统输入有阶跃变化时，系统点是当系统输入有阶跃变化时，系统输出是由零逐渐跟上，如图所示输出是由零逐渐跟上，如图所示a)(a)为系统的输入变化，为系统的输入变化，(b)(b)为系统的为系统的输出响应输出按单调指数规律上升输出响应输出按单调指数规律上升. .70•积分环节积分环节 输出量与输入量对时间的积输出量与输入量对时间的积分成正比分成正比•微分环节微分环节输出量与输入量的导数成正比输出量与输入量的导数成正比r(t)c(t)t积分放大器原理积分放大器原理71例例2.6：如图所示卫星姿态控制系统：如图所示卫星姿态控制系统•对偏航角的控制对偏航角的控制 其中其中A、、B为斜对称配置的喷气发动机，为斜对称配置的喷气发动机，推力均为推力均为F/2，成对工作。

每个发动机到，成对工作每个发动机到质心的距离为质心的距离为l，那么产生的力矩为，那么产生的力矩为T=Fl，，假设卫星的转动惯量为假设卫星的转动惯量为J，，角位移角位移θ(t)为输出量，产生的力矩为输出量，产生的力矩T为输入量，那么为输入量，那么根据牛顿第二定律，注意到在卫星周围根据牛顿第二定律，注意到在卫星周围的环境中不存在摩擦，所以有的环境中不存在摩擦，所以有 其中其中T’＝＝J/l这是由两个积分环节组成的这是由两个积分环节组成的72•振荡环节（二阶环节）振荡环节（二阶环节） 该环节存在两个储能元件，且所储两种能量可以互该环节存在两个储能元件，且所储两种能量可以互相转换，故动态过程表现出振荡特性相转换，故动态过程表现出振荡特性73 ：无阻尼无阻尼自然振荡频率自然振荡频率 ：阻尼比：阻尼比•延滞环节延滞环节延滞时间（死区时间）延滞时间（死区时间）输出量相对于输入量滞后一个恒定时间输出量相对于输入量滞后一个恒定时间75Ø 关于典型环节的几点说明关于典型环节的几点说明关于典型环节的几点说明关于典型环节的几点说明•一个不可分割的装置或元件可一个不可分割的装置或元件可能含有若干典型环节能含有若干典型环节 例如例如：无源网络：无源网络•同一元部件，若选择不同的输同一元部件，若选择不同的输入量和输出量，将由不同的典入量和输出量，将由不同的典型环节组成型环节组成CRur（（t））uc（（t））76 Ø 有理分式形式有理分式形式    传递函数最常用的形式是下列有理分式形式传递函数最常用的形式是下列有理分式形式                          传传递递函函数数的的分分母母多多项项式式 D(s)称称为为系系统统的的特特征征多多项项式式, D(s)=0称称为为系系统统的特征方程的特征方程，，D(s)=0的根称为的根称为系统的特征根或极点系统的特征根或极点。

    分分母母多多项项式式的的阶阶次次定定义义为为系系统统的的阶阶次次对对于于实实际际的的物物理理系系统统，，多多项项式式D(s)、、N(s)的的所所有有系系数数为为实实数数，，且且分分母母多多项项式式的的阶阶次次 n高高于于或或等等于于分分子多项式的阶次子多项式的阶次m，即，即 n≥m≥m2.3.3.传递函数的表示方式传递函数的表示方式77 Ø零极点形式零极点形式    将将传传递递函函数数的的分分子子、、分分母母多多项项式式变变为为首首一一多多项项式式，，然然后后在在复数范围内因式分解，得复数范围内因式分解，得 n≥m ≥m （（2.66））     式中式中                      ，称为，称为系统的零点系统的零点；；                     为为系统的极点系统的极点；；              为系统的为系统的根轨迹增益根轨迹增益 系统零点、极点的分布决定了系统的特性系统零点、极点的分布决定了系统的特性，因此，可，因此，可以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性。

在以画出传递函数的零极点图，直接分析系统特性在零极点图上，用零极点图上，用“ ”表示极点位置，用表示极点位置，用“ ”表示表示零点零点78 例如，传递函数例如，传递函数           的零极点图如图的零极点图如图2.9所示79 Ø时间常数形式时间常数形式 将传递函数的分子、分母多项式变为将传递函数的分子、分母多项式变为尾一多项式尾一多项式，然后在复数范围内因，然后在复数范围内因式分解，得式分解，得 式中，式中，                             为为传递系数传递系数，通常也为，通常也为系统的放大系数系统的放大系数；；                           为系统的时间常数为系统的时间常数2.4 控制系统结构图控制系统结构图2.4.1 2.4.1 结构图的基本组成结构图的基本组成 微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数学表达式来描微分方程、传递函数等数学模型，都是用纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响述系统特性，不能反映系统中各元部件对整个系统性能的影响 定义定义: : 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。

系统的方框图，称为系统的结构图结构图又称为方框图、方块图等，既能描述系统中各变量间的结构图又称为方框图、方块图等，既能描述系统中各变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响定量关系，又能明显地表示系统各部件对系统性能的影响 •方框（环节）方框（环节）–方框表示对信号进行数学方框表示对信号进行数学变换方框中写入元部件变换方框中写入元部件或系统的传递函数或系统的传递函数系统系统输出的象函数等于输入的输出的象函数等于输入的象函数乘以方框中的传递象函数乘以方框中的传递函数或者频率特性函数或者频率特性•信号线信号线–信号线是带有箭头的直线，信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在箭头表示信号的流向，在直线旁边标记信号的时间直线旁边标记信号的时间函数或象函数这里的信函数或象函数这里的信号引出与测量信号一样，号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称不影响原信号，所以也称为测量点为测量点. .•综合点（比较点）综合点（比较点）–比较点表示对两个以上的信比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，号进行加减运算，“＋＋”表示相加，表示相加，“－－”表表示相减进行相加或相减的示相减。

进行相加或相减的量应具有相同的量纲单位量应具有相同的量纲单位 •分支点（引出点）分支点（引出点）–引出点表示信号引出或测量引出点表示信号引出或测量的位置从同一位置引出的从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全信号在数值和性质方面完全相同82Ø 结构图特点结构图特点•结构图是方块图与微分方程（传函）的结合结构图是方块图与微分方程（传函）的结合一方面它直观反映了整一方面它直观反映了整个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定个系统的原理结构（方块图优点），另一方面对系统进行了精确的定量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来）量描述（每个信号线上的信号函数均可确定地计算出来）•能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能能描述整个系统各元部件之间的内在联系和零初始条件下的动态性能，，但不能反映非零条件下的动态性能但不能反映非零条件下的动态性能•结构图最重要的作用：结构图最重要的作用：计算整个系统的传函计算整个系统的传函•对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性对同一系统，其结构图具有非唯一性；简化也具有非唯一性但得到但得到的系统传函是确定唯一的的系统传函是确定唯一的. .•结构图中方块结构图中方块≠≠实际元部件实际元部件，因为方框可代表多个元件的组合，甚至，因为方框可代表多个元件的组合，甚至整个系统整个系统83ØØ   结构图的绘制结构图的绘制结构图的绘制结构图的绘制•建立控制系统各元部件的微分方程建立控制系统各元部件的微分方程•对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的方框图和比较对各元件的微分方程进行拉氏变换，并作出各元件的方框图和比较点。

点•置系统输入量于左端，输出量于右端，便得到系统结构图置系统输入量于左端，输出量于右端，便得到系统结构图•从与系统输入量有关的比较点开始，依据信号流向，把各元部件的从与系统输入量有关的比较点开始，依据信号流向，把各元部件的结构图连接起来结构图连接起来 例例2.82.8 绘制如图所示绘制如图所示RCRC网络的结构图网络的结构图中间变量：中间变量：i, i1, i2; 信号量：信号量：ur, uc 根据电路定律，得到以下方程根据电路定律，得到以下方程84 按照上述方程，可以按照上述方程，可以 分别绘制相应元件的结构图分别绘制相应元件的结构图，如图，如图 (a) (a) ～～(d)(d)所示然后，所示然后，根据相互关系将这些结构图在根据相互关系将这些结构图在相同信号处相同信号处连接起来连接起来，，就得到整个系统的结构图就得到整个系统的结构图11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sI)(sUc1R)(1sICs)(2sI)(1sI)(2sI)(sI11R)(sUr)(1sI)(sUc2R)(sUc1RCs)(2sI)(1sI)(sI(a)(b)(c)(d)(e)练习练习 绘出绘出RCRC电路的结构图。

电路的结构图Ur(s)Uc(s)I1(s)1/R11/sC1(- -) R1 C1i1 (t)ur(t)uc(t)为了便于系统分析和设计，常常需要对系统的复杂的结构为了便于系统分析和设计，常常需要对系统的复杂的结构图作等价变换，或者通过变换使系统结构图简化，求取系图作等价变换，或者通过变换使系统结构图简化，求取系统的总传递函数因此，结构图变换是控制理论的基本内统的总传递函数因此，结构图变换是控制理论的基本内容2.4.2 2.4.2 结构图的化简结构图的化简等效变换的原则等效变换的原则结构图的变换应按等效原则进行所谓等效，即对结结构图的变换应按等效原则进行所谓等效，即对结构图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出的构图的任一部分进行变换时，变换前后输入输出的数学关系保持不变数学关系保持不变结构图的基本组成形式结构图的基本组成形式串联连接串联连接并联连接并联连接反馈连接反馈连接87Ø 等效变换的法则等效变换的法则–串联连接的等效变换串联连接的等效变换传递函数的串联连接，传递函数的串联连接，其等效传递函数为这些其等效传递函数为这些传递函数的积传递函数的积–上述结论可以推广到多上述结论可以推广到多个传递函数的串联，即个传递函数的串联，即n n个传递函数依次串联的个传递函数依次串联的等效传递函数，等于等效传递函数，等于n n个个传递函数的乘积。

传递函数的乘积88–并联连接的等效变换并联连接的等效变换 传递函数的并联连接，传递函数的并联连接，其等效传递函数为这些其等效传递函数为这些传递函数的和传递函数的和–上述结论可以推广到多上述结论可以推广到多个传递函数的并联，即个传递函数的并联，即n n个传递函数并联的等个传递函数并联的等效传递函数，等于效传递函数，等于n n个个传递函数的和传递函数的和89–反馈连接的等效变换反馈连接的等效变换90–比较点（综合点）和引出点的移动比较点（综合点）和引出点的移动在系统结构图简化的过程中，有时为了便于进在系统结构图简化的过程中，有时为了便于进行方框的串联、并联或者反馈连接的计算，需行方框的串联、并联或者反馈连接的计算，需要移动比较点或引出点的位置要移动比较点或引出点的位置•比较点前后移动比较点前后移动91–引出点前后移动引出点前后移动92注意注意•对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路但在移对综合点和分支点进行移动位置，消除交叉回路但在移动中一定要注意以下几点：动中一定要注意以下几点：–① ① 必须保持移动前后信号的等效性；必须保持移动前后信号的等效性；–② ② 相邻综合点可以互相换位和合并相邻综合点可以互相换位和合并；；–③ ③ 相邻分支点可以互相换位；相邻分支点可以互相换位；–④ ④ 综合点和分支点之间一般不宜交换位置。

综合点和分支点之间一般不宜交换位置 93 序号原结构图等效原结构图等效法则 1串联等效 2并联等效 3反馈等效94 4等效单位反馈5比较点前移6比较点后移7引出点前移 95 • 8引出点后移9交换和合并比较点10交换比较点和引出点（一般不采用)11负号在支路上移动 例例2.9G4(s)(- -)G2(s)G6(s)(- -)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)97例例2.102.10：试化简下述系统结构图，并求传递函数：试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)•显然若不移动比较点或引出点的位置就无法化简显然若不移动比较点或引出点的位置就无法化简H2(s)98–首先将首先将 间的引出点后移到方框的输出端间的引出点后移到方框的输出端–接着将接着将 组成的内反馈网络简化，其等效传递组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为函数为H2(s)H2(s)99–得到图为得到图为–然后将然后将 组成的内反馈网络简化，其等组成的内反馈网络简化，其等效传递函数为：效传递函数为：H2(s)/G4(s)H2(s)100–得到图为得到图为–最后将求得其传递函数为：最后将求得其传递函数为：H2(s)/G4(s)101 作作 业业Page 42.      2-6(绘制绘制(a).(b).的方框图）的方框图）, 2-12Due date:  11th Oct.  周四周四102练习：练习：试化简下述系统结构图，并求传递函数试化简下述系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)•显然化简该结构图也显然化简该结构图也需要移动比较点和引需要移动比较点和引出点，需要注意得是，出点，需要注意得是，引出点和比较点之间引出点和比较点之间是不宜随便移动的。

是不宜随便移动的因此我们将比较点前因此我们将比较点前移，将引出点后移移，将引出点后移–得到图为得到图为103–将两个比较点合并，并将求出将两个比较点合并，并将求出 的等效传的等效传递函数递函数：：–得到图为得到图为–得到系统等效传递函数：得到系统等效传递函数：2.4.3 2.4.3 闭环系统的结构图和传递函数闭环系统的结构图和传递函数•控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统控制系统常采用反馈结构，又称闭环控制系统通常，控制系统通常，控制系统会受到两类外作用信号的影响会受到两类外作用信号的影响一类是有用信号一类是有用信号，或称为输入信，或称为输入信号、给定值、参考输入等，常用号、给定值、参考输入等，常用r r( (t t) )表示；表示；另一类则是扰动另一类则是扰动，或，或称为干扰、噪声等，常用称为干扰、噪声等，常用n n( (t t) )表示 •通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进通过对反馈控制系统建立微分方程模型，直接在零初始条件下进行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函行拉氏变换，可求取反馈控制系统的传函。

•通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函通过对反馈控制系统结构图简化也能求传函Ø反馈通道传递函数反馈通道传递函数从输出端反送到参考输入从输出端反送到参考输入端的信号通道，称为反端的信号通道，称为反馈通道馈通道 Ø   前向通道传递函数前向通道传递函数前向通道是指从输入端前向通道是指从输入端到输出端的通道到输出端的通道Ø系统的开环传递函数系统的开环传递函数上图中将反馈的输出通路断开，上图中将反馈的输出通路断开，反馈信号反馈信号对于参考输入信号的传递函数称为开环对于参考输入信号的传递函数称为开环传递函数传递函数这时前向通路传递函数与反这时前向通路传递函数与反馈通路传递函数的乘积为该系统的开环馈通路传递函数的乘积为该系统的开环传递函数传递函数Ø 作用下系统的闭环传递作用下系统的闭环传递函数函数•令令 ，这时系统结构，这时系统结构图如上图，系统传递函数图如上图，系统传递函数为：为：•系统输出为：系统输出为：Ø 作用下系统的闭环传递作用下系统的闭环传递函数函数•令令 ，这时系统结构，这时系统结构图如上图，系统传递函数图如上图，系统传递函数为：为：•系统输出为：系统输出为：108Ø系统总输出系统总输出 根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用根据线性系统的叠加原理，系统的总输出应为各外作用引起输出的综合因而得到系统总输出为：引起输出的综合因而得到系统总输出为：109Ø闭环系统的误差传递函数闭环系统的误差传递函数误差定义为误差定义为被控量的测量输被控量的测量输出出 和给定输入和给定输入 之之差差 或或 • 作用下的误差，输入结作用下的误差，输入结构图构图–误差传递函数误差传递函数•n(t)n(t)作用下系统的误作用下系统的误差传递函数差传递函数 ，输入结，输入结构图构图–误差传递函数误差传递函数–总误差总误差110Ø 闭环系统的特征方程闭环系统的特征方程•上面导出闭环传递函数及误差传递函数虽然各不相同，但是他们上面导出闭环传递函数及误差传递函数虽然各不相同，但是他们的分母却是一样的。

均为：的分母却是一样的均为： 令令 并称其为并称其为闭环特征方程闭环特征方程将其改写为如下形式：改写为如下形式：•对给定的系统而言，特征多项式是唯一的，即闭环极点的分布是对给定的系统而言，特征多项式是唯一的，即闭环极点的分布是唯一的唯一的•闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关闭环系统的极点与控制系统的瞬态响应和系统的稳定性密切相关•特征多项式与开环传函相关，因此其动态特性可用开环传函分析特征多项式与开环传函相关，因此其动态特性可用开环传函分析这是闭环控制系统各种传递函数都具有的的规律性，称其为这是闭环控制系统各种传递函数都具有的的规律性，称其为特征多项式特征多项式 可以是实数或共轭复数，称为特征方程的根特征方程的根，或称为闭环系或称为闭环系统的极点统的极点 111例例2.11 2.11 如图所示位置随动系统的方块图，求系统在给定值如图所示位置随动系统的方块图，求系统在给定值θθr r(t)(t)作用下的闭环传递函数及在负载力矩作用下的闭环传递函数及在负载力矩M ML L作用下的闭作用下的闭环传递函数，并求两信号同时作用下，系统总输出环传递函数，并求两信号同时作用下，系统总输出c c(t)(t)的的拉氏变换式。

拉氏变换式 解解 （（1 1）求）求 作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数  令令M ML L=0=0，运用串联及反馈法则，可求得：，运用串联及反馈法则，可求得： θθr r(t)(t)112（（2 2）求）求M ML L作用下系统的闭环传递函数作用下系统的闭环传递函数 令令θθr(t) =0r(t) =0，系统以，系统以MLML为输入的方块图如图为输入的方块图如图(a)(a)所示经方块图变换经方块图变换后如图后如图(b)(b)所示所示可求得：可求得：(a)(a)(b)(b)113（（3 3）系统在给定值）系统在给定值θθr(t)r(t)作用及在负载力矩作用及在负载力矩M ML L作用下的总作用下的总输出为两部分迭加，即输出为两部分迭加，即 1142.5 2.5 状态空间模型（现代控制理论）状态空间模型（现代控制理论）Ø定义定义在在状态空间中状态空间中以以状态向量状态向量或或状态变量状态变量描述系统的方法称为系统描述系统的方法称为系统的状态空间模型（内部表达）的状态空间模型（内部表达）Ø优点优点–能完全表达出系统的全部状态和性能（内部和外部）能完全表达出系统的全部状态和性能（内部和外部）–能了解系统内部状态的变化特性能了解系统内部状态的变化特性–容易考虑初始条件容易考虑初始条件–适用范围广适用范围广: 时变系统，非线性系统，多输入多输出时变系统，非线性系统，多输入多输出–便于设计便于设计115Ø 预备知识预备知识——有关矩阵的微分有关矩阵的微分1 1、、向量函数向量函数对对数量函数数量函数的导数的导数2 2、、矩阵函数矩阵函数对对数量函数数量函数的导数的导数3 3、、数量函数数量函数对对向量向量的导数的导数4 4、、向量函数向量函数对对向量向量的导数的导数5 5、、矩阵函数矩阵函数对对向量向量的导数的导数1161 1、向量函数对数量函数、向量函数对数量函数的导数的导数2 2、矩阵函数对数量函数、矩阵函数对数量函数的导数的导数1173 3、数量函数对向量的导、数量函数对向量的导数数4 4、向量函数对向量的导、向量函数对向量的导数数1185 5、矩阵函数对向量的导数、矩阵函数对向量的导数1192.5.1. 2.5.1. 状态变量表达式相关概念状态变量表达式相关概念如图所示的如图所示的RLCRLC电路，其输入电压为电路，其输入电压为u ur r(t)(t)，该电路中的四个物理量，该电路中的四个物理量i(t)i(t)、、u uR R(t)(t)、、u uL L(t)(t)、、u uC C(t)(t)反映着系统各方面反映着系统各方面的特征，根据线性电路知识，这个电路的特征，根据线性电路知识，这个电路有两个储能元件，即电感有两个储能元件，即电感L L和电容和电容C C，因，因此只能有两个物理量是独立的，而其余此只能有两个物理量是独立的，而其余的物理量必能用这两个独立的物理量来的物理量必能用这两个独立的物理量来表示。

当选表示当选i(t)i(t)、、Uc(t)Uc(t)为独立变量时，为独立变量时，则其它变量可表示为：则其它变量可表示为： 由解微分方程可知，如果已知由解微分方程可知，如果已知初始条件初始条件i(0)i(0)、、u uc c(0)(0)以及以及t>0t>0的的u ur r(t),(t),那么在那么在t>0t>0后的任一时后的任一时刻的解就完全被确定了刻的解就完全被确定了120如方程组采用状态向量表示时如方程组采用状态向量表示时, , 令令 为系统输入，为系统输入， ( ( 状态方程状态方程 ) ) 如果以如果以u uC C(t)(t)为系统输出，用为系统输出，用y y 表示，则有表示，则有 ( ( 输出方程输出方程 ) ) 系统输出也可能并不一定是状态变量，但前面提到，其它的量如系统输出也可能并不一定是状态变量，但前面提到，其它的量如u uR R(t)(t)或或u uL L(t)(t)等一定能用状态变量来表示即输出可以写成状态变量的线性组合等一定能用状态变量来表示即输出可以写成状态变量的线性组合, ,因此输出方程一定是代数方程因此输出方程一定是代数方程 121写为矩阵形式如写为矩阵形式如 状态空间模型状态空间模型 122基本概念基本概念–状态：状态：系统过去、现在和将来的状况。

系统过去、现在和将来的状况–状态变量状态变量：状态变量指能确定系统运动状态的最：状态变量指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量少数目的一组变量–状态向量状态向量：若以：若以n n个状态变量个状态变量 做做为向量为向量 的分量，则称的分量，则称 为状态向量为状态向量–状态空间状态空间：以状态变量：以状态变量 为基构成为基构成的的n n维空间–状态方程状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程系的一阶微分方程组称为状态方程123Ø状态方程的一般形式状态方程的一般形式–单输入线性定常连续系统单输入线性定常连续系统式中常系数式中常系数 与系统特性有关与系统特性有关上式可以写成向量矩阵形式：上式可以写成向量矩阵形式：其中其中124–多输入线性定常连续系统多输入线性定常连续系统向量矩阵形式为：向量矩阵形式为：其中其中125Ø输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程。

输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程输出量由系统任务确定或给定输出量由系统任务确定或给定–单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式为为式中常系数式中常系数 与系统特性有关与系统特性有关其向量矩阵形式为：其向量矩阵形式为：–多输入－多输出系统的输出方程的一般形式为多输入－多输出系统的输出方程的一般形式为• 其向量矩阵形式为：其向量矩阵形式为：126Ø状态空间表达式：状态空间表达式： 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程称动态方程–A(t):系统矩阵（状态矩阵）–B(t):控制矩阵（输入矩阵）–C(t):观测矩阵（输出矩阵）–D(t):直接传递矩阵― 多输入－多输出系统状多输入－多输出系统状态空间表达式的一般形式为态空间表达式的一般形式为– 单输入－单输出系统状态单输入－单输出系统状态空间表达式的一般形式为空间表达式的一般形式为127Ø对于一般的对于一般的非线性系统非线性系统，其状态方程和输出方程可能，其状态方程和输出方程可能还是状态和输入的非线性函数还是状态和输入的非线性函数 因此状态方程和输出方程可用如下向量方程表示因此状态方程和输出方程可用如下向量方程表示 128对于本节主要讨论的线性定常系统来说，状态空间模对于本节主要讨论的线性定常系统来说，状态空间模型的标准形式是型的标准形式是 线性系统的状态空间表达式动态结构图线性系统的状态空间表达式动态结构图129对于本节主要讨论的线性定常系统来说，状态空间模型的标准形式是                   系统系统           A a) 结构关系图结构关系图DBC1302.5.2 2.5.2 2.5.2 2.5.2 由微分方程建立状态变量表达式由微分方程建立状态变量表达式由微分方程建立状态变量表达式由微分方程建立状态变量表达式Ø步骤步骤：–直接根据系统的物理机理建立相应的微分直接根据系统的物理机理建立相应的微分( (连续系统）或差分（离连续系统）或差分（离散系统）方程组。

散系统）方程组–针对微分方程，定义一组状态变量，建立针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程状态方程，并根据系统，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的输出和状态之间的关系，建立系统的输出方程输出方程 Ø 状态变量的选取状态变量的选取 1 1. . 状态变量的选取是非唯一的状态变量的选取是非唯一的 2. 2. 选取方法选取方法 （（1 1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量状态变量 （（2 2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量如电感电流的变量作为控制系统的状态变量如电感电流i i、电容电压、电容电压u uc c 、质、质量量m m 和速度和速度v v 等 131例例2.142.14：试确定下图中两个电网络的独立状态变量试确定下图中两个电网络的独立状态变量图中图中 分别为输入电压、电流，分别为输入电压、电流， 为输出为输出电压，电压， 为电容端或电感电流。

为电容端或电感电流–图图(a)(a) 由于由于 因此三个变量中只有两个因此三个变量中只有两个是独立的，系统的状态变是独立的，系统的状态变量可以是三者中的任意两量可以是三者中的任意两个132–图图(b)    由于由于(b)中有中有              ，，因此，它只有因此，它只有一个独立的状态变一个独立的状态变量，任意取量，任意取       中中的一个即可的一个即可133例例2.15：由质量块、弹簧、阻尼器组成的机械位移系统如图示：由质量块、弹簧、阻尼器组成的机械位移系统如图示•有力有力F F及阻尼器汽缸速度及阻尼器汽缸速度V V两种外作用，另输出量为：两种外作用，另输出量为：质量块位移、速度和加速质量块位移、速度和加速度试写出该双输入－三度试写出该双输入－三输出机械位移系统的状态输出机械位移系统的状态空间表达式图中空间表达式图中m m、、k k、、f f分别为质量、弹簧的弹分别为质量、弹簧的弹性模量、阻尼系数，性模量、阻尼系数，x x为为位移  解：根据牛顿力学得到该系解：根据牛顿力学得到该系统的微分方程为：统的微分方程为：   它是二阶系统，选择质量它是二阶系统，选择质量块的位移和速度为状态变块的位移和速度为状态变量。

令量令             系统的三个输出量为，系统的三个输出量为，134由系统的微分方程可导出下由系统的微分方程可导出下列状态方程列状态方程：：其向量－矩阵形式为其向量－矩阵形式为Ø 状态变量一般选可反映储能元件能量变化的量（状态变量一般选可反映储能元件能量变化的量（egeg：电感电流、电容电压、位置、速度）：电感电流、电容电压、位置、速度）135Ø线性微分方程中线性微分方程中不含有输入函数导数项不含有输入函数导数项的系统的状态空的系统的状态空间表达式间表达式 –选取状态变量：选取状态变量：–则有：则有：136–系统状态空间表达式为：系统状态空间表达式为：137–根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图如图所示，每根据上式绘制的状态变量之间关系的方块图如图所示，每个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态方程由积个积分器的输出都是对应的一个状态变量，状态方程由积分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出分器的输入输出关系确定，输出方程在输出端给出 ：：138例例2.16：设一控制系统的动态过程用微分方程表示为设一控制系统的动态过程用微分方程表示为                                         式中式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间描述。

空间描述–解：选取状态变量为解：选取状态变量为–则有：则有：139–将上式写成矩阵微分方程形式将上式写成矩阵微分方程形式140Ø系统输入量中含有导数项系统输入量中含有导数项–其一般形式为：其一般形式为：–若选取状态变量若选取状态变量–则得到则得到在状态方程中将会出现输入导数项在状态方程中将会出现输入导数项 141–应选择以下应选择以下n个变量作为一组状态变量个变量作为一组状态变量–则状态变量如下则状态变量如下式中式中                  是是n个待定常数个待定常数. 142输出方程输出方程 状态方程状态方程 对最后一个方程处理，对最后一个方程处理，143并将并将y (n））用下式代入用下式代入得到：得到：144将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和将上式中所有的输出项以及输出的导数项都用状态和输入的各阶导数项表示有输入的各阶导数项表示有145令上式中令上式中u的各阶导数项的系数为零，则有的各阶导数项的系数为零，则有 令令 则有则有 146–将上式改为矩阵向量将上式改为矩阵向量形式为：形式为：–其中其中d=h0＝＝bn147绘制出状态变量之间关系的方块图如图所示绘制出状态变量之间关系的方块图如图所示 148例例2.172.17：：•设一控制系统的动态过程用微分方程表示为设一控制系统的动态过程用微分方程表示为                                                             式中式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间表达式。

空间表达式–解：选择状态变量为解：选择状态变量为149150根据上式写出控制系统空间表达式为根据上式写出控制系统空间表达式为d=0 151例例2.182.18：：设一控制系统的动态过程用微分方程表示为设一控制系统的动态过程用微分方程表示为                                                        式中式中u,y分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间分别为系统的输入和输出信号，试求系统的状态空间表达式画出系统的结构图表达式画出系统的结构图解：由题得解：由题得152–写出状态空间表达式为写出状态空间表达式为–系统结构图如下系统结构图如下153一般形式：一般形式： 当当式式中中b bn n=0 =0 时时，，还还可可以以按按如如下下规规则则选选择择另另一一组组状状态态变量设154则得到则得到155因此可以得到（因此可以得到（n-1n-1）个状态方程）个状态方程输出方程为输出方程为 156对下式求导对下式求导 并将并将y (n)用用 代入后整理得代入后整理得 状态方程为状态方程为 157d = 0 158状态变量之间关系的方块图状态变量之间关系的方块图159例例2.19试求 的状态空间表达式。

因为此系统为三阶系统，而因为此系统为三阶系统，而b b3 3=0=0，所以可以选择状态变量，所以可以选择状态变量160所以状态空间表达式为所以状态空间表达式为 对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的对于一个给定的系统而言，状态变量的选取并不是唯一的1612.5.3 2.5.3 由传递函数建立状态变量表达式由传递函数建立状态变量表达式1 1、设线性定常系统的传递函数为有理真分式、设线性定常系统的传递函数为有理真分式 ( (b bn n为零为零) )162163•为为非有理真分式非有理真分式时时：（：（b bn n不为零）不为零）由由可知：可知：b bn n就等于状态方程中的直接矩阵就等于状态方程中的直接矩阵d d 而而 为有理真分式为有理真分式 因此我们只要能由一个有理真分式的传递函数求相应的状态空因此我们只要能由一个有理真分式的传递函数求相应的状态空间表达式的话，那么对非有理真分式求状态空间表达式，只需间表达式的话，那么对非有理真分式求状态空间表达式，只需增加一个直接矩阵增加一个直接矩阵d d即可即可 164uxybn165这种形式的状态空间表达式被称为这种形式的状态空间表达式被称为可控标准型可控标准型。

166•由于由于 为有理真分式，即对应的微分方为有理真分式，即对应的微分方程中输入导数项的最高阶程中输入导数项的最高阶 等于零等于零 因此也可以采用式因此也可以采用式的方式选择状态变量，那么状态空间表达式为的方式选择状态变量，那么状态空间表达式为167这种形式的状态空间表达式被称为这种形式的状态空间表达式被称为可观测标准型可观测标准型 1682 2、传递函数以极点形式给出、传递函数以极点形式给出 •系统传递函数只有单实极点（没有重极点）系统传递函数只有单实极点（没有重极点）系统特征方程可表示为系统特征方程可表示为 通过部分分式展开成下列形式通过部分分式展开成下列形式 169为为G(s)G(s)在极点在极点λλi i 处的留数处的留数 因此有因此有 选择状态变量为选择状态变量为 输出为输出为 以上两式整理后，取反拉氏变换得：以上两式整理后，取反拉氏变换得：170    写成矩阵形式有对角阵标准型写成矩阵形式有对角阵标准型  171 如果状态变量选择为如果状态变量选择为那么系统输出则为那么系统输出则为 同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有 对角阵标准型对角阵标准型 172•系统传递函数含有重实极点情况系统传递函数含有重实极点情况假设极点假设极点λλ1 1为三重极点，其它均为单实极点，即为三重极点，其它均为单实极点，即λλ4 4、、 λλ5 5 、、… λ λn n ，，那么系统特征方程可表示为那么系统特征方程可表示为 传递函数可以通过部分分式展开成下列形式传递函数可以通过部分分式展开成下列形式那么系统输出为那么系统输出为173如果选择状态变量为如果选择状态变量为 输出为输出为 174整理得整理得 175对上式反拉氏变换并整理得对上式反拉氏变换并整理得约当标准型约当标准型 称重极点对应的称重极点对应的 为约当块为约当块 1762.5.42.5.4、由状态空间表达式求传递函数阵、由状态空间表达式求传递函数阵若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有 整理式得整理式得 根据传递函数阵的定义有根据传递函数阵的定义有第三章第三章 线性系统的时域分析线性系统的时域分析 分分析析和和设设计计控控制制系系统统的的首首要要任任务务是是建建立立系系统统的的数数学学模模型型。

一一旦旦获获得得合合理理的的数数学学模模型型，，就就可可以以采采用用不不同同的的分分析析方方法法来来分析系统的性能分析系统的性能经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有 ØØ 时域分析法时域分析法时域分析法时域分析法ØØ 频率特性法频率特性法频率特性法频率特性法ØØ 根轨迹法根轨迹法根轨迹法根轨迹法分析内容分析内容分析内容分析内容ØØ 瞬态响应瞬态响应瞬态响应瞬态响应ØØ 稳定性稳定性稳定性稳定性ØØ 稳态性能稳态性能稳态性能稳态性能时域分析法在时域分析法在时间域内时间域内研究系统在研究系统在典型输入信号典型输入信号典型输入信号典型输入信号的作用下的作用下，，其其输出响应输出响应输出响应输出响应随时间变化规律的方法对于任何一个随时间变化规律的方法对于任何一个稳定稳定的控的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量1783.1 3.1 时间响应性能指标时间响应性能指标3.2 3.2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应3.3 3.3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应3.4 3.4 系统的稳定性分析系统的稳定性分析3.5 3.5 系统稳态性能分析系统稳态性能分析1793.1 3.1 时间响应性能指标时间响应性能指标工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统）工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量，但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。

是如何变化的（如随动系统）因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应常用的试验信号有常用的试验信号有阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号、脉阶跃信号、斜坡信号、抛物线信号、脉冲信号及正弦信号冲信号及正弦信号这些信号都是简单的时间函数，并且这些信号都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究3.1.1 3.1.1 3.1.1 3.1.1 典型输入信号典型输入信号典型输入信号典型输入信号㈠㈠ 阶跃函数阶跃函数 阶跃函数的定义是阶跃函数的定义是 对系统输入阶跃函数就是在对系统输入阶跃函数就是在t=0t=0时，给系统加上一时，给系统加上一个恒值输入量，如图所示个恒值输入量，如图所示 若若A=1A=1，称为单位阶跃函数，记作，称为单位阶跃函数，记作1(t)1(t)阶跃函数的拉氏变换为阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/sR(s)=1/s。

A A0 0t t㈡㈡斜坡函数斜坡函数斜坡函数也称等速度函数斜坡函数也称等速度函数其定义为其定义为 输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化输入斜坡函数相当于对系统输入一个随时间作等速变化的信号，其图形如图所示的信号，其图形如图所示 若若A=1,A=1,则称之为单位斜坡函数则称之为单位斜坡函数斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分斜坡函数的拉氏变换为斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为R(s)=1/sR(s)=1/s2 2 A10t㈢㈢抛物线函数抛物线函数抛物线函数也称加速度函数抛物线函数也称加速度函数，其定义为，其定义为 输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做输入抛物线函数相当于对于系统输入一个随时间做等加速变化的信号，其图形如图所示。

等加速变化的信号，其图形如图所示 若若A=1,A=1,称之为单位抛物线函数称之为单位抛物线函数 抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分抛物线函数等于斜坡函数对时间的积分抛物线函数的拉氏变换为抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为单位抛物线函数的拉氏变换为R(s)=1/sR(s)=1/s3 3t10㈣㈣ 脉冲函数脉冲函数脉冲函数的定义为脉冲函数的定义为脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，脉冲函数在理论上（数学上的假设）是一个脉宽无穷小，幅值无穷大的脉冲在实际中，只要脉冲宽度幅值无穷大的脉冲在实际中，只要脉冲宽度 极短即可极短即可近似认为是脉冲函数如图所示近似认为是脉冲函数如图所示脉冲函数的积分，即脉冲的面积为脉冲函数的积分，即脉冲的面积为 0 0t t A A– 理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义理想的单位脉冲信号实际上是不存在的，只具有数学意义任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的，强度不同的无限多个脉冲函数的叠加同的无限多个脉冲函数的叠加184 （（t t）函数的图形如右图所示。

函数的图形如右图所示 脉冲函数的积分就是阶跃函数脉冲函数的积分就是阶跃函数 脉冲函数的拉氏变换为脉冲函数的拉氏变换为 单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1R(s)=1t0(t)1当当A=1A=1时，即面积为时，即面积为1 1的脉冲函数称的脉冲函数称为单位脉冲函数为单位脉冲函数，记为，记为 (t)(t)㈤㈤ 正弦函数正弦函数正弦函数也称谐波函数正弦函数也称谐波函数，表达式为，表达式为 用正弦函数作输入信号，可求得系统对不用正弦函数作输入信号，可求得系统对不同频率的正弦输入的稳态响应同频率的正弦输入的稳态响应正弦输入的拉氏变换为正弦输入的拉氏变换为 186如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适用阶跃函数较合适需要注意的是，需要注意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。

统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便能此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号情况下的输入信号作为典型实验信号 本本章章主主要要讨讨论论控控制制系系统统在在阶阶跃跃函函数数、、斜斜坡坡函函数数、、脉脉冲函数等输入信号作用下的输出响应冲函数等输入信号作用下的输出响应1873.1.2 3.1.2 3.1.2 3.1.2 动态性能指标动态性能指标动态性能指标动态性能指标ØØ 动态性能动态性能动态性能动态性能延迟时间延迟时间t td d：：响应曲线第一次达到其稳态值一半所需时间响应曲线第一次达到其稳态值一半所需时间上升时间上升时间t tr r：：响应从稳态值的响应从稳态值的10%10%上升到稳态值上升到稳态值90%90%所需时间；所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到稳态值所对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到稳态值所需时间。

上升时间是响应速度的度量上升时间是响应速度的度量 p p  t tr r0.50.5 y y( (t t) )t td d t tp p0 01 1 t ts st t稳态误差稳态误差188峰值时间峰值时间t tp p：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间 调节时间调节时间t ts s：响应到达并保持在稳态值内所需时间响应到达并保持在稳态值内所需时间 超调量超调量 % %：响应的最大偏离量：响应的最大偏离量h(th(tp p) )与稳态值与稳态值h(∞)h(∞)之差的之差的百分比，即百分比，即 p p  t tr r0.50.5 y y( (t t) )t td d t tp p0 01 1 t ts st t稳态误差稳态误差Ø 稳态性能：稳态性能：由由稳态误差稳态误差e essss描述1893.2 3.2 3.2 3.2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 由由一一阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为一一阶阶系系统统. . 典典型型闭闭环环控控制制一一阶阶系系统统如如图图所所示示. .其其中中 是是积积分分环环节节，，T T为为它它的的时间常数。

时间常数一阶系统的结构图一阶系统的结构图C(s)C(s)- -R(s)R(s)典典型型的的一一阶阶系系统统是是一一个个惯惯性性环节环节, , 输出为输出为q一般地，将微分方程为一般地，将微分方程为 传递函数为传递函数为 的系统叫做一阶系统的系统叫做一阶系统T T的含义随系统的不同而不同的含义随系统的不同而不同190R(s)C(s)E(s)(- -)1/Ts传递函数传递函数: :结构图结构图 ：：微分方程微分方程: : R i(t) C如如RCRC电路电路: :在零初始条件下，利用在零初始条件下，利用拉氏反变换拉氏反变换或或直接求解微分方程直接求解微分方程，，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应191 实实际际中中，，常常以以输输出出量量达达到到稳稳态态值值的的95%95%或或98%98%的的时时间间作作为为系系统统的的响响应应时时间间（（即即调调节节时时间间））, ,这这时时输输出出量量与与稳稳态态值值之之间间的的偏偏差差为为5%5%或或2%2%。

在在整整个个工工作作时时间间内内，，系系统统响响应应都都不不会会超超过过稳稳态态值值由由于于该该响响应应曲曲线线具具有有非非振振荡荡特特征征，，故也称为非周期响应，如下图所示故也称为非周期响应，如下图所示3.2.1 3.2.1 3.2.1 3.2.1 单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,r(t) = 1(t) ,其拉氏其拉氏变换为变换为 , ,则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为v 当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线化曲线是一条单调上升的指数曲线192图图中中指指数数响响应应曲曲线线的的初初始始（（t=0t=0时时））斜率为斜率为 . . 实实际际上上，，响响应应曲曲线线的的斜斜率率是是不不断断下下降降的的，，经经过过T T 时时间间后后，，输输出出量量C C（（T T））从从零零上上升升到到稳稳态态值值的的63.2%63.2%经经过过3T3T～～4T4T时时，，C C（（t t））将将分分别别达达到到稳稳态态值值的的95%95%～～98%98%。

可可见见，，时时间间常常数数T T反反应应了了系系统统的的响响应应速速度度，，T T越越小小，，输输出出响响应应上上升升越越快快，，响响应应过过程程的的快快速速性性也越好斜率斜率1C(t)0.95T3T0.632 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线可可用用实实验验的的方方法法确确定定，，将将测测得得的的曲曲线线与与上上图图作作比比较较，，就就可可以以确确定定该该系系统统是是否否为为一一阶阶系系统统或等效为一阶系统或等效为一阶系统193 j  0p=-1/TS平面平面(a)  零极点分布零极点分布  c(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为1/T   c(t)=1-e-t/T0  tT2T3T4T1(b) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线特点：特点：1 1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；2 2）初始斜率为）初始斜率为1/T1/T；； 3 3）无峰值时间，无超调；稳态误差）无峰值时间，无超调；稳态误差e essss=0 =0 。

性能指标：性能指标：延迟时间：延迟时间：t td d=0.69T=0.69T 上升时间：上升时间：t tr r=2.20T=2.20T 调节时间：调节时间：t ts s=3T (△=0.05) =3T (△=0.05) 或或 t ts s=4T (△=0.02) =4T (△=0.02) 输入输入r(t)=1(t)r(t)=1(t)，输出，输出 194式式中中，，t-Tt-T为为稳稳态态分分量量，， 为为瞬瞬态态分分量量，，当当t→∞t→∞时时，，瞬瞬态态分分量量指指数数衰衰减减到到零零一一阶阶系系统统的的单单位位斜斜坡坡响响应应曲线如图所示曲线如图所示 （（t≥0t≥0））T Tt tT TC(t)C(t)r(t)=tr(t)=to o 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应3.2.2 3.2.2 3.2.2 3.2.2 单位斜坡响应单位斜坡响应单位斜坡响应单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为，其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为195 显然，系统的响应从显然，系统的响应从t=0t=0时开始跟踪输入信号时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。

即长，但它们之间存在跟随误差即且且 可见，可见，当当t t趋于无穷大时，误差趋近于趋于无穷大时，误差趋近于T T，因此，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c (t) c (t) 将小于输入量将小于输入量r(t)r(t)一个一个T T值，值，时间常数时间常数T T越小，系统越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小稳态误差稳态误差e essss=T=T，初始斜率，初始斜率=0=0，稳态输出斜率，稳态输出斜率=1 .=1 .196系统的单位脉冲响应就是系统闭环传系统的单位脉冲响应就是系统闭环传递函数的拉氏反变换递函数的拉氏反变换3.2.3 3.2.3 3.2.3 3.2.3 单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数r(t) = δ(t),r(t) = δ(t),其拉氏其拉氏变换为变换为R(s)=1, R(s)=1, 则输出响应的拉氏变换为则输出响应的拉氏变换为（（t≥0t≥0））对上式进行拉氏反变换，求得单对上式进行拉氏反变换，求得单位脉冲响应为位脉冲响应为0.3680.368C(t)C(t)3T3T斜率斜率C(t)C(t)T T2T2Tt t 一阶系统的脉冲响应一阶系统的脉冲响应响应曲线如图所示。

响应曲线如图所示197输入输入 r(t)= (t)，输出，输出t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为初始斜率为0.368/T0.05/T0g(t)(c)  单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线特点：特点： 1) 1) 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值；可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2) 2) 初始斜率为初始斜率为-1/T-1/T2 2；； 3) 3) 无超调；稳态误差无超调；稳态误差e essss=0 =0 198 按按照照脉脉冲冲函函数数，，阶阶跃跃函函数数、、斜斜坡坡函函数数的的顺顺序序，，前前者者是是后后者者的的导导数数，，而而后后者者是是前前者者的的积积分分 脉脉冲冲响响应应、、阶阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系表明：跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系表明：0.368C(t)3T斜率斜率C(t)T2Tt t 一阶系统的脉冲响应线性定常系统的一个重要特征线性定常系统的一个重要特征系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该应的导数；对某种输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。

输入信号响应的积分Ø单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，Ø曲线的初始斜率为曲线的初始斜率为 ，，Ø输出量的初始值为输出量的初始值为 Ø不存在稳态分量不存在稳态分量. .1993.2.4 3.2.4 一阶系统的单位加速度一阶系统的单位加速度( (抛物线）响应抛物线）响应跟踪误差：跟踪误差：e(t)=r(t)-c(t)=Te(t)=r(t)-c(t)=Tt t-T-T2 2(1-e(1-e- - t/T t/T ) )随时间推随时间推移而增长，直至无穷因此一阶系统不能跟踪加速度移而增长，直至无穷因此一阶系统不能跟踪加速度函数q结论：结论：• 一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数T T密切相关只要时间密切相关只要时间常数常数T T小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小但一阶系统不能跟踪加速度函数值滞后时间也小但一阶系统不能跟踪加速度函数• 线线性性系系统统对对输输入入信信号号导导数数的的响响应应，，等等于于系系统统对对输输入入信信号响应的导数。

号响应的导数200（（（（t≥0t≥0））））   （（（（t≥0t≥0））））不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统201 解解: : (1) (1) 与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1, tT=1/10=0.1, ts s=3T=0.3s=3T=0.3s例例3.13.1 某一阶系统如图某一阶系统如图, ,在单位阶跃信号作用下在单位阶跃信号作用下 （（1 1）若）若K Kh h=0.1=0.1求调节时间求调节时间t ts s, , （（2 2）若要求）若要求t ts s=0.1s,=0.1s,求反馈系数求反馈系数 K Kh h . .           (2)          要求要求ts=0.1s，即，即3T=0.1s,  即即                    , 得得    0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -) 解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式化闭环传递函数为标准形式Kh2023.3 3.3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应 由由二二阶阶微微分分方方程程描描述述的的系系统统称称为为二二阶阶系系统统。

在在控控制制工工程程实实践践中中，，二二阶阶系系统统应应用用极极为为广广泛泛，，此此外外，，许许多多高高阶阶系系统统在在一一定定的的条条件件下下可可以以近近似似为为二二阶阶系系统统来来研研究究，，因此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义因此，讨论和分析二阶系统的特征具有重要的实际意义R(t)R(t)_ _C(t)C(t) 二阶系统结构图二阶系统结构图二阶系统结构图二阶系统结构图设二阶系统的结构图如图所示设二阶系统的结构图如图所示系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其中其中K K为系统的开环放大系数，为系统的开环放大系数，T T为时间常数为时间常数203式式中中 ，，称称为为无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡角角频频率率，，（（简简称称为为无无阻阻尼尼自自振振频频率），率）， 称为阻尼系数（或阻尼比）称为阻尼系数（或阻尼比）为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式 它的两个根为它的两个根为 二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼比比 取值的不同而不同。

取值的不同而不同系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为 2043.3.1 3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 设设系统的输入为单位阶跃函数系统的输入为单位阶跃函数，则，则系统输出响应的拉氏变换表达式为系统输出响应的拉氏变换表达式为对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单位阶跃响应统的单位阶跃响应 一）（一） 过阻尼（过阻尼（ > 1 > 1 ）的情况）的情况系统具有两个不相等的负实数极点系统具有两个不相等的负实数极点j j0 0[s][s] 过阻尼时极点分布205C(t)C(t)t to o1 1 过阻尼响应过阻尼响应稳态分量为稳态分量为1 1，瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升瞬态分量包含两个衰减指数项，曲线单调上升分析：当分析：当 时，极点时，极点 比比 距虚轴远得多，故距虚轴远得多，故 比比 衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理衰减快的多，可将二阶系统近似成一阶系统来处理。

阻尼比阻尼比 >1 >1 时二阶系统的运动状态为过阻尼状态时二阶系统的运动状态为过阻尼状态系统的单位跃响系统的单位跃响应无振荡、无超调、无稳态误差应无振荡、无超调、无稳态误差.206[s][s]o o                  欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布( (二二) )欠阻尼（欠阻尼（ ）的情况）的情况系统具有一对在系统具有一对在S S平面的左半部的共轭复平面的左半部的共轭复数极点，数极点，式中式中 ，称为阻尼自振频率，称为阻尼自振频率207[s][s]o o                    欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布208 系系统统的的稳稳态态响响应应为为1 1，，瞬瞬态态分分量量是是一一个个随随时时间间t t的的增增大大而而衰衰减减的的正正弦弦振振荡荡过过程程振振荡荡的的角角频频率率为为 ，，它它取取决决于于阻阻尼尼比比 和和无无阻阻尼尼自自然然频频率率 。

衰衰减减速速度度取取决决于于 的的大大小小此此时时系系统统工工作作在在欠欠阻阻尼尼状状态态输输出出响响应应如图所示如图所示t tC(t)C(t)1 10 0 欠阻尼响应欠阻尼响应209Ø 稳态部分等于稳态部分等于1 1，表明不存在稳态误差；，表明不存在稳态误差；Ø 瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由瞬态部分是阻尼正弦振荡过程，阻尼的大小由 n n ( (即特征根实部）决定；即特征根实部）决定；Ø 振荡角频率为阻尼振荡角频率振荡角频率为阻尼振荡角频率 d d（特征根虚部）（特征根虚部），其值由阻尼比，其值由阻尼比ζζ和自然振荡角频率和自然振荡角频率 n n决定 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态稳态稳态稳态和和瞬态瞬态瞬态瞬态 两部分组成：两部分组成：210（三）临界阻尼（三）临界阻尼 （（ ）的情况）的情况系统具有两个相等的负实数极点系统具有两个相等的负实数极点 ，，o o[s][s]临界阻尼时极点的分布临界阻尼时极点的分布t t1 1o oC(t)C(t)            临界阻尼响应临界阻尼响应系系统统的的输输出出响响应应无无超超调调、、无无振振荡荡,由由零零开开始始单单调调上上升，最后达到稳态值升，最后达到稳态值1 1，，不存在稳态误差不存在稳态误差。

 是是输输出出响响应应的的单单调调和和振振荡荡过过程程的的分分界界，，通通常常称称为为临界阻尼状态临界阻尼状态211系统有一对共轭纯虚数极点系统有一对共轭纯虚数极点 , ,它们在它们在S S平面上的位置如图平面上的位置如图所示四）无阻尼（（四）无阻尼（ ）的情况）的情况[s][s]o o(a)(a)    无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应C(t)(b)1to系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为将将 代入代入212输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作 ——无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡无阻尼自然振荡频率，此时系统输出为等幅振荡 ————阻尼振荡频率系统输出为衰减正弦振荡过程阻尼振荡频率系统输出为衰减正弦振荡过程阻尼振荡频率系统输出为衰减正弦振荡过程阻尼振荡频率系统输出为衰减正弦振荡过程综上所述，不难看出频率综上所述，不难看出频率 和和 的物理意义。

的物理意义根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点因此阻尼比同的特点因此阻尼比 是二阶系统的重要特征参数是二阶系统的重要特征参数分析分析系统具有实部为正的极点，系统具有实部为正的极点，若选取若选取 为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线为横坐标，可作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线213§系系统统无无振振荡荡时时，，以以临临界界阻阻尼尼时时过过渡渡过过程程的的时时间间最最短短，，此此时时，，系系统统具具有有最快的响应速度最快的响应速度§系系统统在在欠欠阻阻尼尼状状态态时时，，若若阻阻尼尼比比在在0.40.4～～0.80.8之之间间，，则则系系统统的的过过渡渡过过程程时时间间比比临临界界阻阻尼尼时时更更短短，，此此时时振振荡荡特性也并不严重特性也并不严重如图所示，此时曲线只和阻尼比如图所示，此时曲线只和阻尼比 有关一般希望二阶系统工作在一般希望二阶系统工作在 的欠阻尼状态下，的欠阻尼状态下，通常选取通常选取 作为设计系统的依据作为设计系统的依据。

二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应§ 越小，响应特性振荡得越厉害越小，响应特性振荡得越厉害, , 随着随着 增大到一定程度，响应特增大到一定程度，响应特 性变成单调上升的性变成单调上升的214 在在实实际际应应用用中中，，控控制制系系统统性性能能的的好好坏坏是是通通过过系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应的的特特征征量量来来表表示示的的为为了了定定量量地地评评价价二二阶阶系系统统的的控控制制质质量量，，必必须须进进一一步步分分析析 和和 对对系系统统单单位位阶阶跃跃响响应应的的影影响响，，并并定定义义二二阶阶系系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标 3.3.23.3.2．二阶系统瞬态性能指标．二阶系统瞬态性能指标 此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼欠阻尼工作状态进行的。

工作状态进行的控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于控制系统的单位阶跃响应一般与初始条件有关，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零 除除了了一一些些不不允允许许产产生生振振荡荡的的系系统统外外，，通通常常希希望望二二阶阶系系统统工工作作在在 的欠阻尼状态下的欠阻尼状态下215动态性能动态性能 当当系系统统受受到到外外部部扰扰动动的的影影响响或或者者参参考考输输入入发发生生变变化化时时，，被被控控量量会会随随之之发发生生变变化化，，经经过过一一段段时时间间，，被被控控量量恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态或或到到达达一一个个新新的的给给定定状状态态，，称称这这一一过过程为过渡过程程为过渡过程 在在时时域域中中，，常常用用单单位位阶阶跃跃信信号号作作用用下下，，系系统统输输出出的的超超调调量量 p p , ,上上升升时时间间T Tr r ，，峰峰值值时时间间T Tp p , ,过过渡渡过过程程时时间间（（或或调调整时间）整时间）T Ts s和和振荡次数振荡次数N N等特征量表示。

等特征量表示216 系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为对应的响应曲线如图所示对应的响应曲线如图所示由上式和图所示曲线来定义由上式和图所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间讨论性能指标与特征量之间的关系超调量C(t)C(t)上升时间tr峰值时间tp调节时间ts误差带误差带误差带误差带稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差o o1.01.0t t控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标217( (一一) )上升时间上升时间 响响应应曲曲线线从从零零开开始始上上升升，，第第一一次次到到达达稳稳态态值值所所需需的的时时间间，，称称为为上上升升时时间根据上述定义，当根据上述定义，当 ，， ，由式，由式可得可得（（k=0,1,2k=0,1,2……）） 当当 一定时，阻尼比一定时，阻尼比 越大，上升时间越大，上升时间 越长，越长，当当 一定时，一定时， 越小，越小， 越长。

越长218（二）峰值时间（二）峰值时间（二）峰值时间（二）峰值时间 响应曲线响应曲线响应曲线响应曲线C C C C（（（（t t t t）从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间由定义，令由定义，令得得所以所以即即 （（k=1,2k=1,2，，……））分析分析 、、 与与 的关系因为峰值时间因为峰值时间 是是C(t)C(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取k=1,k=1,219可见，当可见，当 一定时，一定时， 越大，越大， 越小，反应速度越快当越小，反应速度越快当 一定一定时，时， 越小，越小， 越大由于越大由于 是闭环极点虚部的数值，是闭环极点虚部的数值， 越大，越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间 与闭环与闭环极点到实轴的距离成反比。

极点到实轴的距离成反比分析分析 、、 与与 的关系因为峰值时间因为峰值时间 是是C(t)C(t)到达第一个峰值的时间，故取到达第一个峰值的时间，故取k=1,k=1,220（三）超调量（三）超调量 在响应过程中，输出量在响应过程中，输出量C C（（t t）超出其稳态值的最大差量与稳态值）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量之比称为超调量根据超调量的定义，并考虑到根据超调量的定义，并考虑到输出量的最大值为输出量的最大值为所以所以超调量可表示为超调量可表示为式中式中 为输出量的最大值，为输出量的最大值， 为输出量的稳态值为输出量的稳态值221 上上式式表表明明，， 只只是是 的的函函数数，，与与 无无关关，， 越越小小 , ,则则 越越大大当当二二阶阶系系统统的的阻阻尼尼比比 确确定定后后，，即即可可求求得得对对应应的的超超调调量量 反反之之，，如如果果给给出出了了超超调调量量的的要要求求值值，，也也可可求得相应的阻尼比的数值求得相应的阻尼比的数值。

一般当一般当 时，相应的超调量为时，相应的超调量为 1001009090808070706060505040403030202010100 00.20.20.40.40.60.60.80.81.01.0欠阻尼二阶系统超调与欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线阻尼比关系曲线 与与 的关系曲线如图所示的关系曲线如图所示222（四）（四）调节时间调节时间 响应曲线到达并停留在稳态值的响应曲线到达并停留在稳态值的 （或（或 ) )误差范围内所误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）由定义下式成立由定义下式成立式中式中 （或（或0.020.02）） 采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到减到0.050.05（或（或0.020.02）时，过渡过程即进行完毕，得到）时，过渡过程即进行完毕，得到223在在 时，上面两式可分别近似为时，上面两式可分别近似为 和和可可以以近近似似认认为为调调节节时时间间与与闭闭环环极极点点到到虚虚轴轴的的距距离离成成反反比比。

在在设设计计系系统统时时，， 通通常常由由要要求求的的超超调调量量所所决决定定，，而而调调节节时时间间 则则由由自自然然振振荡荡频频率率 所所决决定定即即在在不不改改变变超超调调量量的的条条件件下下，，通通过过改改变变 的的值值可可以改变调节时间以改变调节时间由此可求得由此可求得224（五）振荡次数（五）振荡次数N N响应曲线在响应曲线在 0 0～～ 时间内波动的次数称为振荡次数时间内波动的次数称为振荡次数式中式中 称为系统的阻尼振荡周期称为系统的阻尼振荡周期振荡次数只与阻尼比振荡次数只与阻尼比 有关225作作    业业p71. 3-8 (1)p71. 3-8 (1)P72. 3-12 P72. 3-12 226 阻尼比阻尼比 和无阻尼自振频率和无阻尼自振频率 是二阶系统两个重要特征是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响参数，它们对系统的性能具有决定性的影响v 当当保保持持 不不变变时时，，增增大大 可可使使 和和 下下降降 , ,但但使使 和和 上上升升，，显显然然在在系系统统的的振振荡荡性性能能和和快快速速性性之之间间是是存存在在矛盾的。

矛盾的v 当当保保持持 不不变变时时，，提提高高 可可使使 、、 、、 下下降降，，从从而而提提高高系统的快速性，同时保持系统的快速性，同时保持 和和N N不变 要要使使二二阶阶系系统统具具有有满满意意的的动动态态性性能能，，必必须须选选取取合合适适的的阻阻尼尼比比和和无无阻阻尼尼自自振振荡荡率率通通常常可可根根据据系系统统对对超超调量的限制要求选定调量的限制要求选定 ，然后在根据其它要求来确定，然后在根据其它要求来确定227R(s)R(s)E(s)E(s)- -C(s)C(s)(a)(a)(b)(b)R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)- -- -                    例例例例3.2 3.2 系统结构图系统结构图系统结构图系统结构图（秒）（秒）（秒）（秒）解解 系统（系统（a a）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为例例3.23.2 设控制系统设控制系统 如图所示其中（如图所示其中（a a）为无速度反馈系统，（）为无速度反馈系统，（b b））为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并比较系的值，并比较系统（统（a a）和）和(b)(b)阶跃响应的瞬态性能指标。

阶跃响应的瞬态性能指标秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（次）（次）（次）（次）228系统（系统（b b）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能结论：采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）由由 和和 可求得可求得将将 代入，解得代入，解得229例例3.33.3 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数试确定参数K K和和a a的值解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为（秒）（秒）230若若描描述述系系统统的的微微分分方方程程高高于于二二阶阶，，则则该该系系统统为为高高阶阶系系统统控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统        理理论论上上，，高高阶阶系系统统也也可可以以直直接接由由传传递递函函数数求求出出它它的的时时域域响响应应，，然然后后按按上上述述二二阶阶系系统统的的分分析析方方法法来来确确定定系系统统的的瞬瞬态态性性能能指指标标。

但但是是，，高高阶阶系系统统的的分分布布计计算算比比较较困困难难，，同同时时，，在在工工程程设设计计的的许许多多问问题题中中，，过过分分讲讲究究精精确确往往往往是是不不必必要要的的，，甚甚至至是是无无意意义义的的因因此此，，工工程程上上通通常常把把高高阶阶系统适当地简化成低阶系统进行分析系统适当地简化成低阶系统进行分析2313.4   控制系统的稳定性控制系统的稳定性      在在控控制制系系统统的的分分析析研研究究中中，，最最重重要要的的问问题题是是系系统统的的稳稳定定性性问问题题不不稳稳定定的的系系统统在在受受到到外外界界或或内内部部的的一一些些因因素素扰扰动动时时，，会会使使被被控控制制量量偏偏离离原原来来的的平平衡衡工工作作状状态态，，并并随随时时间间的的推推移移而而发发散散因因此此，，不不稳稳定定的的系系统统是是无无法法正正常常工工作作的的在在这这一一节节中中将将讨讨论论稳稳定定性性的的定定义义，，稳稳定定的充要条件及判别稳定性的基本方法的充要条件及判别稳定性的基本方法3.4.1 3.4.1 稳定的概念和定义稳定的概念和定义稳定的概念和定义稳定的概念和定义         在在自自动动控控制制理理论论中中，，有有多多种种稳稳定定性性的的定定义义，，这这里里只只讨讨论论其其中中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。

最常用的一种，即渐近稳定性的定义232稳定与不稳定系统的示例稳定与不稳定系统的示例                              图图aAf            图图b                    图图cdfcA图图c c中，小球在中，小球在C C、、D D范围内，范围内，系统是稳定的，故可以认为该系统是稳定的，故可以认为该系统是条件稳定系统系统是条件稳定系统图图a a为稳定的系统为稳定的系统图图b b为不稳定系统为不稳定系统2333.4.2 3.4.2 3.4.2 3.4.2 稳定的充要条件稳定的充要条件稳定的充要条件稳定的充要条件        稳稳定定性性是是系系统统在在扰扰动动消消失失后后，，自自身身具具有有的的一一种种恢恢复复能能力力，，它它是是系系统统的的一一种种固固有有特特性性，，这这种种特特性性只只取取决决于于系系统统的结构和参数，与外作用无关的结构和参数，与外作用无关线线性性定定常常系系统统的的稳稳定定性性的的定定义义：：如如果果线线性性定定常常系系统统受受到到扰扰动动的的作作用用，，偏偏离离了了原原来来的的平平衡衡状状态态，，而而当当扰扰动动消消失失后后，，系系统统又又能能够够逐逐渐渐恢恢复复到到原原来来的的平平衡衡状状态态，，则则称称该该系系统统是是渐渐近近稳定的（简称为稳定）。

稳定的（简称为稳定）否则，称该系统是不稳定的否则，称该系统是不稳定的234        设设线线性性定定常常系系统统在在初初始始条条件件为为零零时时，，输输入入一一个个理理想想单单位位脉脉冲冲 ，，这这相相当当于于系系统统在在零零平平衡衡状状态态下下，，受受到到一一个个扰扰动动信信号号的的作作用用，，如如果果当当t t趋趋于于 时时，，系系统统的的输输出出响响应应C(t)C(t)收敛到原来的零平衡状态，即收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的该系统就是稳定的 根据上述稳定性的定义，可以用根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来函数作为扰动来讨论系统的稳定性讨论系统的稳定性根据这一思路分析系统稳定的充要条件根据这一思路分析系统稳定的充要条件设系统的闭环传递函数为设系统的闭环传递函数为235特征方程为特征方程为 如如果果特特征征方方程程的的所所有有根根互互不不相相同同，，且且有有q q个个实实数数根根 和和r r对对共共轭轭复复数数根根 , ,则则在在单单位位脉脉冲冲函函数数 的的作作用用下下，，系系统统输输出出量量的拉氏变换可表示为的拉氏变换可表示为将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得 式中式中236 上式表明上式表明Ø 当当系系统统特特征征方方程程的的根根都都具具有有负负实实部部时时，，则则各各瞬瞬态态分分量量都都是是衰衰减减的，且有的，且有 ，此时系统是稳定的。

此时系统是稳定的线线性性定定常常系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件：：闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的所所有有根根都都具具有有负负实实部部，，即即闭闭环环传传递递函函数数的的所所有有极极点点均均位位于于为为S S平面的左半部分（不包括虚轴）平面的左半部分（不包括虚轴）Ø如如果果特特征征根根中中具具有有一一个个或或一一个个以以上上的的零零实实部部根根，，而而其其余余的的特特征征根根均均有有负负实实部部，，则则C C（（t t））趋趋于于常常数数或或作作等等幅幅振振荡荡，，这这时时系系统统处处于于稳稳定定和和不不稳稳定定的的临临界界状状态态，，称称为为临临界界稳稳定定状状态态对对于于大大多多数数实实际际系系统统，，当当它它处处于于临临界界状状态态时时，，也也是是不不能能正正常常工工作作的的，，所所以以临临界界稳稳定定的的系系统统在工程上属于不稳定系统在工程上属于不稳定系统Ø如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有量是发散的，此时有 ，系统是不稳定的。

系统是不稳定的2373.4.3  3.4.3  劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部因因此此，，为为了了判判别别系系统统的的稳稳定定性性，，就就要要求求出出系系统统特特征征方方程程的的根根，，并并检检验验它它们们是是否否都都具具有有负负实实部部但但是是，，这这种种求求解解系系统统特特征征方方程程的的方方法法，，对对低低阶阶系系统统尚尚可可以以进进行行，，而而对对高高阶阶系系统统，，将将会会遇遇到到较较大大的的困困难因因此此，，人人们们希希望望寻寻求求一一种种不不需需要要求求解解的的特特征征方方程程就就能能判判别别系系统统稳稳定性的间接方法，劳斯判据就是其中的一种定性的间接方法，劳斯判据就是其中的一种劳劳斯斯判判据据利利用用特特征征方方程程的的各各项项系系数数进进行行代代数数运运算算，，得得出出全全部部特特征征根根具具有有负负实实部部的的条条件件，，以以此此作作为为判判别别系系统统是是否否稳稳定定的的依依据据因因此此，，这种判据又称为代数稳定判据这种判据又称为代数稳定判据。

2381、、稳定的必要条件稳定的必要条件 设系统的特征方程为设系统的特征方程为 式中式中 （当（当 时，可将方程两边同乘以时，可将方程两边同乘以-1-1）若该方程的特征）若该方程的特征根为根为 （（1,2,1,2,….n.n））, ,该该n n个根可以是实数也可以是复数，则上式可改个根可以是实数也可以是复数，则上式可改写成为写成为  将上式展开将上式展开…………239由此可见，如果特征方程的根由此可见，如果特征方程的根 都具有负实部，则上都具有负实部，则上式的所有系数式的所有系数 必然都大于零故必然都大于零故系统稳定的必系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正要条件是其特征方程的各项系数均为正，即，即        根根据据必必要要条条件件，，在在判判别别系系统统的的稳稳定定性性时时，，可可事事先先检检查查系系统统特特征征方方程程的的系系数数是是否否都都大大于于零零，，若若有有任任何何系系数数是是负负数数或或等等于于零零，，则则系系统统是是不不稳稳定定的的。

但但是是，，当当特特征征方方程程满满足足稳稳定定的的必必要要条条件件时时，，并并不不意意味味着着系系统统一一定定是是稳稳定定的的，，为为了了进进一一步步确确定定系系统统的的稳稳定定性性，，可可以以使使用用劳斯判据劳斯判据2402. 2. 劳斯判据劳斯判据Ø应应用用劳劳斯斯判判据据分分析析系系统统的的稳稳定定性性时时，，可可按按下下述述方方法法进进行行将将系统的特征方程写成如下标准形式系统的特征方程写成如下标准形式ØØ        将方程各项系数组成劳斯表将方程各项系数组成劳斯表将方程各项系数组成劳斯表将方程各项系数组成劳斯表……… … …… … …… … …… … …… … …… … …… … … … ……… … …… … …241Ø  计算劳斯表的各系数计算劳斯表的各系数 …… 系系数数的的计计算算一一直直进进行行到到其其余余的的b b值值全全部部等等于于零零为为止止用用同同样样的的前前两两行行系系数数交交叉叉相相乘乘的的方方法法，，可可以以计计算算c c , , d, d, … …e , f , g e , f , g 各行的系数各行的系数242 这这个个计计算算过过程程一一直直进进行行到到n+1n+1行行为为止止。

为为了了简简化化运运算算，，可可以以用用一一个个正正整整数数去去乘乘或或除除其其一一行行的的各各项项，，不不改改变变稳稳定定性的结论性的结论… … … …… … … …… … … …… … … …243劳斯稳定判据劳斯稳定判据（（1 1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况 如如果果劳劳斯斯表表中中第第一一列列的的系系数数都都具具有有相相同同的的符符号号，，则则系系统统是是稳稳定定的的，，否否则则系系统统是是不不稳稳定定的的且且不不稳稳定定根根的的个个数数等等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数于劳斯表中第一列系数符号改变的次数2442 2例例 3.5   已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 试用劳斯判据分析系统的稳定性试用劳斯判据分析系统的稳定性试用劳斯判据分析系统的稳定性试用劳斯判据分析系统的稳定性。

解解 列劳斯表列劳斯表1 14 106 17 2245        劳斯表第一列的系数符号相同，故系统的是稳定的劳斯表第一列的系数符号相同，故系统的是稳定的        由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号有关，由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号有关，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改变第一列系数的符号，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改变第一列系数的符号，所以为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以一个正数后，再继续运所以为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以一个正数后，再继续运算本例中，劳斯表可按如下方法计算：本例中，劳斯表可按如下方法计算：                                             1            14           10                                            6            17            2                                           67           58                     (  同乘以同乘以6)                                          791         134              （（同乘以同乘以67））                                        36900                          （（同乘以同乘以791））                                          134由于第一列系数的符号相同，故系统稳定，结论与前面一致由于第一列系数的符号相同，故系统稳定，结论与前面一致。

246例例3.63.6 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 s s4 4+2s+2s3 3+s+s2 2+s+1=0+s+1=0试用劳斯判据判断系统的稳定性试用劳斯判据判断系统的稳定性解解  列劳斯表如下列劳斯表如下S4                  1                            1                           1S3                  2                            1                           0S2    (2*1－－1*1)/2=1/2         (2*1－－1*0)/2=1S1      (1*1－－2*2)/1=－－3S0      (－－3*2－－1*0)/－－3= 2 由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/21/2变为变为-3 -3 ，，另一次由另一次由-3-3变为变为2 2，故特征方程有两个根在，故特征方程有两个根在S S平面右半部平面右半部分，系统是不稳定的。

分，系统是不稳定的247(2) (2) 劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况 当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不全为零，可当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不全为零，可用一个用一个很小的正数很小的正数 代替第一列的零项，然后按照通常方法计算代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项劳斯表中的其余项248例例 3.73.7 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 试判别系统的稳定性试判别系统的稳定性. . 解：解： 由特征方程列出劳斯表由特征方程列出劳斯表 1 2 51 2 5 1 2 0 1 2 0 5 5 5 5 当当 的的取取值值足足够够小小时时，， 将将取取负负值值，，故故劳劳斯斯表表第第一一列列系系数数变变号号两两次次，，由由劳劳斯斯判判据据可可知知，，特特征征方方程程有有两两个个根根具具有有正正实实部部，，系系统统是是不不稳稳定定的的。

对对于于这这种种情情况况，，也也可可以以用用(s+1)(s+1)因因子子乘乘以以原原特特征征方方程程，，然然后后按按新新的的特特征征方方程程计计算算劳劳斯斯表表例例如如在在上上例例中中用用(s+1)(s+1)乘乘以以原原特特征征方程得方程得249劳斯表为劳斯表为 1 3 71 3 7 2 4 5 2 4 5 2 9 2 9 （同乘以（同乘以2 2）） -10 10 -10 10 11 11 10 10显然，劳斯表第一列系数变号两次，其结论与前面是一致的。

显然，劳斯表第一列系数变号两次，其结论与前面是一致的250例如例如 ，， ，， 等等显然，系统是不稳定的此时，为了确定根的分布情况，显然，系统是不稳定的此时，为了确定根的分布情况，可按下列步骤处理：可按下列步骤处理： (3)(3)劳斯表某行所有系数均为零的情况劳斯表某行所有系数均为零的情况    如果劳斯表中某一行（如第如果劳斯表中某一行（如第k k行）各项为零，这说明在行）各项为零，这说明在S S平面平面内存在以原点为对称的特征根内存在以原点为对称的特征根 * * 利用第利用第k-1k-1行的系数构成辅助方程行的系数构成辅助方程 * 求求辅辅助助方方程程对对s s的的导导数数，，将将其其系系数数代代替替原原全全部部为为零零的的k k行行，，继继 续计算劳斯表续计算劳斯表 * 特征方程中以原点为对称的根可由辅助方程求得特征方程中以原点为对称的根可由辅助方程求得251                           1 8 20 161 8 20 16 2 12 16 2 12 16 2 12 16 2 12 16 0 0 0 0 0 0 由由上上表表看看出出，， 行行的的各各项项全全为为零零，，为为了了求求出出 ～～ 各各行行，，由由 行行的各项系数构成辅助方程的各项系数构成辅助方程 将辅助方程对将辅助方程对s s求导得求导得 用上式各项系数作为用上式各项系数作为 行的各系数继续计算劳斯表得行的各系数继续计算劳斯表得例例3.83.8 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 分析系统的稳定性分析系统的稳定性。

解解解解 由特征方程列劳斯表由特征方程列劳斯表由特征方程列劳斯表由特征方程列劳斯表252                                1          8          20         16                             2         12         16                              2         12         16                             8         24                             6         16                            8/3                             16 由由于于劳劳斯斯表表第第一一列列系系数数符符号号都都相相同同，，因因此此，，可可以以确确定定没没有有特特征征方方程程根根分分布布在在S S平平面面的的右右半半部部分分但但由由于于 行行的的各各项项均均为为零零，，这这表表明明系系统统有有共共轭轭虚虚根根，，所所以系统是不稳定的，共轭虚根可由辅助方程求得，即由以系统是不稳定的，共轭虚根可由辅助方程求得，即由253综上所述，应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下综上所述，应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：顺序进行：1 1、、确确定定系系统统是是否否满满足足稳稳定定的的必必要要条条件件。

当当特特征征方方程程的的系系数数不不满满足足     (i=0,1,2,(i=0,1,2,……n)n)时，系统是不稳定的时，系统是不稳定的2 2、、当当特特征征方方程程的的系系数数满满足足        (i=0,1,2,(i=0,1,2,……n)n)时时，，计计算算劳劳斯斯表表当当劳劳斯斯表表的的第第一一列列系系数数都都大大于于零零时时，，系系统统是是稳稳定定的的如如果果第第一一列列出出现小于零的系数，则系统是不稳定的现小于零的系数，则系统是不稳定的3 3、、若若计计算算劳劳斯斯表表时时出出现现情情况况（（2 2））和和（（3 3）），，此此时时为为确确定定系系统统极极点点的的分布情况，可按情况（分布情况，可按情况（2 2）和（）和（3 3）的方法处理的方法处理运运用用劳劳斯斯判判据据，，不不仅仅可可以以判判定定系系统统是是否否稳稳定定，，还还可可以以用用来来分分析析系系统统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围254例例3.93.9 已知系统的结构图如图所示当已知系统的结构图如图所示当时时, , 试确定试确定k k为何值时，系统稳定为何值时，系统稳定。

R(s)-E(s)1+C(s)2解解 开环传递函数为开环传递函数为其闭环传递函数为其闭环传递函数为255特征方程为特征方程为 将将 ，， 代入特征方程得代入特征方程得由特征方程列劳斯表由特征方程列劳斯表 1 7500 1 7500 34.6 7500K 34.6 7500K 7500K 7500K 要使系统稳定，必须满足要使系统稳定，必须满足解不等式得解不等式得参数参数K K的取值范围是的取值范围是256应用劳斯判据可检验系统是否有一定的稳定裕度，即相应用劳斯判据可检验系统是否有一定的稳定裕度，即相对稳定性。

对稳定性 令令 即把虚轴左移即把虚轴左移 1 1 将上式代入系统的特征方程式，得到以将上式代入系统的特征方程式，得到以z z 为变量的新特为变量的新特征方程式，然后用劳斯判据检验新特征方程式有没有征方程式，然后用劳斯判据检验新特征方程式有没有根位于新虚轴的右边如果所有根均在新虚轴的左边，根位于新虚轴的右边如果所有根均在新虚轴的左边，则说明系统具有稳定裕量则说明系统具有稳定裕量 1 1257例例3.103.10 检验特征方程式检验特征方程式是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s = -s = -１的右边１的右边  解解 劳斯阵列表为劳斯阵列表为 s s 3 3 2 13 2 13 s s 2 2 10 4 10 4 s s 1 1 12.2 12.2 s s 0 0 4 4第一列无符号改变，故没有根在第一列无符号改变，故没有根在S S右半平面。

右半平面 令令s s= = z z-1-1，代入特征方程式，得，代入特征方程式，得即即  z 3        2        -1 z 2        4        -1 z 1        -1/2 z 0        -1 第第一一列列符符号号改改变变一一次次，，故故有有一一个个根根在在直直线线s= s= -1(-1(即即新新座座标标虚虚轴轴) )的右边，因此稳定裕量不到的右边，因此稳定裕量不到1 1[s][z]00258作作    业业P70 3-3 (1)P71 3-5259应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：1 1、、确确定定系系统统是是否否满满足足稳稳定定的的必必要要条条件件当当特特征征方方程程的的系系数数不不满满足足     (i=0,1,2,(i=0,1,2,……n)n)时，系统是不稳定的时，系统是不稳定的2 2、、当当特特征征方方程程的的系系数数满满足足        (i=0,1,2,(i=0,1,2,……n)n)时时，，计计算算劳劳斯斯表表。

当当劳劳斯斯表表的的第第一一列列系系数数都都大大于于零零时时，，系系统统是是稳稳定定的的如如果果第第一一列列出出现小于零的系数，则系统是不稳定的现小于零的系数，则系统是不稳定的3 3、、若若计计算算劳劳斯斯表表时时出出现现情情况况（（2 2））和和（（3 3）），，此此时时为为确确定定系系统统极极点点的的分布情况，可按情况（分布情况，可按情况（2 2）和（）和（3 3）的方法处理的方法处理线线性性定定常常系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件：：闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的所所有有根根都都具具有有负负实实部部，，即即闭闭环环传传递递函函数数的的所所有有极极点点均均位位于于为为S S平平面面的的左左半半部部分分（不包括虚轴）不包括虚轴）260     在在系系统统的的分分析析中中，，劳劳斯斯判判据据可可以以根根据据系系统统特特征征方方程程的的系系数数来来确确定定系系统统的的稳稳定定性性，，同同时时还还能能给给出出系系统统的的某某些些参参数数的的取取值值范范围围但但是是，，它它的的应应用用也也具具有有一一定定的的局局限限性性，，通通常常它它只只能能提提供供系系统统绝绝对对稳稳定定性性的的结结论论，，而而不不能能指指出出系系统统是是否否具具有有满满意意的的动动态态过过程程。

此此外外，，当当系系统统不不稳稳定定时时，，它它不不能能提提供供改改善系统稳定性的方法和途径善系统稳定性的方法和途径261 3.5 3.5 控制系统的控制系统的稳态性能分析稳态性能分析       系系统统的的稳稳态态性性能能反反映映系系统统跟跟踪踪控控制制信信号号的的准准确确度度或或抑抑制制扰扰动动信信号号的的能能力力，，这这种种能能力力用用稳稳态态误误差差来来描描述述在在系系统统的的分分析析、、设设计计中中，，稳稳态态误误差差是是一一项项重重要要的的性性能能指指标标，，它它与与系系统统本本身身的的结结构构、、参参数数及及外外作作用用的的形形成成有有关关，，也也与与元元件件的的不不灵灵敏敏、、零零点点漂漂移移、、老老化化及及各各种种传传动动机机械械的的间间隙隙、、摩摩擦擦等等因因素有关本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差Ø  给定值稳态误差给定值稳态误差（由给定输入引起的稳态误差）（由给定输入引起的稳态误差）Ø  扰动值稳态误差扰动值稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）（由扰动输入引起的稳态误差）对对于于随随动动系系统统，，给给定定输输入入变变化化，，要要求求系系统统输输出出量量以以一一定定的的精精度度跟跟随随输输入入量量的的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。

变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能对对恒恒值值系系统统，，给给定定输输入入通通常常是是不不变变的的，，需需要要分分析析输输出出量量在在扰扰动动作作用用下下所所受受到到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能本章介绍稳态误差的概念和计算方法，研究稳态误差的规律性本章介绍稳态误差的概念和计算方法，研究稳态误差的规律性262    3.5.1 3.5.1 稳态误差的定义稳态误差的定义稳态误差的定义稳态误差的定义      系统的误差系统的误差 e(t)e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差一般定义为输出量的希望值与实际值之差 对图示典型系统，其误差定义有两种形式：对图示典型系统，其误差定义有两种形式：R(s)-B(s)N(s)+C(s)       反馈系统结构图反馈系统结构图（（1 1）从系统输出端定义）从系统输出端定义 式中，式中，  为系统输出量为系统输出量的希望值，的希望值，C(t)C(t)为输出量的为输出量的实际值2 2）从输入端定义）从输入端定义 系统输出量的希望值是给定输入系统输出量的希望值是给定输入r(t)r(t)，输出量的实际值为系统主，输出量的实际值为系统主反馈信号反馈信号b(t)b(t)。

通常通常H H（（s s）是测量装置的传递函数，此时误差是给定）是测量装置的传递函数，此时误差是给定输入与测量装置输出量之差输入与测量装置输出量之差b(t)b(t)可以测量，因而具有实用性可以测量，因而具有实用性263 第第一一种种形形式式的的误误差差是是从从系系统统输输出出端端来来定定义义的的，，它它在在性性能能指指标标提提法法中中经经常常使使用用，，但但在在实实际际系系统统中中无无法法测测量量，，因因而而，，一一般般只只有有数数学学意意义义而而第第二二种种形形式式的的误误差差是是从从系系统统的的输输入入端端来来定定义义的的，，它它在在系系统统中中是是可可以以测测量量的的，，因因而而具具有有实实用用性性对对于于单单位位反反馈馈系系统统，，要要求求输输出出量量C(t)C(t)的的变变化化规规律律与与给给定定输输入入r(t)r(t)的的变变化化规规律律完完全全一一致致，，所所以以给给定定输输入入r(t)r(t)也也就就是是输输出出量量的的希希望望值值 ，，即即 此此时时，，上上述述两两种种定义统一为定义统一为 e(t)= r(t) - c(t) e(t)= r(t) - c(t) R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)反馈系统结构图264 从从本本质质上上看看，，两两种种定定义义的的误误差差都都能能反反映映控控制制系系统统的的控控制制精精度度。

在下面的讨论中，采用第二种误差定义在下面的讨论中，采用第二种误差定义 e(t)e(t)通通常常也也称称为为系系统统的的误误差差响响应应，，它它反反映映了了系系统统在在输输入入信信号号和和扰扰动动信信号号作作用用下下整整个个工工作作过过程程中中的的精精度度误误差差响响应应中中也也包包含含有有瞬瞬态态分分量量和和稳稳态态分分量量两两个个部部分分，，如如果果所所研研究究的的系系统统是是稳稳定定的的，，那那么么当当时时间间t t趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量趋于无穷大时，瞬态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量 稳态误差的定义：稳定系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态稳态误差的定义：稳定系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态 误差，以误差，以 表示2653.5.2 3.5.2 3.5.2 3.5.2 输入作用下的稳态误差输入作用下的稳态误差输入作用下的稳态误差输入作用下的稳态误差 如如果果不不计计扰扰动动输输入入的的影影响响，，可可求求得得系系统统的的给给定定稳稳态态误误差差。

此此时时，，系统的结构图为系统的结构图为E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)- -由误差的定义可知由误差的定义可知称为称为给定输入作用下系统的误差传递函数给定输入作用下系统的误差传递函数266设系统的开环的传递函数为设系统的开环的传递函数为分分母母中中的的 表表示示开开环环传传递递函函数数在在原原点点处处有有重重极极点点，，或或者者说说有有 个个积分环节串联积分环节串联式中式中称为系统的开环放大环节或称为系统的开环放大环节或开环增益开环增益267 它它表表明明，，在在给给定定输输入入作作用用下下，，系系统统的的稳稳态态误误差差与与系系统统的的结结构构、、参参数数和和输输入入信信号号的的形形式式有有关关( (系系统统的的稳稳态态误误差差取取决决于于原原点点处处开开环环极极点点的的阶阶次次 、、开开环环增增益益K K以以及及输输入入信信号号的的形形式式).). 对对于于一一个个给给定定的的系系统统，，当当给给定定输输入入的的形形式式确确定定后后，，系系统统的的稳稳态态误误差差将将取取决决于于以以开开环环传递函数描述的系统结构传递函数描述的系统结构. .给定稳态误差的基本公式为给定稳态误差的基本公式为( (终值定理终值定理) ) 为为了了分分析析稳稳态态误误差差与与系系统统结结构构的的关关系系，，可可以以根根据据开开环环传传递递函函数数G(s)H(s)G(s)H(s)中串联的积分环节来规定控制系统的类型。

中串联的积分环节来规定控制系统的类型G(s)H(s)的时的时  间常数形式）间常数形式）268设系统的开环的传递函数为设系统的开环的传递函数为分分母母中中的的 表表示示开开环环传传递递函函数数在在原原点点处处有有重重极极点点，，或或者者说说有有 个个积积分分环环节节串串联联当当 ……时时，，分分别别称称系系统统为为0 0型型、、1 1型型、、2 2型型……系系统统分分类类是是以以开开环环传传递递函函数数中中串串联联的的积积分分环环节节数数目目为为依依据的据的，而，而C(s)H(s)C(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响中其它零、极点对分类没有影响 下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差式中式中称为系统的开环放大环节或称为系统的开环放大环节或开环增益开环增益2691 1、、  单位阶跃输入时的稳态误差单位阶跃输入时的稳态误差              对于单位阶跃输入，对于单位阶跃输入，对于单位阶跃输入，对于单位阶跃输入，R(s)=1/s, R(s)=1/s, R(s)=1/s, R(s)=1/s, 求得系统的稳态误差为求得系统的稳态误差为求得系统的稳态误差为求得系统的稳态误差为令令称称 为为稳态位置误差系数稳态位置误差系数。

稳态误差可表示为稳态误差可表示为 因因此此，，在在单单位位阶阶跃跃输输入入下下，，给给定定稳稳态态误误差差决决定定于于系系统统的的位位置置误差系数误差系数对于对于0 0型系统型系统，，270 对对实实际际系系统统来来说说，，通通常常是是允允许许存存在在稳稳态态误误差差的的，，但但不不允允许许超超过过规规定定的的指指标标为为了了降降低低稳稳态态误误差差，，可可在在稳稳定定条条件件允允许许的的前前提提下下，，增增大大系系统统的的开开环环放放大大系系数数，，若若要要求求系系统统对对阶阶跃跃输输入入的的稳稳态态误误差差为为零，则必须选用零，则必须选用1 1型或高于型或高于1 1型的系统型的系统对于对于1 1型系统（或高于型系统（或高于1 1型的系统），型的系统）， 由于由于0 0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数定值，误差的大小与系统的开环放大系数K K成反比，成反比，K K越大，越大， 越越小，只要小，只要K K不是无穷大，系统总有误差存在不是无穷大，系统总有误差存在。

2712 2、、 单位斜坡输入时的稳态误差单位斜坡输入时的稳态误差      对于单位斜坡输入对于单位斜坡输入 ，此时系统的稳态误差为，此时系统的稳态误差为令令称为称为稳态速度误差系数稳态速度误差系数 于是稳态误差可表示为于是稳态误差可表示为 因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差因此，在单位斜坡输入下，给定稳态误差决定于速度误差系数272对于对于0 0型系统型系统，，对于对于1 1型系统型系统，，273 对于对于2 2型系统（或高于型系统（或高于2 2型的系统）型的系统） 计计算算表表明明，，在在单单位位斜斜坡坡输输入入作作用用下下，，0 0型型系系统统的的稳稳态态误误差差为为 ，，而而1 1型型系系统统的的稳稳态态误误差差为为一一定定值值，，且且误误差差与与开开环环放放大大系系数数成成反反比比为为了了使使稳稳态态误误差差不不超超过过规规定定值值，，可可以以增增大大系系统统的的K K值值。

2 2型型或或高高于于2 2型型系系统统的的稳稳态态误误差差总总为为零零因因此此，，对对于于单单位位斜斜坡坡输输入入，，要要使使系系统统的的稳稳态态误误差为一定值或为零，必需差为一定值或为零，必需 ，也即系统必须有足够积分环节也即系统必须有足够积分环节2743 3、单位抛物线输入时的稳态误差、单位抛物线输入时的稳态误差 对于单位抛物线输入对于单位抛物线输入 ，此时系统的稳态误差为，此时系统的稳态误差为 令令称称 为稳态加速度误差系数为稳态加速度误差系数稳态误差可表示为稳态误差可表示为对于对于0 0型系统，型系统， 稳态误差可表示为稳态误差可表示为275对于对于1 1型系统，型系统，对于对于2 2型系统，型系统，276对于对于3 3型系统（或高于型系统（或高于3 3型的系统），型的系统）， 以以上上计计算算表表明明，，在在单单位位抛抛物物线线输输入入作作用用下下，，0 0型型和和1 1型型系系统统的的稳稳态态误误差差为为 ,2,2型型系系统统的的稳稳态态误误差差为为一一定定值值，，且且误误差差与与开开环环放放大大系系数数成成反反比比。

对对3 3型型或或高高于于3 3型型的的系系统统，，其其稳稳态态误误差差为为零零但但是是，，此时要使系统稳定则比较困难此时要使系统稳定则比较困难 277      在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的给定稳态误差如下表所示下表所示输入信号作用下系统的稳态误差输入信号作用下系统的稳态误差III系统类别系统类别静态误差系数静态误差系数阶跃输入阶跃输入斜坡输入斜坡输入r(t)=Rtr(t)=Rt加速度输入加速度输入III278      若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差若给定输入信态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态误差若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差可由叠加原号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差可由叠加原理求出 综综上上，，稳稳态态误误差差系系数数 、、 、、和和 描描述述了了系系统统对对减减小小和和消消除除稳稳态态误误差差的的能能力力，，可可表表示示系系统统的的稳稳态态特特性性。

提提高高开开环环放放大大系系数数 K K或或增增加加开开环环传传递递函函数数中中的的积积分分环环节节数数，，都都可可以以达达到到减减小小或或消消除除系系统统稳稳态态误误差差的的目目的的但但是是，，这这两两种种方方法法都都受受到到系系统统稳稳定定性性的的限限制制因因此此，，对对于于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量 则系统的总稳态误差为则系统的总稳态误差为例如，若输入信号为例如，若输入信号为279例例3.113.11 设图示系统的输入信号设图示系统的输入信号r(t)=10+5tr(t)=10+5t，分析系统的稳定性并求，分析系统的稳定性并求出其稳态误差出其稳态误差R(s)-C(s)例例3.11系统结构图系统结构图 由由以以上上讨讨论论可可知知，，当当 时时，，系系统统相相对对 的的稳稳态态误误差差为为零零，，当当 时时，，系系统统相相对对 的的稳稳态态误误差差为为零零；；当当 时时，，系系统统相相对对 的的稳稳态态误误差差为为零零。

因因此此，，当当开开环环系系统统含含有有 个个串串联联积积分分环环节节时时，，称称系系统统对对给给定定输输入入 r(t)r(t)是是 阶无差系统，阶无差系统，而而 称为系统的无差度称为系统的无差度280解解 由图求得系统的特征方程为由图求得系统的特征方程为23要使系统稳定，必须要使系统稳定，必须解得解得所以，当所以，当 ，系统是稳定的系统是稳定的281上述结果表明，上述结果表明，系统的稳态误差与系统的稳态误差与K K成反比，成反比，K K值越大，稳态误差越值越大，稳态误差越小小，但，但K K值的增大受到稳定性的限制，当值的增大受到稳定性的限制，当K>6K>6时，系统将不稳定时，系统将不稳定系统的稳态误差系数分别为系统的稳态误差系数分别为由图可知，系统的开环传递函数为由图可知，系统的开环传递函数为所以，系统的稳态误差为所以，系统的稳态误差为2823.5.3 3.5.3 3.5.3 3.5.3 扰动稳态误差扰动稳态误差扰动稳态误差扰动稳态误差 — 扰动输入作用下系统的误差传递函数扰动输入作用下系统的误差传递函数控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。

控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用扰扰动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力动稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力扰动输入可以作用在系扰动输入可以作用在系统的不同位置统的不同位置，因此因此系统对于某种形式的系统对于某种形式的给定输入给定输入的稳态误差为零，但的稳态误差为零，但对同一形式的对同一形式的扰动输入扰动输入其稳态误差则不一定为零其稳态误差则不一定为零R(s)-B(s)N(s)+C(s)E(sE(s) )设给定输入为零，由误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为设给定输入为零，由误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为283例例3.123.12 设控制系统如图所示，其中设控制系统如图所示，其中给定输入给定输入 ，扰动输入，扰动输入（（ 和和 均为常数均为常数 ），试求系统的稳态误差试求系统的稳态误差解解 当系统同时受到给定输入和扰动当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加态误差和扰动稳态误差的叠加令令n(t)=0n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为时，求得给定输入作用下的误差传递函数为R(s)-+N(s)C(s)所以给定稳态误差为所以给定稳态误差为284令令r(t)=0r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为所以扰动稳态误差为所以扰动稳态误差为 由上式计算可以看出，由上式计算可以看出，r(t)r(t)和和n(t)n(t)同是阶跃信号，由于在系统中同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。

的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同由扰动稳态误差的表达式可知由扰动稳态误差的表达式可知 提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数 ，，可以减小系统的扰动稳态误差可以减小系统的扰动稳态误差该系统总的稳态误差为该系统总的稳态误差为285为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，假设图中为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，假设图中系统总的稳态误差为系统总的稳态误差为给定输入和扰动输入保持不变这时，系统的稳态误差可按上述给定输入和扰动输入保持不变这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，相同的方法求出，286 比较以上两次计算的结果可以看出，比较以上两次计算的结果可以看出，• 若要消除系统的给定稳态误差，在系统前向通道中串联的积分若要消除系统的给定稳态误差，在系统前向通道中串联的积分环节都起作用环节都起作用• 若要消除系统的扰动稳态误差，在系统前向通道中只有扰动输入若要消除系统的扰动稳态误差，在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。

作用点之前的积分环节才起作用 若若要要消消除除由由给给定定输输入入和和扰扰动动输输入入同同时时作作用用于于系系统统所所产产生生的的稳稳态态误误差差，，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前 对于非单位反馈系统，当对于非单位反馈系统，当H H（（s s）为常数时，以上有关结论同样适用为常数时，以上有关结论同样适用 前前面面定定义义了了相相对对于于给给定定输输入入的的无无差差度度，，同同样样也也可可以以定定义义相相对对于于扰扰动动输入的无差度输入的无差度 当当系系统统的的 中中含含有有 个个串串联联的的积积分分环环节节时时称称系系统统相相对对于于扰扰动动输输入入是是 阶阶无无差差系系统统，，而而 称称为为系系统统相相对对于于扰扰动动输输入入的的无无差差度度对对本本例例中中的的前前一一种种情情况况，，系系统统对对扰扰动动输输入入的的无无差差度度为为0 0，，而而后后一一种种情情况况，，系系统统对对扰扰动动的的无无差差度度是是1 1谈谈及及系系统统的的无无差差度度时时，，应应指指明明是是对对哪哪一一种种输输入入作作用用而而言言，否则，可能会得出错误的结论。

否则，可能会得出错误的结论3.5.4 减小或消除稳态误差的方法减小或消除稳态误差的方法 前前面面分分析析表表明明，，为为了了减减小小系系统统的的稳稳态态误误差差，，可可以以增增加加开开环环传传递递函函数数中中的的串串联联积积分分环环节节的的数数目目或或提提高高系系统统的的开开环环放放大大系系数数但但是是，，串串联联的的积积分分环环节节一一般般不不超超过过2 2，，而而开开环环放放大大系系数数也也不不能能任任意意增增大大，，否否则则系系统统将将可可能能不不稳稳定定，，为为了了进进一一步步减减小小系系统统稳稳态态误误差差，，可可以以采采用用加加前前馈馈控控制制的的复复合合控控制制方方法法，，即即从从给给定定输输入入或或扰扰动动输输入入处处引引出出一一个个前前馈馈控控制制量量，，加加到到系系统统中中去去，，通通过过适适当当选选择择补补偿偿装装置置和和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的288 在在图图示示系系统统中中，，为为了了消消除除由由r(t)r(t)引引起起的的稳稳态态误误差差，，可可在在原原反反馈馈控控制制的的基基础础上上，，从从给给定定输输入入处处引引出出前前馈馈量量经经补补偿偿装装置置 对对系系统统进行开环控制。

进行开环控制        按给定输入补偿的复合控制按给定输入补偿的复合控制整理得整理得如果选择补偿装置的传递函数为如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零则系统的给定稳态误差为零此时系统误差信号的拉氏变换式为此时系统误差信号的拉氏变换式为R(s)E(s)C(s)-+289 在在图图示示系系统统中中，，为为了了消消除除由由n(t)n(t)引引起起的的稳稳态态误误差差，，可可在在原原反反馈馈控控制制的的基基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置 加到系统中，加到系统中，R(s)N(s)E(s)--+C(s)A    按扰动输入补偿的复合控制按扰动输入补偿的复合控制 若设若设r(t)=0r(t)=0，则系统的输出，则系统的输出C(s)C(s)就是系统的误差信号系统输就是系统的误差信号系统输出的拉氏变换式为出的拉氏变换式为整理得整理得如果选择补偿装置的传递函数为如果选择补偿装置的传递函数为可使输出不受扰动可使输出不受扰动n(t)n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零的影响，故系统的扰动稳态误差为零290 从从结结构构上上看看，，当当满满足足 时时，，扰扰动动信信号号经经两两条条通通道道到到达达A A点点，，两两个个分分支支信信号号正正好好大大小小相相等等，，符符号号相相反反，，因因而而实实现现了了对对扰扰动动的全补偿。

的全补偿        前前馈馈控控制制加加入入前前后后，，系系统统的的特特征征方方程程保保持持不不变变，，因因此此，，系系统统的的稳定性不会发生变化稳定性不会发生变化291例例3.133.13 控制系统如图所示控制系统如图所示(1) (1) 计算扰动计算扰动 引起的稳态误差；引起的稳态误差； (2) (2) 选择合适的选择合适的K K值，使系统在输入值，使系统在输入 作用下无稳态误差作用下无稳态误差 E(s)--KK1 K3 292（（2 2）闭环传递函数）闭环传递函数等效单位反馈系统的开环传递函数等效单位反馈系统的开环传递函数 解解（（1））要使系统在要使系统在 作用下稳态误差为作用下稳态误差为0 0，， 系统应为系统应为2 2型系统型系统293作作    业业P72.  3-15 p73. 3-18294第四章第四章 频率特性法频率特性法Ø 频率特性的概念频率特性的概念Ø 典型环节频率特性典型环节频率特性Ø 绘制频率特性图绘制频率特性图Ø 奈氏稳定判据奈氏稳定判据Ø 相对稳定性相对稳定性Ø 频域响应分析频域响应分析295v数学本质数学本质 R R1 1C C1 1i i1 1(t)(t)4.1 4.1 频率特性的概念频率特性的概念296扩展为一般系统扩展为一般系统系统输出的稳态分量为系统输出的稳态分量为297其中其中G G( (jwjw) )和和G G( (－－jwjw) )为复数，可用复数的模和相角的形式表示为为复数，可用复数的模和相角的形式表示为298 注意：注意：Ø 反应了系统在不同频率的正弦输入信号作用下，反应了系统在不同频率的正弦输入信号作用下，稳态稳态输出的幅值和输入信号幅值之比。

输出的幅值和输入信号幅值之比Ø 反应了系统在不同频率的正弦输入信号作用下，反应了系统在不同频率的正弦输入信号作用下，输出信号相对于输入信号的相位位移输出信号相对于输入信号的相位位移299物理意义物理意义300比较系统的频率特性和传递函数、比较系统的频率特性和传递函数、微分方程可知，它们之间存在右述微分方程可知，它们之间存在右述关系关系Ø 由实验方法获得由实验方法获得根据稳态输出的幅值比和相位差得到根据稳态输出的幅值比和相位差得到不能针对不稳定系统，因为会存在振不能针对不稳定系统，因为会存在振 荡和发散荡和发散系统的频率特性的获取系统的频率特性的获取Ø由传递函数（或微分方程）可以得到系统的频率特性：由传递函数（或微分方程）可以得到系统的频率特性：301•基本思想基本思想– 将控制系统的各个变量看成一些信号，而这些信号又是将控制系统的各个变量看成一些信号，而这些信号又是由不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统由不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对各个不同频率的信号的响应的总和对各个不同频率的信号的响应的总和。

•特点特点– 物理意义鲜明，有很大的实际意义物理意义鲜明，有很大的实际意义– 计算量小它与过渡过程的性能指标有对应关系，不必解计算量小它与过渡过程的性能指标有对应关系，不必解出特征根出特征根–由于采用作图，使用这种做法有很强的直观性由于采用作图，使用这种做法有很强的直观性–应用对象广泛不仅适用于二阶系统，也适用于高阶系统；应用对象广泛不仅适用于二阶系统，也适用于高阶系统；不仅适用于线性定常系统，也可推广应用于某些非线性系不仅适用于线性定常系统，也可推广应用于某些非线性系统尤其系统在某些频率范围存在严重的噪声时，应用频统尤其系统在某些频率范围存在严重的噪声时，应用频率特性法可以比较满意地抑制噪声率特性法可以比较满意地抑制噪声3024.2. 4.2. 典型环节频率特性典型环节频率特性•幅幅相相频频率率特特性性曲曲线线简简称称幅幅相相曲曲线线，，又又称称极极坐坐标标图图在在复复平平面面上上，，以以角角频频率率 为为自自变变量量，，把把频频率率特特性性的的幅幅频频特特性性——模模和和相相频频特特性性——相角同时在复平面上表示出来的图就是幅相曲线相角同时在复平面上表示出来的图就是幅相曲线。

•开环对数频率特性图开环对数频率特性图( (对数坐标图或对数坐标图或BodeBode图图) )包括包括 开环对数幅频曲线开环对数幅频曲线 和和 开环对数相频曲线开环对数相频曲线横坐标横坐标为为 ，，以对数分度以对数分度，， 十倍频程，单位是十倍频程，单位是rad/s rad/s 频率频率 每扩大每扩大1010倍，横轴上变化一个单位长度因此，对倍，横轴上变化一个单位长度因此，对于于 坐标分度不均匀，对于坐标分度不均匀，对于lglg  则是均匀的则是均匀的4.2.1 4.2.1 常用于描述频率特性的几种曲线常用于描述频率特性的几种曲线常用于描述频率特性的几种曲线常用于描述频率特性的几种曲线303•幅频特性是幅频特性是  的偶函数的偶函数•相频特性是相频特性是  的奇函数的奇函数•性性能能分分析析（（尤尤其其是是稳稳定定性性））时时不不需需要要绘绘制制精精确确的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可304伯德（伯德（BodeBode））图又叫图又叫对数频率特性曲线对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频对数幅频特性特性，后者叫，后者叫对数相频特性对数相频特性。

两个坐标平面横轴（两个坐标平面横轴（ωω轴）用轴）用对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的对数分度，对数幅频特性的纵轴用线性分度，它表示幅值的分贝数，即分贝数，即 ；对数相频特性的纵轴；对数相频特性的纵轴也是线性分度，它表示相角的度数，即也是线性分度，它表示相角的度数，即 通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在通常将这两个图形上下放置（幅频特性在上，相频特性在下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大下），且将纵轴对齐，便于求出同一频率的幅值和相角的大小，同时为求取系统相角裕度带来方便小，同时为求取系统相角裕度带来方便305对数分度：对数分度：对数相频特性的对数相频特性的纵坐标纵坐标为对数相频特性的函数值，单位是为对数相频特性的函数值，单位是度表示为度表示为对数幅频特性的对数幅频特性的纵坐标纵坐标为对数幅频特性的函数值，采用线为对数幅频特性的函数值，采用线性分度，单位是性分度，单位是dBdB表示为 L(w)L(w)=20lg|=20lg|G(jw)G(jw)| |306线线性性分分度度(弧度弧度/秒秒)线线性性分分度度(弧度弧度/秒秒)307Ø对数频率特性优点对数频率特性优点–展宽频率范围展宽频率范围 –对于不含不稳定环节的系统，可由对数频率特性得到系对于不含不稳定环节的系统，可由对数频率特性得到系统的传函。

统的传函–典型环节可用直线或折线近似表示典型环节可用直线或折线近似表示Ø 几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加Ø 两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称3084.2.2.4.2.2.典型环节的频率特性典型环节的频率特性•比例环节比例环节•积分环节积分环节•惯性环节惯性环节•振荡环节振荡环节•一阶微分环节一阶微分环节•二阶微分环节二阶微分环节•延时环节延时环节•不稳定环节不稳定环节309v比例环节比例环节    传递函数传递函数    G(s) = k 频率特性频率特性   G(jw) = k    k1）幅相曲线）幅相曲线幅频特性幅频特性  | G(jw) |=k相频特性相频特性幅相曲线如右图所示幅相曲线如右图所示310由图可看出比例环节的幅频特性为常数由图可看出比例环节的幅频特性为常数K K，相频特，相频特 性等于零度，它们都与频率无关理想的比例环节性等于零度，它们都与频率无关理想的比例环节能够无失真和无滞后地复现输入信号能够无失真和无滞后地复现输入信号3112)2)对数频率特性曲线对数频率特性曲线若若k = 10312比例环节的对数幅频特性如图所示，它是一比例环节的对数幅频特性如图所示，它是一条与角频率条与角频率ωω无关且平行于横轴的无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为直线，其纵坐标为20lgk20lgk。

当有当有n n个比例环节串联时，即个比例环节串联时，即 幅值的总分贝数为幅值的总分贝数为 比例环节的Bode图比例比例环节的相频特性是环节的相频特性是 如图所示，它是一条与角频率如图所示，它是一条与角频率ωω无关且无关且与与ωω轴重合的直线。

轴重合的直线313v积分环节积分环节幅频特性幅频特性| |G G( (jwjw)|=1)|=1/ / 相频特性相频特性幅相曲线如右图所示幅相曲线如右图所示1 1）幅相曲线）幅相曲线314v积分环节积分环节2 2）对数频率特性）对数频率特性这是一条在这是一条在 =1=1处穿过横轴的直线，其斜率为处穿过横轴的直线，其斜率为即频率变化即频率变化1010倍，对数幅值下降－倍，对数幅值下降－20dB20dB315思考题：思考题：如果有如果有n个个积分环节，积分环节，那么它们那么它们的频率特的频率特性如何？性如何？当有当有n n个积分环节串联时，即个积分环节串联时，即 其对数幅频特性为其对数幅频特性为 是是一一条条斜斜率率为为-n×20 -n×20 ，，且且在在ω=1ω=1（（弧弧度度/ /秒秒））处处过过零零分分贝贝线线（（ωω轴轴））的的直直线线。

相相频频特特性性是是一一条条与与ωω无无关关，，值值为为-n×90-n×900 0且且与与ωω轴轴平平行行的的直直线线两两个个积积分分环环节节串串联联的的BodeBode图图如如图图所所示 两个积分环节串联的Bode图317v 惯性环节惯性环节318 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时， 当当ωω由由零零至至无无穷穷大大变变化化时时，，惯惯性性环环节节的的频频率率特特性性在在 平平面上是正实轴下方的面上是正实轴下方的半个圆周半个圆周，证明如下：，证明如下： 令令 319 则有则有 这这是是一一个个标标准准圆圆方方程程，，其其圆圆心心坐坐标标是是 ，，半半径径为为 。

且且当当ωω由由 时时，， 由由 ，，说说明明惯惯性性环环节节的的频频率率特特性性在在 平平面面上上是是实实轴轴下下方方半半个个圆圆周周，，如如图图所所示示惯惯性性环环节节是是一一个个低低通通滤滤波波环环节节和和相相位位滞滞后后环环节节在在低低频频范范围围内内，，对对输输入入信信号号的的幅幅值值衰衰减减较较小小，，滞滞后后相相移移也也小小，，在在高高频频范范围围内内，，幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为幅值衰减较大，滞后相角也大，最大滞后相角为9090゜゜ 3201 1）） 幅相曲线幅相曲线如图惯性环节为相位滞后环节，惯性环节为相位滞后环节，最大的滞后相角为最大的滞后相角为9090度当当 时，时， 当当 时，时， 用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性用两条直线近似描述惯性环节的对数幅频特性。

2 2）对数频率特性曲线）对数频率特性曲线惯性环节的频率特性是惯性环节的频率特性是 其对数幅频特性是其对数幅频特性是322讨论：讨论：用渐近线表示：用渐近线表示：323很明显，距离转折频率很明显，距离转折频率 愈远愈远愈能满足近似条件，用渐近线愈能满足近似条件，用渐近线表示对数幅频特性的精度就愈表示对数幅频特性的精度就愈高；反之，距离转折频率愈高；反之，距离转折频率愈近，渐近线的误差愈大近，渐近线的误差愈大等于转折频率等于转折频率 时，误差时，误差最大，最大误差为最大，最大误差为渐近特性精确特性图 惯性环节的Bode图324 时的误差是时的误差是 时的误差是时的误差是 误误差差曲曲线线对对称称于于转转折折频频率率 ，，如如图图所所示示由由图图可可知知，，惯惯性性环环节节渐渐近近线线特特性性与与精精确确特特性性的的误误差差主主要要在在交交接接频频率率 上上下下十十倍倍频频程程范范围围内内。

转转折折频频率率十十倍倍频频以以上上的的误误差差极极小小，，可忽略经过修正后的精确对数幅频特性如图所示经过修正后的精确对数幅频特性如图所示 325惯性环节对数幅频特性误差修正曲线惯性环节对数幅频特性误差修正曲线326 惯性环节的相频特性为惯性环节的相频特性为 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时， 对应的相频特性曲线如下图所示它是一条由对应的相频特性曲线如下图所示它是一条由 0 00 0至至-90-900 0范范围内变化的反正切函数曲线，围内变化的反正切函数曲线，且以且以 和和 的交点为斜对称的交点为斜对称 327328v振荡环节振荡环节1）幅相曲线）幅相曲线329 当当 时，时， ，， 当当 时，时， ，， 当当 时，时， ，， 振振荡荡环环节节的的幅幅频频特特性性和和相相频频特特性性均均与与阻阻尼尼比比ξξ有有关关，，不不同阻尼比的频率特性曲线同阻尼比的频率特性曲线如图所示如图所示。

当阻尼比较小时，会产生当阻尼比较小时，会产生谐振谐振，谐振峰值，谐振峰值 和谐振和谐振频率频率 由幅频特性的极值方程解出，由幅频特性的极值方程解出，谐振时幅值大于谐振时幅值大于1 1330 其中其中 称为振荡称为振荡 环节的无阻尼自然振环节的无阻尼自然振 荡频率，它是振荡环荡频率，它是振荡环 节频率特性曲线与虚节频率特性曲线与虚 轴的轴的交点处交点处的频率 将将 代入代入 得得 到谐振峰值到谐振峰值 为为 将将 代入代入 得到谐振相移得到谐振相移φφr r为为图 振荡环节的频率响应 其中其中 称为振荡称为振荡 环节的无阻尼自然振环节的无阻尼自然振 荡频率，它是振荡环荡频率，它是振荡环 节频率特性曲线与虚节频率特性曲线与虚 轴的轴的交点处交点处的频率。

的频率 将将 代入代入 得得 到到谐振峰值谐振峰值 为为 将将 代入代入 得到得到谐振相移谐振相移φφr r为为331 振振荡荡环环节节的的幅幅值值特特性性曲曲线线如如图图所所示示在在 的的范范围围内内，，随随着着ωω的的增增加加，， 缓缓慢慢增增大大；；当当 时时，， 达达到到最最大大值值 ；当；当 时，输出幅值衰减很快时，输出幅值衰减很快 当阻尼比当阻尼比 时，此时，此 时振荡环节可等效成两个时振荡环节可等效成两个 不同时间常数的惯性环节不同时间常数的惯性环节 的串联，的串联， 即即 图 振荡环节的频率响应T T1 1，，T T2 2为一大一小两个不同的时间为一大一小两个不同的时间常数，常数，小时间常数小时间常数对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的对应的负实极点离虚轴较远，对瞬态响应的影响影响较小较小。

振荡环节为相位滞后环节，最大的滞后相角为振荡环节为相位滞后环节，最大的滞后相角为180180度332平方项平方项4次方项次方项转折频率转折频率2）对数频率特性）对数频率特性333当当 时，时， 当当 时，时， 渐近线的第一段折线与零分贝线（渐近线的第一段折线与零分贝线（ωω轴）重合，轴）重合， 对应的频率范对应的频率范围是围是0 0至至 ；第二段折线的起点在；第二段折线的起点在 处，是一条斜率为处，是一条斜率为- -4040（（dB/decdB/dec）） 的直线，对应的频率范围是的直线，对应的频率范围是 至至∞∞两段折线构两段折线构成振荡环节对数幅频特性的成振荡环节对数幅频特性的渐近线渐近线，它们的转折频率为，它们的转折频率为 对数幅频特性曲线的渐近线如图所示数幅频特性曲线的渐近线如图所示。

       高频渐近线高频渐近线低频渐近线低频渐近线334 渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下：渐近线与精确对数幅频特性曲线的误差分析如下： 它是阻尼比它是阻尼比ξξ的函数；当的函数；当ξ=1ξ=1时为时为-6-6（（dBdB），当），当ξ=0.5ξ=0.5时为时为0(dB)0(dB)，当，当ξ=0.25ξ=0.25时为时为+6(dB)+6(dB)；误差曲线如图；误差曲线如图4-184-18所示       高频渐近线高频渐近线低频渐近线低频渐近线 图图4-17 4-17 振荡环节渐进线对数幅频特性振荡环节渐进线对数幅频特性 图图4-18 4-18 振荡环节对数幅频特性误差修正曲线振荡环节对数幅频特性误差修正曲线335由图知，振荡环节的由图知，振荡环节的误差可正可负误差可正可负，它们是阻尼比，它们是阻尼比ξξ的函数，的函数，且以且以 的转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小。

的转折频率为对称，距离转折频率愈远误差愈小通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计经过通常大于（或小于）十倍转折频率时，误差可忽略不计经过修正后的对数幅频特性曲线如图所示修正后的对数幅频特性曲线如图所示 由图可看出，振由图可看出，振荡环节的对数幅频特性在荡环节的对数幅频特性在转折频率转折频率 附近产生谐振附近产生谐振峰，这是该环节固有振荡峰，这是该环节固有振荡性能在频率特性上的反映性能在频率特性上的反映前面已经分析过，谐振频前面已经分析过，谐振频率率ωωr r和谐振峰和谐振峰M Mr r分别为分别为 图图 振荡环节对数幅频率特性图振荡环节对数幅频率特性图336 其其中中 称称为为振振荡荡环环节节的的无无阻阻尼尼（（ξ=0ξ=0））自自然然振振荡荡频频率率，，它它也也是是渐渐近近线线的的转转折折频频率率。

由由式式可可知知，，当当阻阻尼尼比比ξξ愈愈小小谐谐振振频频率率ωωr r愈愈接接近近无无阻阻尼尼自自然然振振荡荡频频率率ωωn n，，当当ξ=0ξ=0时，时，ωωr r=ω=ωn n 振荡环节的相频特性是振荡环节的相频特性是 337 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，时， 除除上上面面三三种种特特殊殊情情况况外外，，振振荡荡环环节节相相频频特特性性还还是是阻阻尼尼比比ξξ的的函函数数，，随随阻阻尼尼比比ξξ变变化化，，相相频频特特性性在在转转折折频频率率 附附近近的的变变化化速速率率也也发发生生变变化化，，阻阻尼尼比比ξξ越越小小，，变变化化速速率率越越大大，，反反之之愈愈小小。

但但这这种种变变化化不不影影响响整整个个相相频频特特性性的的大大致致形形状状不不同同阻阻尼尼比比ξξ的的相相频频特性如图特性如图 所示 图图 振荡环节对数相频特性图振荡环节对数相频特性图338相频特性也是关相频特性也是关于于        的函数，的函数，关于－关于－90度斜对度斜对称精确值和近似值精确值和近似值之间存在的误差之间存在的误差          和和    相关；相关；并且并且     越小，误越小，误差越大339v一阶微分环节一阶微分环节幅频特性幅频特性 相频特性相频特性11 1）） 幅相曲线幅相曲线Ø 两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称340 频率特性频率特性如图如图所示它是一所示它是一条过点（条过点（1 1，，j0j0）与实轴垂直相）与实轴垂直相交且位于实轴上方的直线纯交且位于实轴上方的直线纯微分环节的频率特性与正虚轴重合微分环节的频率特性与正虚轴重合。

1图图 一阶微分环节的频率响应一阶微分环节的频率响应341其对数幅频特性是其对数幅频特性是 当当 时，时， 当当 时，时， 一一阶阶微微分分环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性如如图图所所示示，，渐渐近近线线的的转转折折频频率率 为为 ，， 转转 折折 频频 率率 处处 渐渐 近近 特特 性性 与与 精精 确确 特特 性性 的的 误误 差差 为为 ，其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似。

其误差均为正分贝数，误差范围与惯性环节类似相频特性是相频特性是 当当 时时，， ；； 2 2）对数频率特性）对数频率特性342当当 时，时， ；；当当 时，时， 一阶微分环节的相频特一阶微分环节的相频特性如图所示，相性如图所示，相角变化范是角变化范是 0 00 0 至至 90900 0，，转折频率转折频率 处的相角处的相角为为45450 0比较 可知，一可知，一阶微分环节与惯性环节阶微分环节与惯性环节的对数幅频特性和相频的对数幅频特性和相频特性是以特性是以横轴（横轴（ωω轴）轴）为对称的为对称的 一阶微分环节的一阶微分环节的BodeBode图图343344v二阶微分环节二阶微分环节1 1）） 幅相曲线幅相曲线345由上可见，二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性互为镜像。

由上可见，二阶微分环节和振荡环节的对数频率特性互为镜像2 2）对数频率特性）对数频率特性346振荡环节的振荡环节的bodebode图图347v延时环节延时环节幅相曲线和对数频率特性曲线分别是幅相曲线和对数频率特性曲线分别是348 其对数幅频特性和相频特性分别为其对数幅频特性和相频特性分别为延时环节伯德图如图所示延时环节伯德图如图所示其对数幅频特性与其对数幅频特性与ωω无关，无关，是一条与是一条与ωω轴重合的零分贝轴重合的零分贝线滞后相角分别与滞后时线滞后相角分别与滞后时间常数间常数ττ和角频率和角频率ωω成正比 图图 延时环节的延时环节的BodeBode图图349 不稳定环节的传递函数为不稳定环节的传递函数为 不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是不稳定环节有一个正实极点，对应的频率特性是v不稳定环节不稳定环节350 幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为 当当 时，时， ，， 当当 时，时， ，， 当当 时，时， ，， 不稳定环节的频率特性不稳定环节的频率特性 如右图。

比较图可知，如右图比较图可知， 它与它与惯性环节惯性环节的频率特性的频率特性 相比，是以平面的虚轴为相比，是以平面的虚轴为 对称的0ImRe图 不稳定惯性环节的频率特性351•不稳定单元不稳定单元以上模相等，都是以上模相等，都是且与惯性环节相同，相频特性则不同，分别如下所示且与惯性环节相同，相频特性则不同，分别如下所示352幅相曲线都是半圆幅相曲线都是半圆, ,分别为分别为思考题：画出它们的对数频率特性图思考题：画出它们的对数频率特性图不稳定的振荡环节推导类似不稳定环节的对数幅频特性不稳定的振荡环节推导类似不稳定环节的对数幅频特性图和稳定环节相同，相频特性变化范围不同图和稳定环节相同，相频特性变化范围不同3534.3 4.3 绘制频率特性图绘制频率特性图•绘制幅相曲线绘制幅相曲线由典型环节的幅相曲线得到一般系统的幅相曲线由典型环节的幅相曲线得到一般系统的幅相曲线 一般用于分析稳定性一般用于分析稳定性由由  从从 ，首先计算起点和终点的情况，其次，首先计算起点和终点的情况，其次分析分析 变化的趋势，绘出相应的幅相曲线变化的趋势，绘出相应的幅相曲线。

354解：开环频率特性为解：开环频率特性为例例4-14-1. . 绘制如下开环传递函数的幅相曲线绘制如下开环传递函数的幅相曲线幅频特性和相频特性分别为幅频特性和相频特性分别为355曲线与虚轴相交时，相角为曲线与虚轴相交时，相角为9090度度356Ø 几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加若系统增加一个积分环节（若系统增加一个积分环节（1 1型系统）型系统）则则357幅相曲线如图所示幅相曲线如图所示为求曲线范围和其与实轴的交为求曲线范围和其与实轴的交点将频率特性写成实部和虚部点将频率特性写成实部和虚部的形式的形式: :因此在起点，因此在起点，  =0=0，可得到，可得到求曲线和实轴的交点（对系统的稳定性很重要）求曲线和实轴的交点（对系统的稳定性很重要）358若系统再增加一个积分环节（若系统再增加一个积分环节（2 2型系统）型系统）幅相曲线如图所示幅相曲线如图所示359Ø 若系统含有积分环节，曲线起点为无穷远处，相角为若系统含有积分环节，曲线起点为无穷远处，相角为 v v××(-90(-900 0) )，其中，其中v v积分环节个数。

积分环节个数2 2）终点）终点Ø 开环传函分母的阶数开环传函分母的阶数n n大于分子的阶数大于分子的阶数m m时，即时，即n>mn>m时，时，终点在原点，进入角度为终点在原点，进入角度为(n-m) ×(-90(n-m) ×(-900 0) )Ø n=m n=m 时，终点在正实轴上某点，坐标和各参数有关时，终点在正实轴上某点，坐标和各参数有关综上所述，对于开环传递函数综上所述，对于开环传递函数只含有左半平面的零极点只含有左半平面的零极点的系统的系统，其幅相曲线的起点和终点满足以下规律：，其幅相曲线的起点和终点满足以下规律：1 1）起点）起点Ø 若系统不含有积分环节，起点为若系统不含有积分环节，起点为 （（K,0K,0）360作业P108 4-2(1,4), P110 4-10(4)361•绘制对数频率特性图绘制对数频率特性图–叠加法：将各典型环节的图叠加叠加法：将各典型环节的图叠加因此一般系统的对数频率特性图可由典型环节叠加因此一般系统的对数频率特性图可由典型环节叠加由前述，可得由前述，可得362比例环节积分环节惯性环节震荡环节典型环节的对数幅频特性图典型环节的对数幅频特性图363一阶微分环节二阶微分环节延时环节典型环节的对数幅频特性图典型环节的对数幅频特性图s/rad)( L  0.1110100dB364–分段法：分段法： 第一步：确定转折频率（惯性、振荡、比例微分环节第一步：确定转折频率（惯性、振荡、比例微分环节) )，标，标注在注在ωω轴上；轴上； 第二步：第二步： 确定低频段确定低频段BodeBode图位置，包括高度和斜率。

图位置，包括高度和斜率 第三步：第三步： 依次画转折频率以后部分，增减斜率依次画转折频率以后部分，增减斜率在交接频率处，曲线斜率发生改变在交接频率处，曲线斜率发生改变, ,改变多少取决于典型环节种类改变多少取决于典型环节种类. .在在惯性环节后惯性环节后, ,斜率减少斜率减少20dB/dec;20dB/dec;而在振荡环节后而在振荡环节后, ,斜率减少斜率减少40dB/dec40dB/dec斜率由积分环节决定斜率由积分环节决定v v＝＝ 0 0 dB/dec 0 0 dB/dec v = 1 -20 dB/dec v = 1 -20 dB/dec v = 2 -40 dB/decv = 2 -40 dB/dec第四步：第四步： 在转折频率附近进行修正，得到较为精确的曲线在转折频率附近进行修正，得到较为精确的曲线最左端最左端直线斜率为直线斜率为: -20ν: -20ν·dB/dec,dB/dec,这里这里νν是积分环节数。

是积分环节数365例例4-24-2：绘制对数频率特性图：绘制对数频率特性图解：采用解：采用分段法系统包括以下系统包括以下5 5个环节个环节(1)(1)比例比例(2)(2)积分积分(3)(3)比例微分比例微分366(5)(5)振荡振荡(4)(4)惯性惯性ω1＝＝1.414         －－40 ω2＝＝2                －－20 ω3＝＝3                ＋＋20 总结转折频率和相应斜率，得到总结转折频率和相应斜率，得到367)(L   0.1110dB2040600.01(1)(2)(3)(5)-20+20-20-40-60-60 -80-20-40-601.41423368对数相频特性：对数相频特性：1 1）将积分、惯性、比例微分、振荡环节分别画出相频）将积分、惯性、比例微分、振荡环节分别画出相频特性曲线特性曲线2 2）确定几个点（查表等），光滑连接）确定几个点（查表等），光滑连接369n 什么是剪切频率？什么是剪切频率？ 开开环环幅幅频频特特性性曲曲线线（（折折线线））过过0 0分分贝贝的的频频率率也也叫叫剪剪 切频率或穿越频率。

记为切频率或穿越频率记为 c cs/rad)(L  0.10.11 11010dBdB2020404060600.010.01-20-20-60-60-60-60-80-80-20-20-40-40-60-6017.51.41423 c c370n 剪切频率求法剪切频率求法 1) 1) 作图法作图法——作精确的幅频特性图来求得作精确的幅频特性图来求得 2 2）计算法通过比例关系求得）计算法通过比例关系求得 11.41423-20-60-80wc20lgk可以断定可以断定wc在在2和和3之间之间371例例4-34-3 绘制幅相曲线和对数频率特性图绘制幅相曲线和对数频率特性图1)1)讨论幅相曲线大致形状：讨论幅相曲线大致形状： 解：系统的频率特性为解：系统的频率特性为3722 2）对数频率特性图）对数频率特性图 相频特性：相频特性：见下页图见下页图计算剪切频率计算剪切频率0.11210-40-20wc373374–一般说来，如果系统稳定且极点数多于零点数一般说来，如果系统稳定且极点数多于零点数 那么那么, ,如果幅频特性的斜率为如果幅频特性的斜率为 如果幅频特性的斜率为如果幅频特性的斜率为–当系统不含有不稳定环节时（即系统只有左半平面的零当系统不含有不稳定环节时（即系统只有左半平面的零极点），系统的相频特性随幅频特性的增加（或减少）极点），系统的相频特性随幅频特性的增加（或减少）而增加（或减少而增加（或减少). ). 所以只需要画它的对数幅频特性图即所以只需要画它的对数幅频特性图即可。

可–精确的频率特性图是在近似图基础上，在转折频率附近精确的频率特性图是在近似图基础上，在转折频率附近描点，然后连成光滑的曲线即可描点，然后连成光滑的曲线即可375Ø 最小相角系统和非最小相角系统的区别最小相角系统和非最小相角系统的区别 最小相角最小相角( (相位相位) )系统的零点、极点均在系统的零点、极点均在s s平面的左半闭平面，在平面的左半闭平面，在s s平平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统20-20 ωL(dB)10 L(dB)50-20-40100ω幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同 最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数 如：376Ø 最小相角系统和非最小相角系统的区别最小相角系统和非最小相角系统的区别 最小相角最小相角( (相位相位) )系统的零点、极点均在系统的零点、极点均在s s平面的左半闭平面，在平面的左半闭平面，在s s平平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。

面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统L(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2377作作   业业              P111          4-10 （（3），），                   4-17（（a, c) 可以不画出相频特性曲线可以不画出相频特性曲线           3784.4 4.4 奈氏稳定判据奈氏稳定判据奈奎斯特奈奎斯特(Nyquist(Nyquist，简称奈氏，简称奈氏) )稳定判据稳定判据–根据根据开环频率特性开环频率特性对闭环系统的稳定性进行判断对闭环系统的稳定性进行判断–作图分析作图分析，计算量小，信息量大计算量小，信息量大–不但判稳定，也能给出不但判稳定，也能给出不稳定根的个数不稳定根的个数和和稳定裕量稳定裕量19321932年，美国年，美国BellBell实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法实验室的奈奎斯特提出了这样一种方法这种方法是这种方法是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的稳以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统的稳定性定性，称为，称为奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 3794.4.1 4.4.1 4.4.1 4.4.1 数学基础数学基础数学基础数学基础–复变函数复变函数映射映射概念概念 例：例： 若在若在S S平面上，任取一封闭轨迹平面上，任取一封闭轨迹 ，且使其不通过，且使其不通过F(s)F(s)的的奇点，则在奇点，则在F F平面上就有一封闭轨迹平面上就有一封闭轨迹 与之对应。

与之对应380•柯西幅角原理柯西幅角原理对于复变函数对于复变函数 在在s s平面上封闭曲线平面上封闭曲线C C 域内共有域内共有P= nP= n个极点和个极点和Z= mZ= m个零点，个零点，且且 封闭曲线封闭曲线C C不穿过不穿过F(s)F(s)的任一个极点和零点的任一个极点和零点当当s s顺时针沿顺时针沿 封闭曲线封闭曲线C C变化一周时，函数变化一周时，函数F(s)F(s)在在F F平面上平面上的轨迹将按逆时针包围的轨迹将按逆时针包围原点原点 N = P N = P – Z Z 次 (零点个数考虑重根数，零点个数考虑重根数，N > 0 N > 0 逆时针，逆时针，N < 0 N < 0 顺时针) )381即幅角原理的表达式为：即幅角原理的表达式为： N=P-ZN=P-Z其中其中N N为为 曲线按曲线按逆时针逆时针绕原点的圈数，绕原点的圈数，P P为为 内包内包含的含的F(s)F(s)的极点数，的极点数，Z Z为为 内包含的内包含的F(s)F(s)的零点数。

的零点数N=1-3= -2382 N＝0-1= -1 N= 1-0=13834.4.2 奈氏稳定判据奈氏稳定判据•利用柯西复角原理判断稳定的思路利用柯西复角原理判断稳定的思路：：–使封闭曲线与频率特性相联系使封闭曲线与频率特性相联系–使使F(s)F(s)与系统与系统闭环传递函数闭环传递函数相联系相联系–封闭曲线域为右半平面（或左半平面）封闭曲线域为右半平面（或左半平面）384D D形围线和形围线和Nyquist图图：：沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D D形围线半径无限大半径无限大385开环传递函数开环传递函数D DC C(s) (s) 闭环特征多项式；闭环特征多项式；D D0 0(s) (s) 开环特征多项式开环特征多项式闭环传递函数闭环传递函数闭环传递函数分母闭环传递函数分母( (辅助函数辅助函数) ) G(s) H(s)+-386DC(s)  闭环特征多项式闭环特征多项式            D0(s)  开环特征多项式开环特征多项式闭环传递函数分母闭环传递函数分母(辅助函数辅助函数)F F( (s s) )三个特点：三个特点： 1. 1. 零、极点分别为闭、开环特征根零、极点分别为闭、开环特征根; ;2. 2. 零、极点个数相等零、极点个数相等 （分子分母阶数相同）（分子分母阶数相同）; ; 对于稳定的最小相角系统，对于稳定的最小相角系统， 从从0 时时F(s)F(s)应不包围原点。

应不包围原点3. 3. 与与G(s)H(s) 相差为相差为1 1如果辅助函数如果辅助函数 F(s)F(s)的的零点零点都具有负的实部，即都位于都具有负的实部，即都位于S S平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定387•已知已知F(s)=1+G0 (s)，，s平面上的平面上的D D形围线在形围线在F F平面上映射的有平面上映射的有向闭曲线称为在向闭曲线称为在F F平面的奈奎斯特图平面的奈奎斯特图 F F( (s s) )平面上的原点即平面上的原点即G0(s)平面上的平面上的( (－－1 1，，j0)j0)点点(-(-1,j0)1,j0)F(s)=1+G0 (s)388n 根据柯西复角原理，对于复变函数根据柯西复角原理，对于复变函数F(s)=1+G0 (s)，当，当s s平面上平面上顺时针沿顺时针沿D D形围线连续变化一周时，则在形围线连续变化一周时，则在F F平面上平面上 和和G G0 0( (s s) )平面平面 上的奈奎斯特图逆时针包围上的奈奎斯特图逆时针包围原点原点和和(-1,j0) (-1,j0) 点点N N 次。

次N = N = P P ― Z ― ZD D0 0( (s s)=0)=0的根，的根， G G0 0( (s s) )在在右半平面的极点，右半平面的极点，开环极点开环极点D DC C( (s s)=0)=0的根，系统特征的根，系统特征方程的极点，闭环极点方程的极点，闭环极点注意：注意： 顺时针转顺时针转 N<0; N<0; 逆时针转逆时针转 N>0N>0P:P:在右半平面开环特征根数在右半平面开环特征根数; ;Z:Z:在右半平面闭环特征根数在右半平面闭环特征根数; ;N:N: 在在[G0][G0]平面，平面， 从从- - ，，幅相曲线绕（幅相曲线绕（-1-1，，j0) j0) 点逆时点逆时针转过的圈数针转过的圈数389 应应用用奈奈氏氏稳稳定定判判据据判判别别系系统统稳稳定定性性，，需需要要绘绘制制或或者者由由实实验验得得到到奈奈氏氏曲曲线线，，并并确确定定奈奈氏氏曲曲线线绕绕 G0G0平平面面的的（（-1-1，，j0j0））点点的的圈圈数数N N，，在在右右半半S S平平面面的的开开环极点数环极点数P P以及以及在右半在右半S S平面的闭环极点数平面的闭环极点数Z=P-NZ=P-N。

1 1）确定）确定P P：开环传递函数在右半：开环传递函数在右半S S平面平面 的极点数的极点数P P是容易看出的对于最小相位系统，是容易看出的对于最小相位系统，P P =0=0390 2 2））确确定定N N 的的方方法法: :为为了了确确定定N,N,将将奈奈氏氏曲曲线线从从 平平面面的的下下半半部部穿穿过过负负实实轴轴的的 段段, ,到到 平平面面的的上上半半部部1 1次次, ,定义为定义为1 1次次负穿越负穿越; ; 反之反之, ,奈氏曲线从奈氏曲线从 的上半部穿过负实轴的的上半部穿过负实轴的 段段, ,到平面到平面 的下半部的下半部1 1次次, ,定义为定义为1 1次次 正穿越正穿越, , 如图如图4.74.7所示 [G0]0图4.7 正，负穿越正，负穿越-1负穿越正穿越391 若若奈奈氏氏曲曲线线正正穿穿越越 次次，，负负穿穿越越 次次，，则则奈奈氏氏曲曲线绕线绕 平面的（平面的（-1-1，，j0j0）点的圈数为）点的圈数为 ：： 3 3））奈奈氏氏曲曲线线的的画画法法：：因因为为奈奈氏氏曲曲线线的的精精确确形形状状，，对对于于N N 值值的的确确定定并并不不重重要要，，所所以以，，只只要要根根据据一一些些特特征征画画出出奈奈氏氏曲曲线线的的大大致致形形状状即即可可。

事事实实上上，，要要在在的的范范围围内内精精确确画画出出奈奈氏氏曲曲线线也也是是不不可可能能的的，，因因为为通通常常有有无无穷穷大大，，显然不可能画无穷大的坐标图显然不可能画无穷大的坐标图 392• 开环频率特性开环频率特性G G0 0( (jω jω ) )和奈奎斯特图和奈奎斯特图 开环传递函数开环传递函数G G0( (s) )，令，令s = s = jω jω ，，即开环频率特性即开环频率特性G G0( (jω jω ) )当当ω ω 由由0 ∞ 0 ∞ ( (负频部分无物理意义负频部分无物理意义) )幅频特性幅频特性相频特性相频特性D D形围线（分为形围线（分为3 3段）在段）在G G0 0( (s s) )平平面上的映射就是系统在面上的映射就是系统在G G0 0( (s s) )平平面上的奈奎斯特图，也就是面上的奈奎斯特图，也就是ωω从从-∞-∞到到+ ∞+ ∞时系统的开环幅时系统的开环幅相频率特性曲线相频率特性曲线 j js sS S 平面平面D D形围线形围线- -j jj j半径无限大半径无限大1 12 23 3393•注意域的映射关系注意域的映射关系N= -2N= 0394ØNyquistNyquist稳定判据稳定判据( (在在G G0 0 ( (s s) )平面上平面上) :) :必须使得必须使得Z=0(ZZ=0(Z为不稳定闭环特征根的个数为不稳定闭环特征根的个数) )。

1. 1. 若系统开环稳定若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是，则闭环系统稳定的条件是NyquistNyquist图不包图不包围围(-1,j0)(-1,j0)点 （（N = P N = P －－ Z =Z = 0 0－－0 0 ＝＝ 0)0) 2. 2. 闭环系统稳定的充要条件是闭环系统稳定的充要条件是 N = PN = P ( ( N = P N = P －－ Z = P Z = P 所以所以 Z Z = = 0 ) 0 ) 3. 3. 如果如果NyquistNyquist图经过图经过(-1,j0)(-1,j0)，则系统临界稳定则系统临界稳定 4. 4. 如果如果NyquistNyquist图的图的 的变化范围为的变化范围为0 0到＋到＋∞∞，， 那么那么Z Z＝＝P P－－2N2N推论：若推论：若NyquistNyquist图顺时针包围图顺时针包围(-1,j0)(-1,j0)点，则系统一定不稳定点，则系统一定不稳定 ( (N = P N = P －－ Z Z , , 若若N

故系统稳定 单调递减单调递减 单调递减单调递减由由正频部分正频部分（（Nyquist图图) )负频部分负频部分( (与正频对称与正频对称) )(2)(2)趋势：趋势：397单调变化单调变化与实轴有交点，为－与实轴有交点，为－7.97.9( (分母有理化，按虚实部讨论分母有理化，按虚实部讨论) )例例4-74-7画画Nyquist图：图：398 Nyquist Nyquist判据：判据： N N＝＝-2-2，，P = 0, N = PP = 0, N = P－－Z Z，， 故故 Z = 2Z = 2 因此，因此，k =100 时，有时，有两个极点在右半平面，系两个极点在右半平面，系统不稳定统不稳定7.9(-1,j0)本系统是否稳定主要取决本系统是否稳定主要取决于奈氏曲线和实轴的交点于奈氏曲线和实轴的交点是否小于－是否小于－1 1不稳定不稳定可能稳定可能稳定所以所以经计算可得，交点与经计算可得，交点与k k相相关，关，k k越大，交点的坐标越大，交点的坐标离虚轴越远离虚轴越远399积分环节个数积分环节个数v= 1从从从单调变化单调变化问题：问题：N＝＝?   例例4-8Ø积分环节下的奈氏稳定判据积分环节下的奈氏稳定判据400+=0 -=0 e eCBAq q放大由于由于 不能通过不能通过F(s)F(s)的奇点，所以改造的奇点，所以改造D D形围线，增加形围线，增加第第4 4部分部分，即，即以原点为圆心，无穷小为半径的半园绕过虚轴以原点为圆心，无穷小为半径的半园绕过虚轴上的极点（上的极点（0 0，，0 0）。

这样就把这样就把s=0=0的极点归到左半平面的极点归到左半平面4401在原点附近令在原点附近令  当当从从时时ABCA’B’C’402N ＝＝ 0，，P = 0所以所以 Z = 0系统稳定系统稳定则上述的无穷小圆弧则上述的无穷小圆弧4映射为从映射为从0－－到到0＋＋顺时针旋转的无穷大圆弧，顺时针旋转的无穷大圆弧，绕行的角度为绕行的角度为π 依次类推，当依次类推，当v>1时，时，4部分将映部分将映射为绕行角度为射为绕行角度为       的无穷大圆的无穷大圆弧弧403  s s 的的第第（（4 4））部部分分无无穷穷小小半半圆圆弧弧在在 GHGH平平面面上上的的映映射射为为顺顺时时针针旋旋转转的的无无穷穷大大圆圆弧弧，，旋旋转转的的弧弧度度为为 弧弧度度图图4-94-9（（a a））、、（（b b））分分别别表表示示当当 v=1v=1和和v=2v=2时时系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线，，其其中中虚虚线线部部分分是是 s s 的的无无穷穷小小半半圆圆弧弧在在GHGH平面上的映射平面上的映射虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹 时的奈氏曲线时的奈氏曲线 s s404小结：积分环节数小结：积分环节数  v = 1    在无穷远处顺时针绕行在无穷远处顺时针绕行                                       v = 2    在无穷远处顺时针绕行在无穷远处顺时针绕行                                   v = n    在无穷远处顺时针绕行在无穷远处顺时针绕行 Nyquist判据：判据： 已知已知    开环极点数开环极点数   P 积分环节数积分环节数 r Nyquist图绕图绕(-1,j0)点点  N求求         闭环极点数闭环极点数 Z意味必须已知系意味必须已知系统开环传递函数统开环传递函数405 应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况三种情况：： (i) (i) 当当系系统统开开环环传传递递函函数数 的的全全部部极极点点都都位位于于S S平平面面左左半半部部时时（（P=0P=0）），，如如果果系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线 不不包包围围GHGH平平面面的的 点点（（N=0N=0）），，则则闭闭环环系系统统是稳定的（是稳定的（Z=P-N=0Z=P-N=0），否则是不稳定的；），否则是不稳定的； （（ii)ii)当当系系统统开开环环传传递递函函数数 有有p p个个位位于于S S平平面面右右半半部部的的极极点点时时，，如如果果系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线 逆逆时时针针包包围围 点点的的周周数数等等于于位位于于S S平平面面右右半半部部的的开开环环极极点点数数（（N=PN=P）），，则则闭闭环环系系统统是是稳稳定定的的（（Z=P-N=0Z=P-N=0）），，否否则则是是不不稳稳定的；定的； (iii) (iii) 如如果果系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线 顺顺时时针针包包围围 点点（（N<0N<0）），，则则闭环系统不稳定（闭环系统不稳定（Z=P-N>0Z=P-N>0）。

（（iviv））当当 曲曲线线恰恰好好通通过过GHGH平平面面的的 点点（（注注意意不不是是包包围围）），，此此时如果系统无位于时如果系统无位于S S平面右半部的开环极点，则系统处于平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定临界稳定状态 综综上上，，奈奈氏氏曲曲 线线 是是否否包包围围GHGH平平面面的的 点点是是判判别别系系统统是否稳定的重要依据是否稳定的重要依据406作作   业业              P111  4-4,          4-7((b),(d)),           4074.5. 相对稳定性相对稳定性•相对稳定性相对稳定性——稳定裕度稳定裕度•求稳定裕度求稳定裕度: 解析法解析法, 奈氏曲线奈氏曲线•增加稳定裕度的方法增加稳定裕度的方法4.5.1 相对稳定性相对稳定性——稳定裕度稳定裕度     Routh判判据据和和Nyquist判判据据给给出出系系统统绝绝对对稳稳定定的的信信息息，，但但稳稳定定程程度度如如何何，，离离不不稳稳定定边边缘缘还还有有多多远远？？这这是是工工程程上上最最关关心心的的。

由此引出稳定裕度由此引出稳定裕度  相对稳定性相对稳定性——稳定裕稳定裕度度幅值裕幅值裕度度相角裕相角裕度度408ImImReRe-1-1c  g )j(Gg 0••ImImReRec g -1-1 )j(Gg 0••幅值穿越频率幅值穿越频率u 对于奈氏曲线，在对于奈氏曲线，在GH平面上，可以用奈氏曲线与平面上，可以用奈氏曲线与(-1,j0)的的靠近程度来表征系统的相对稳定性离靠近程度来表征系统的相对稳定性离(-1,j0)越近，稳定程度越近，稳定程度越低相位穿越频率相位穿越频率409n其中，其中，ωωg g为为相位穿越频率相位穿越频率其定义的含义：如果系统的开环传递系义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的数增大到原来的KgKg倍，则系统处于倍，则系统处于临界稳定状态临界稳定状态   0 ω    ωg    ωc    j         -1    G(jωc)H(jωc)  G(jωg)H(jωg) 0   Kg(dB)       (o)(dB)  -180             ωg  ωc    ω　　　　n 其中，其中， ωωc c为为幅值穿越频率幅值穿越频率。

其定义的含义：如果系统对频率为截其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大止频率的信号的相角滞后再增大 度，度，则系统处于临界稳定状态则系统处于临界稳定状态 n 系统稳定，则系统稳定，则 Kg>1、、 >0 410相角裕量相角裕量幅值裕量幅值裕量为负值为负值对于对于最小相位系统最小相位系统（开环传函不含右半（开环传函不含右半s平面零极点的系统）：平面零极点的系统）：要综合两者考虑稳定性和相对稳定性，不能只考虑一个指标要综合两者考虑稳定性和相对稳定性，不能只考虑一个指标411Ø求稳定裕度求稳定裕度1)解析法解析法由前述相角裕度和幅值裕度的定义式来求由前述相角裕度和幅值裕度的定义式来求例例4-10解：系统的开环频率特性为解：系统的开环频率特性为所以所以412由前述定义由前述定义4132）幅相曲线法（极坐标图法））幅相曲线法（极坐标图法）画极坐标图，画单位圆按照右画极坐标图，画单位圆按照右图得到相角裕度图得到相角裕度    和和                ，，然后根据然后根据                                   得得到幅值裕度。

到幅值裕度ImImReRec g -1-1 )j(Gg 0•例例4-10(续）续） 用幅相曲线法作图用幅相曲线法作图如右所示，得到如右所示，得到注意：要精确画图注意：要精确画图414例例4-11幅相曲线如右幅相曲线如右由奈氏判据判断稳定性由奈氏判据判断稳定性P=1  N=1所以所以Z=P-N=0   系统稳定系统稳定由图知由图知所以对于开环传递函数含有不稳定环节的系统，不能由所以对于开环传递函数含有不稳定环节的系统，不能由稳定裕度来判断系统的稳定性稳定裕度来判断系统的稳定性系统不稳定系统不稳定ImImReRec g -1-1 •|G(jwg)|0－－0++∞－－∞4154.5 4.5 4.5 4.5 频域响应分析频域响应分析频域响应分析频域响应分析在频域中对系统进行分析时，除了稳定性分析外，还要对系在频域中对系统进行分析时，除了稳定性分析外，还要对系统的动态性能进行分析统的动态性能进行分析频域性能指标有：幅值穿越频率，相位穿越频率，相角裕度，频域性能指标有：幅值穿越频率，相位穿越频率，相角裕度，幅值裕度，谐振频率，谐振峰值，系统带宽和带宽频率等幅值裕度，谐振频率，谐振峰值，系统带宽和带宽频率等。

超超调调量量C(t)C(t)上升时间上升时间上升时间上升时间trtr峰值时间峰值时间峰值时间峰值时间tptp调节时间调节时间调节时间调节时间ts ts误差带误差带误差带误差带稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差o o1.01.0t t控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标416闭环闭环频率性能指标频率性能指标零频值零频值A(0)，，Amax谐振频率谐振频率wr和谐振峰值和谐振峰值Mr带宽频率带宽频率wb，，    A(wb) ＝＝0.707A(0)wbwrA(0)Amax0.707A(0)w频域指标和时域指标的关系频域指标和时域指标的关系谐振峰值和系统超调量的关系，对于二阶系统谐振峰值和系统超调量的关系，对于二阶系统417谐振频率及系统带宽与时域指标的关系谐振频率及系统带宽与时域指标的关系可知可知Mr在在1.2~1.5时，时， p＝＝20%~30%，系统将获得满意的，系统将获得满意的过渡过程过渡过程对于给定的阻尼比，二阶系统的谐振频率对于给定的阻尼比，二阶系统的谐振频率wr和和tp、、ts成反比418同理，二阶系统带宽频率可由下式求出同理，二阶系统带宽频率可由下式求出同样，对于给定的阻尼比，二阶系统的带宽频率同样，对于给定的阻尼比，二阶系统的带宽频率wb和和tp、、ts成反比。

一般来说，频带宽的系统有利于提高响应速度，成反比一般来说，频带宽的系统有利于提高响应速度，但同时又容易引入高频噪声，应均衡考虑但同时又容易引入高频噪声，应均衡考虑419高低频段特性与动态性能的关系高低频段特性与动态性能的关系      低频段主要影响静态特性，如稳态误差低频段主要影响静态特性，如稳态误差      高频段要衰减得快些，抑制噪声高频段要衰减得快些，抑制噪声相角裕度和阻尼比的关系相角裕度和阻尼比的关系由开环频率特性由开环频率特性和剪切频率定义和剪切频率定义得到得到在在                时，它们之间近似为时，它们之间近似为420作作   业业              P111           4-14421小结：小结：（（1）频率特性是线性系统（或部件）在正弦函数输入下，）频率特性是线性系统（或部件）在正弦函数输入下，稳态输出与输入之比对频率的关系，概括起来即为同频、变幅、稳态输出与输入之比对频率的关系，概括起来即为同频、变幅、相移 （（2）熟记典型环节频率特性的规律及其特征点熟记典型环节频率特性的规律及其特征点4）熟练掌握由系统开环传递函数绘制开环极坐标图和伯）熟练掌握由系统开环传递函数绘制开环极坐标图和伯德图的方法。

德图的方法6）正确理解奈奎斯特判据的原理证明和判别条件正确理解奈奎斯特判据的原理证明和判别条件7）熟练掌握运用奈奎斯特判据判别系统稳定性的方法，）熟练掌握运用奈奎斯特判据判别系统稳定性的方法，并能正确计算稳定裕度并能正确计算稳定裕度8）正确理解谐振峰值、频带宽度、截止频率、相角裕度、）正确理解谐振峰值、频带宽度、截止频率、相角裕度、幅值裕度等概念，明确其和系统阶跃响应的关系幅值裕度等概念，明确其和系统阶跃响应的关系 422第五章第五章 线性系统的校正线性系统的校正5.1 5.1 基本概念基本概念5.2 5.2 基本基本PIDPID控制算法控制算法5.35.3 PIDPID参数对控制性能的影响参数对控制性能的影响5.4 PID5.4 PID参数确定参数确定423设计一个自动控制系统一般经过以下三步设计一个自动控制系统一般经过以下三步: :v根据任务要求，根据任务要求，选定控制对象选定控制对象；；v根据性能指标的要求，确定系统的控制规律，并根据性能指标的要求，确定系统的控制规律，并设计出满足这个设计出满足这个控制规律的控制器控制规律的控制器，初步选定构成控制器的元器件；，初步选定构成控制器的元器件；v将选定的控制对象和控制器组成控制系统，如果构成的系统不能将选定的控制对象和控制器组成控制系统，如果构成的系统不能满足或不能全部满足设计要求的性能指标，还必须满足或不能全部满足设计要求的性能指标，还必须增加合适的元增加合适的元件件，按一定的方式连接到原系统中，使重新组合起来的系统全面，按一定的方式连接到原系统中，使重新组合起来的系统全面满足设计要求。

满足设计要求 原系统原系统控制器控制器控制对象控制对象校正系统校正系统原系统原系统校正装置校正装置        能使系统的控制性能满足控制要求而有目的地增添的元件能使系统的控制性能满足控制要求而有目的地增添的元件称为控制系统的称为控制系统的校正元件校正元件或称或称校正装置校正装置.图图5 5－－1 1 系统综合与校正示意图系统综合与校正示意图5.1 基本概念基本概念424•必必须须指指出出，，并并非非所所有有经经过过设设计计的的系系统统都都要要经经过过综综合合与与校校正正这这一一步步骤骤，，对对于于控控制制精精度度和和稳稳定定性性能能都都要要求求较较高高的的系系统统，，往往往往需需要要引引入入校校正正装装置置才才能能使使原原系系统统的的性性能能得得到到充充分分的的改改善善和和补补偿偿反反之之，，若若原原系系统统本本身身结结构构就就简简单单而而且且控控制制规规律律与与性性能能指指标标要要求求又又不不高高，，通通过过调调整整其其控控制制器器的的放放大大系系数数就就能能使系统满足实际要求的性能指标使系统满足实际要求的性能指标l控制系统包括两部分控制系统包括两部分不可变部分：执行元件和测量元件一旦选定，其参数和结不可变部分：执行元件和测量元件一旦选定，其参数和结构就固定了。

构就固定了可变部分：当系统通过调节放大元件的参数仍不能满足系可变部分：当系统通过调节放大元件的参数仍不能满足系统性能指标时，我们要加入附加装置来改善系统性能统性能指标时，我们要加入附加装置来改善系统性能我们称之为校正装置我们称之为校正装置l 校正的实质就是通过系统的零极点来改变系统性能校正的实质就是通过系统的零极点来改变系统性能425系统性能指标系统性能指标 时域指标时域指标常常将时域指标转化为相应的频域指标进行校正装置的常常将时域指标转化为相应的频域指标进行校正装置的设计设计 闭环频域指标闭环频域指标 开环频域指标开环频域指标426系统分析与校正的差别系统分析与校正的差别: :•系系统统分分析析的的任任务务是是根根据据已已知知的的系系统统，，求求出出系系统统的的性性能能指指标标和和分分析析这这些些性性能能指指标标与与系系统统参参数数之之间间的的关关系系，，分分析析的的结结果果具有唯一性具有唯一性•系系统统的的综综合合与与校校正正的的任任务务是是根根据据控控制制系系统统应应具具备备的的性性能能指指标标以以及及原原系系统统在在性性能能指指标标上上的的缺缺陷陷来来确确定定校校正正装装置置( (元元件件) )的的结结构构、、参参数数和和连连接接方方式式。

从从逻逻辑辑上上讲讲，，系系统统的的综综合合与与校校正正是是系系统统分分析析的的逆逆问问题题同同时时，，满满足足系系统统性性能能指指标标的的校校正正装装置置的的结结构构、、参参数数和和连连接接方方式式不不是是唯唯一一的的，，需需对对系系统统各各方方面面性性能能、、成成本本、、体体积积、、重重量量以以及及可可行行性性综综合合考考虑虑，，选选出出最最佳方案佳方案. .427 校正装置的连接方式校正装置的连接方式: :(1)(1)串联校正串联校正(2)(2)反馈校正反馈校正(3)(3)前馈校正前馈校正G Gc c(s): (s): 校正装置传递函数校正装置传递函数G(s): G(s): 原系统前向通道的传递函数原系统前向通道的传递函数H(s): H(s): 原系统反馈通道的传递函数原系统反馈通道的传递函数428串联校正串联校正 串串联联校校正正的的接接入入位位置置应应视视校校正正装装置置本本身身的的物物理理特特性性和和原原系系统统的的结结构构而而定定一一般般情情况况下下，，对对于于体体积积小小、、重重量量轻轻、、容容量量小小的的校校正正装装置置( (电电器器装装置置居居多多) )，，常常加加在在系系统统信信号号容容量量不不大大的的地地方方，，即即比比较较靠靠近近输输入入信信号号的的前前向向通通道道中中。

相相反反，，对对于于体体积积、、重重量量、、容容量量较较大大的的校校正正装装置置( (如如无无源源网网络络、、机机械械、、液液压压、、气气动动装装置置等等) )，，常常串串接接在在容容量量较较大大的的部部位位，，即即比比较较靠靠近近输输出出信信号号的的前前向向通通道中Gc(s)G(s)H(s)R(s)Y(s)-6－－2 串联校正串联校正429反馈校正反馈校正反馈校正是将校正装置反馈校正是将校正装置Gc(s)Gc(s)反向并接在原系统前向通道反向并接在原系统前向通道的一个或几个环节上，构成局部反馈回路的一个或几个环节上，构成局部反馈回路G1(s)G2(s)Gc(s)H(s)R(s)Y(s)        由由于于反反馈馈校校正正装装置置的的输输入入端端信信号号取取自自于于原原系系统统的的输输出出端端或或原原系系统统前前向向通通道道中中某某个个环环节节的的输输出出端端，，信信号号功功率率一一般般都都比比较较大大，，因因此此,在在校校正正装装置置中中不不需需要要设设置置放放大大电电路路，，有有利利于于校校正正装装置置的的简简化化但但由由于于输入信号功率比较大，校正装置的容量和体积相应要大一些。

输入信号功率比较大，校正装置的容量和体积相应要大一些图图6－－4 反馈校正反馈校正430前馈校正：前馈校正：根据参考输入或扰动输入的大小进行，根据参考输入或扰动输入的大小进行，适合开环或闭环，为复合控制适合开环或闭环，为复合控制++--N(s)++--R(s)R(s)Y(s)Y(s)431•串联校正方式：串联校正方式：PIDPID 比例、积分、微分比例、积分、微分 •PIDPID控制在工业上比较常控制在工业上比较常用其工作原理可由用其工作原理可由比例比例(P)(P)、积分、积分(I)(I)、微分、微分(D)(D)三环节并联直观地说明三环节并联直观地说明432•为什么在工业过程控制中大都（将近为什么在工业过程控制中大都（将近90%90%以上）采用以上）采用PIDPID控制器？控制器？PIDPID控控制制器器作作为为工工业业控控制制中中的的主主导导控控制制器器结结构构，，其其获获得得成成功功应应用用的的关关键键在在于于，，大大多多数数过过程程可可由由低低阶阶动动态态环环节节（（一一阶阶或或二二阶阶惯惯性性加加纯纯滞滞后后））近近似似逼逼近近，，而而针针对对此此类类过过程程,PID,PID控控制制器器代代表表了了在在不不知知道道被被控控对对象象数数学学模模型型的的基基础础上上一一个个实实用用而而廉廉价价的的解解。

PIDPID不不需需要依赖于系统的传函要依赖于系统的传函4335.2 5.2 基本基本PIDPID控制算法控制算法•比例比例(P)(P)控制控制•积分积分(I)(I)控制控制•比例积分比例积分(PI)(PI)控制控制•微分微分(D)(D)控制控制•比例微分比例微分(PD)(PD)控制控制•比例积分比例积分微分微分(PID)(PID)控制控制•基本基本PIDPID控制算法小结控制算法小结4345.2.1 5.2.1 比例比例(P)(P)控制控制•比例（比例（P P）作用：）作用：假设在初始稳态（平衡）条件下，有假设在初始稳态（平衡）条件下，有当当 时，在外界扰动影响下，实际各变量为：时，在外界扰动影响下，实际各变量为： Kp 为比例增益为比例增益435 以上结果也可直接从以上结果也可直接从静态比例控制系统结构方框图静态比例控制系统结构方框图获得由上式可以看到，获得由上式可以看到，控制器的比例增益越大，控控制器的比例增益越大，控制稳态误差越小但降低系统的相对稳定性，甚至可制稳态误差越小但降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定能造成闭环系统不稳定考虑设定值阶跃扰动，在考虑设定值阶跃扰动，在 下，有式：下，有式：在稳态条件下，即当在稳态条件下，即当 时，设定值阶跃输入导时，设定值阶跃输入导致的稳态偏差为：致的稳态偏差为： 436•优缺点优缺点–比例控制比例控制及时、快速、控制作用强及时、快速、控制作用强，可，可提高系统的提高系统的控制精度控制精度（即可降低系统的稳态误差）。

即可降低系统的稳态误差）–但其具有致命的缺点但其具有致命的缺点——有有稳态偏差且降低相对稳稳态偏差且降低相对稳定性甚至使系统不稳定定性甚至使系统不稳定 当扰动发生后，经过比例控制，系统虽然能达到当扰动发生后，经过比例控制，系统虽然能达到新的稳定，但是永远回不到原来的给定值上也就新的稳定，但是永远回不到原来的给定值上也就是说，新的平衡值相对于原来地平衡值有一差值是说，新的平衡值相对于原来地平衡值有一差值 由第四章可知，比例控制使得稳定裕度减小，甚由第四章可知，比例控制使得稳定裕度减小，甚至小于至小于0 0 4375.2.2 5.2.2 积分积分(I)(I)控制控制•积分作用：积分作用： 优缺点优缺点n 前向通道上前向通道上提高控制系统的型别提高控制系统的型别，改善系统的稳态精，改善系统的稳态精度n 积分作用在控制中会造成过调现象，乃至引起被控参积分作用在控制中会造成过调现象，乃至引起被控参数的振荡因为数的振荡因为u(t)的大小及方向，只决定于偏差的大小及方向，只决定于偏差e(t)的的大小及方向，而不考虑其变化速度的大小及方向大小及方向，而不考虑其变化速度的大小及方向。

n 积分作用滞后积分作用滞后9090度，对稳定性不利度，对稳定性不利；且调节缓慢，不；且调节缓慢，不及时定义：定义： 为为“积分时间常数积分时间常数”4385.2.3 5.2.3 比例积分比例积分(PI)(PI)控制控制 在前向通道上，相当于系统增加了一个位于原点的极点，和在前向通道上，相当于系统增加了一个位于原点的极点，和一个一个s s左半平面的零点，该零点可以抵消极点所产生的相位滞左半平面的零点，该零点可以抵消极点所产生的相位滞后，以缓和积分环节带来的对稳定性不利的影响后，以缓和积分环节带来的对稳定性不利的影响比例积分作用是比例作用和积分作用的综合比例积分作用是比例作用和积分作用的综合+ +- -(t)r)11 (sTKip+)(ty)(tue(t)sTeKCsC+-1t439•积分控制器的阶跃响应特性：积分控制器的阶跃响应特性：在单位阶跃偏差输入条在单位阶跃偏差输入条件下，每过一个积分时件下，每过一个积分时间常数时间间常数时间 ，积分，积分项产生一个比例作用的项产生一个比例作用的效果以此来测量效果以此来测量 的的大小比例积分作用主要用来改比例积分作用主要用来改善系统的稳态性能善系统的稳态性能4405.2.4 5.2.4 微分微分(D)(D)控制控制•微分作用：微分作用： –微分作用是微分作用是根据偏差变化的速度大小来修正控制根据偏差变化的速度大小来修正控制。

可可称为称为“超前超前”控制作用，能有效地改善容积滞后比较控制作用，能有效地改善容积滞后比较大的被控对象的控制质量大的被控对象的控制质量–微分作用总是阻止被控参数的任何变化微分作用总是阻止被控参数的任何变化–适当地加入微分控制，适当地加入微分控制，可有效抑制振荡、提高系统的可有效抑制振荡、提高系统的动态性能动态性能–实际中的微分控制由比例作用和近似微分作用组成实际中的微分控制由比例作用和近似微分作用组成4415.2.5 5.2.5 比例微分比例微分(PD)(PD)控制控制比例微分作用是比例作用和微分作用的综合比例微分作用是比例作用和微分作用的综合+ +- -(t)r)1 (sTKdp+ +)(ty)(tue(t)sTeKCsC + +- -1t t442•微分控制器的阶跃响应特性微分控制器的阶跃响应特性 在斜坡输入条件在斜坡输入条件下，要达到同样下，要达到同样的的u u( (t t) )，，PDPD作用作用要比单纯要比单纯P P作用作用快，提前的时间快，提前的时间就是就是TdTd443例：如下图所示，当例：如下图所示，当Td为为0 0和不为和不为0 0时系统的阶跃响应有何区时系统的阶跃响应有何区别？别？+ +- -(t)r)1 (sTKdp+ +)(ty)(tue(t)sTeKPsP+ +- -1t t解：当解：当T Td d为为0 0时系统闭环传函为时系统闭环传函为这是二阶无阻尼临界稳定系统。

这是二阶无阻尼临界稳定系统C(t)0t1其中其中系统响应曲线如上所示系统响应曲线如上所示444由特征方程可知，当由特征方程可知，当 ，系统的，系统的 0C(t)1t当当T Td d不等于不等于0 0时系统闭环传函为时系统闭环传函为系统响应曲线如下所示系统响应曲线如下所示可见微分控制增可见微分控制增加的系统的阻尼，加的系统的阻尼，有助于改善系统有助于改善系统的动态性能的动态性能4455.2.6 5.2.6 比例积分比例积分微分微分(PID)(PID)控制控制•PIDPID控制控制包含上述三种控制规律的调节器称为包含上述三种控制规律的调节器称为PIDPID调节器调节器它可以结合三种作用的优点（积分改善稳态性能，微分改它可以结合三种作用的优点（积分改善稳态性能，微分改善动态性能），较好的满足生产过程自动控制的要求根善动态性能），较好的满足生产过程自动控制的要求根据实际情况选择其三个参数：据实际情况选择其三个参数：K Kp p 、、T Ti i、、T Td d446基本基本PIDPID控制算法小结控制算法小结P ：PID ：PI ：4475.3 5.3 5.3 5.3 PIDPIDPIDPID参数对控制性能的影响参数对控制性能的影响参数对控制性能的影响参数对控制性能的影响•K Kp p 对过渡过程的影响对过渡过程的影响增益增益 K Kp p 的增大，使系统的调节作用增强，但稳定性下的增大，使系统的调节作用增强，但稳定性下降；降；•T Ti i 对系统性能的影响对系统性能的影响积分作用的增强（即积分作用的增强（即T Ti i 下降），使系统稳态误差减小，下降），使系统稳态误差减小，但稳定性下降；但稳定性下降；•T Td d 对系统性能的影响对系统性能的影响微分作用的增强（即微分作用的增强（即T Td d 增大），从理论上讲使系统的增大），从理论上讲使系统的超前作用增强，稳定性得到加强，但高频噪声起放大超前作用增强，稳定性得到加强，但高频噪声起放大作用。

因而，微分作用不适合于测量噪声较大的对象因而，微分作用不适合于测量噪声较大的对象4485.4 PID5.4 PID5.4 PID5.4 PID参数确定参数确定参数确定参数确定 PIDPID参数确定的法则由齐格勒和尼柯尔斯提出，是在参数确定的法则由齐格勒和尼柯尔斯提出，是在实验阶跃响应的基础上根据临界稳定系统的实验阶跃响应的基础上根据临界稳定系统的Kp值建立值建立起来 不知道控制对象的数学模型时，这些法则依然有效不知道控制对象的数学模型时，这些法则依然有效因此因此PIDPID控制在实际中广泛应用控制在实际中广泛应用 两种方法两种方法 动态响应法动态响应法 临界增益法临界增益法4495.4.1 动态响应法动态响应法 步骤步骤 第一步：求取动态响第一步：求取动态响应曲线K上述的上述的S S形曲线的传函为形曲线的传函为将其拐点切线和时间轴和将其拐点切线和时间轴和c(t)=K的交点可得到的交点可得到 和和T T的值，如上图所示的值，如上图所示第二步：估计被控第二步：估计被控对象的传递函数对象的传递函数450第三步：由齐格勒－尼柯尔斯给出的调整法则表，确定第三步：由齐格勒－尼柯尔斯给出的调整法则表，确定PIDPID参数。

参数控制器类型控制器类型K Kp pT Ti iT Td dP PPIPIPIDPID0 00 0因此可得因此可得PIDPID控制器有一个位于原点的极点和两个左半平面的零点控制器有一个位于原点的极点和两个左半平面的零点451 注意注意系统开环下测出阶跃响应系统开环下测出阶跃响应单位阶跃响应曲线为单位阶跃响应曲线为S S形 能保证阶跃响应的最大峰值和第二峰值之比为能保证阶跃响应的最大峰值和第二峰值之比为4:14:1 可进行系统微调可进行系统微调 被控对象有积分环节和复数极点时不适用被控对象有积分环节和复数极点时不适用4525.4.2 5.4.2 临界增益法临界增益法 临界增益法在系统闭环情况下进行临界增益法在系统闭环情况下进行-对象对象步骤步骤 第一步：令第一步：令 ，将控制器设置为比例控制将控制器设置为比例控制将将Kp从从0 0 增大，首次出现等幅振荡时，记下此时的增益增大，首次出现等幅振荡时，记下此时的增益为为Kps和振荡周期和振荡周期Ts第二步：由齐格勒－尼柯尔斯给出的调整法则表，确定第二步：由齐格勒－尼柯尔斯给出的调整法则表，确定PIDPID参数。

参数453控制器类型控制器类型KpT Ti iT Td dP PPIPIPIDPID0 00 00.5 Kps0.45 Kps0.6 Kps0.83 Ts0.5 Ts0.125Ts因此可得因此可得PIDPID控制器有一个位于原点的极点和两个左半平面的零点控制器有一个位于原点的极点和两个左半平面的零点454例：控制对象方程为例：控制对象方程为 ，试用临界增益法确定，试用临界增益法确定PIDPID控制器参数控制器参数Kp ,Ti,Td 使得超调量不超过使得超调量不超过25%25%如超调量过如超调量过大则微调大则微调解：令解：令                         ，得到，得到系统特征方程为系统特征方程为利用劳斯判据利用劳斯判据可知临界增益可知临界增益为为Kps＝＝30455将将Kps代入特征方程，令代入特征方程，令s＝＝jw，得到，得到查表得查表得4560C(t)1t0C(t)1t系统的阶跃响应如右图系统的阶跃响应如右图所示可见其超调量很所示可见其超调量很大，经计算接近大，经计算接近72%72%要降低超调量，应使要降低超调量，应使PIDPID带带来的零点进行调整，如果将来的零点进行调整，如果将s＝＝-1.42调至调至s＝＝-0.6，得到，得到可以计算出超调量在可以计算出超调量在20%20%左右左右第六章第六章 采样系统分析采样系统分析 6.1  引言引言6.2  信号的采样与保持信号的采样与保持6.3  Z变换理论变换理论6.4  采样系统的脉冲传递函数采样系统的脉冲传递函数6.5  采样系统分析采样系统分析由于进出数字计算机的信号都是断续的数字信号，因此，由于进出数字计算机的信号都是断续的数字信号，因此，必须将原来的连续信号变成断续的信号，及采样信号。

必须将原来的连续信号变成断续的信号，及采样信号这样的控制系统必然在一处或几处出现脉冲信号或离散这样的控制系统必然在一处或几处出现脉冲信号或离散信号，这类系统称为采样控制系统信号，这类系统称为采样控制系统4586.1 6.1 引言引言由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控制由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控制由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控制由于电子计算机进入自动控制领域，出现了数字计算机控制系统可以说计算机与自动控制的结合，使自动化技术进入系统可以说计算机与自动控制的结合，使自动化技术进入系统可以说计算机与自动控制的结合，使自动化技术进入系统可以说计算机与自动控制的结合，使自动化技术进入了崭新的前所未有的发展阶段了崭新的前所未有的发展阶段了崭新的前所未有的发展阶段了崭新的前所未有的发展阶段出入数字计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将原来出入数字计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将原来出入数字计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将原来出入数字计算机的信号都是断续的数字信号，故必须将原来的连续信号变成断续信号，即采样信号从某种意义上理解，的连续信号变成断续信号，即采样信号。

从某种意义上理解，的连续信号变成断续信号，即采样信号从某种意义上理解，的连续信号变成断续信号，即采样信号从某种意义上理解，采样信号具有人为的性质采样信号具有人为的性质采样信号具有人为的性质采样信号具有人为的性质这样的控制系统必然在某一处或这样的控制系统必然在某一处或这样的控制系统必然在某一处或这样的控制系统必然在某一处或几处出现脉冲信号或数码信号，通常称之为采样控制系统几处出现脉冲信号或数码信号，通常称之为采样控制系统几处出现脉冲信号或数码信号，通常称之为采样控制系统几处出现脉冲信号或数码信号，通常称之为采样控制系统采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部采样控制系统由于其控制对象本身是连续信号部件，件，件，件，因而它因而它因而它因而它与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给定与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给定与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给定与离散系统有所区别；又由于其输出信号及控制作用的给定都是以数码形式出现的，因而它又与连续系统有所区别都是以数码形式出现的，因而它又与连续系统有所区别。

都是以数码形式出现的，因而它又与连续系统有所区别都是以数码形式出现的，因而它又与连续系统有所区别459总的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法总的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法总的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法总的来说，采样系统的分析与设计是按离散系统的方法来处理的，所以常常把它归结为离散系统来处理的，所以常常把它归结为离散系统来处理的，所以常常把它归结为离散系统来处理的，所以常常把它归结为离散系统严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与严格地说，这两者是有区别的，主要表现在采样信号与离散信号的描述上采样信号（或函数）是在整个实数离散信号的描述上采样信号（或函数）是在整个实数离散信号的描述上采样信号（或函数）是在整个实数离散信号的描述上采样信号（或函数）是在整个实数轴上取值，其定义域是一维数集，而离散信号（或函数）轴上取值，其定义域是一维数集，而离散信号（或函数）轴上取值，其定义域是一维数集，而离散信号（或函数）轴上取值，其定义域是一维数集，而离散信号（或函数）则是实数轴上取正整数，其定义域是孤立点集。

离散信则是实数轴上取正整数，其定义域是孤立点集离散信则是实数轴上取正整数，其定义域是孤立点集离散信则是实数轴上取正整数，其定义域是孤立点集离散信号是一类客观存在的信号，如雷达系统中的脉冲序列信号是一类客观存在的信号，如雷达系统中的脉冲序列信号是一类客观存在的信号，如雷达系统中的脉冲序列信号是一类客观存在的信号，如雷达系统中的脉冲序列信号，数字系统中的二进制数码以及电报信号等，而采样号，数字系统中的二进制数码以及电报信号等，而采样号，数字系统中的二进制数码以及电报信号等，而采样号，数字系统中的二进制数码以及电报信号等，而采样信号是连续信号经采样器采样后人为地得到的，其周期信号是连续信号经采样器采样后人为地得到的，其周期信号是连续信号经采样器采样后人为地得到的，其周期信号是连续信号经采样器采样后人为地得到的，其周期可视实际需要而定可视实际需要而定可视实际需要而定可视实际需要而定 460 6.2 信号的采样与保持信号的采样与保持   6.2.1. 采样过程采样过程     如如图图所所示示计计算算机机控控制制系系统统，，被被控控对对象象是是在在连连续续信信号号作作用用下下工工作作的的，，其其控控制制信信号号、、输输出出信信号号c(t)c(t)及及其其反反馈馈信信号号、、参参考考输输入入信信号号r(t)r(t)等等均均为为连连续续信信号号，，而而计计算算机机的的输输入入、、输输出出信信号是离散的数字信号号是离散的数字信号。

DA/)(tr)(tc数字计算机)(tfAD/)(te)(kTe)(kTu)(1tu被控对象反馈装置图6.1计算机控制系统框图461 由于计算机处理的是二进制的数椐，其输入信号不能是连由于计算机处理的是二进制的数椐，其输入信号不能是连续信号，所以误差信号要经过模续信号，所以误差信号要经过模/ /数转换器（数转换器（A/DA/D）变成计）变成计算机能接受的数字信号这种将连续信号变为离散信号的算机能接受的数字信号这种将连续信号变为离散信号的过程称为采样过程称为采样 实际采样装置是多种多样的，但无论其具体实现如何，其基实际采样装置是多种多样的，但无论其具体实现如何，其基本功能可以用一个开关来表示，通常称为本功能可以用一个开关来表示，通常称为采样开关采样开关连续信号加在采样开关一端，采样开关以一定规律开闭，另一信号加在采样开关一端，采样开关以一定规律开闭，另一端便得到离散信号采样开关每次闭合时间极短，可以认端便得到离散信号采样开关每次闭合时间极短，可以认为是瞬间完成这样开关闭合一次，就认为得到连续信号为是瞬间完成这样开关闭合一次，就认为得到连续信号的某一时刻的值这样的采样开关称为的某一时刻的值。

这样的采样开关称为理想采样开关理想采样开关，以，以后所说的采样开关都是指后所说的采样开关都是指理想采样开关理想采样开关，简称为，简称为采样开关采样开关462 如如果果采采样样开开关关是是等等时时间间间间隔隔采采样样，，则则称称为为普普通通采采样样、、均均匀匀采采样、周期采样等样、周期采样等采样间隔时间称为采样间隔时间称为采样周期采样周期，常用，常用T T表示 如如果果采采样样的的时时间间间间隔隔是是时时变变的的，，则则称称为为非非周周期期采采样样、、非非均均匀匀采样等采样等 如果采样开关采样的时间间隔是随机的，则称为如果采样开关采样的时间间隔是随机的，则称为随机采样随机采样 一一个个离离散散系系统统中中往往往往存存在在多多个个采采样样开开关关如如果果系系统统中中所所有有采采样样开开关关同同时时采采样样，，则则称称为为同同步步采采样样，，否否则则称称为为非非同同步步采采样样如如果果所所有有采采样样开开关关都都是是均均匀匀采采样样，，但但采采样样周周期期不不等等，，则则称称为为多多速速采样采样•信号的信号的采样过程采样过程：通过采样开关将连续信号离散化，转变为脉：通过采样开关将连续信号离散化，转变为脉冲序列信号；冲序列信号；•信号的信号的保持过程保持过程：通过信号保持器将离散信号连续化；：通过信号保持器将离散信号连续化；•两者互为逆过程；两者互为逆过程；463采样和采样器采样和采样器 将连续信号变为离散信号（脉冲序列）的将连续信号变为离散信号（脉冲序列）的过程称为采样；实现采样的装置称为采样器。

采样器是离散过程称为采样；实现采样的装置称为采样器采样器是离散系统的基本元件，每隔一段时间，开关闭合一次，使输入信系统的基本元件，每隔一段时间，开关闭合一次，使输入信号通过采样过程采样过程464vv有关概念有关概念有关概念有关概念A/DA/DD/AD/A数字控制器数字控制器被控对象被控对象测量元件测量元件 e e*(*(t t) )数字计算机数字计算机r r(t)(t)e e( (t t) ) u u*(*(t t) )u uh h( (t t) ) c c( (t t) ) _ _计算机控制系统典型原理图计算机控制系统典型原理图 2. 2. 离散系统：离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统典型的计算机控制系统即为离散系统的一种称离散系统典型的计算机控制系统即为离散系统的一种其原理图如下：其原理图如下： A/DA/D：：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号包括采样与量化两过程包括采样与量化两过程。

1. 1.离散信号：离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现离散信号以脉冲或数码的形式呈现 D/AD/A：：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号包括解码与复现两过程包括解码与复现两过程465v离散控制系统的特点离散控制系统的特点–结构简单、控制灵活结构简单、控制灵活–检测器精度可以做得很高，则控制精度高检测器精度可以做得很高，则控制精度高–抗干扰性好：除非扰动和离散信号同时出现才抗干扰性好：除非扰动和离散信号同时出现才会受到干扰会受到干扰–便于远距离传递便于远距离传递4666.2.2 采样信号的数学描述采样信号的数学描述1、几点假定（理想化）、几点假定（理想化）采样开关应能立即开或闭；采样开关应能立即开或闭；通过采样开关的输出不发生畸变；通过采样开关的输出不发生畸变；采样时间采样时间(即采样装置闭合的时间即采样装置闭合的时间) τ 远小于采样周期远小于采样周期T，分，分析时可以近似认为趋近于零；析时可以近似认为趋近于零；开关闭合时，其输出为常数；开关闭合时，其输出为常数；等采样周期，即采样周期等采样周期，即采样周期T 为常数。

为常数 2 2、单位脉冲函数、单位脉冲函数 为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限小、为单位脉冲函数，脉冲的宽度为无限小、幅度为无限大，而面积为幅度为无限大，而面积为1 10t467单位脉冲序列函数单位脉冲序列函数3 3、单位脉冲序列函数、单位脉冲序列函数 下式为下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉冲单位脉冲序列函数，它是单位脉冲函数的序列函数的序列4 4、断续信号、断续信号( (采样信号）采样信号） 将将连续的信号经连续的信号经采采样后后得到断续信号，得到断续信号，利用利用单位脉冲序列函数可以单位脉冲序列函数可以描述描述断续信号断续信号为：：468该过程可以看成是一个信号的程可以看成是一个信号的调制制过程，如程，如图6-2 所示，所示，其中其中载波信号波信号是一个周期是一个周期为T，，宽度度为（（），），的脉冲序列，如的脉冲序列，如图6-2（（b）所示幅值为幅值为幅幅值正比于采正比于采样瞬瞬时值的脉冲序列，如的脉冲序列，如图6-2（（c）所示 调制后得到的采样信号是一个周期为调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为，宽度为图图6－－2 信号的采样过程信号的采样过程实现上述采样过程实现上述采样过程的装置称为的装置称为采样采样开关开关469•单位脉冲函数单位脉冲函数•单位脉冲函数的拉氏变换为单位脉冲函数的拉氏变换为0t470拉氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质(6) (6) 位移定理位移定理：：a.a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 t t ，则其，则其 象函数应乘以象函数应乘以b.b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a a，原函数应，原函数应 乘以乘以 ，即，即471对于实际的采样控制系统，总有一个工作起始时间，因此假定当对于实际的采样控制系统，总有一个工作起始时间，因此假定当t<0t<0时时e(t)=0e(t)=0。

则断续信号描述为（时域描述）则断续信号描述为（时域描述）连续信号与采样信号连续信号与采样信号注：注：对对e*(t)t)取拉氏变换，得取拉氏变换，得上式可以将上式可以将E E* *(s)(s)与离散时域信号与离散时域信号e(kT)e(kT)联系起来，可以直接看出联系起来，可以直接看出e e* *(t)(t)的的时间响应但是时间响应但是e e* *(t)(t)仅描述了仅描述了e(t)e(t)在采样时刻的值，所以在采样时刻的值，所以E E* *(s)(s)不可能不可能给出给出e(t)e(t)在两个采样时刻之间的任何信息在两个采样时刻之间的任何信息采样周期为采样周期为T T，则采样频率为，则采样频率为 ，采样角频率为，采样角频率为 ，但一般简称，但一般简称后者为采样频率后者为采样频率472例例6-16-1 设设e(t)=1(t)e(t)=1(t)，试求，试求e e* *(t)(t)的拉氏变换的拉氏变换解解】】例例6-26-2 设设e e( (t t)=)=e e- -atat，，t t≥0≥0，，a a为常数，试求为常数，试求e e* *(t)(t)的拉氏变换。

的拉氏变换解解】】上例表明，用拉氏变换法来对离散信号进行变换时，得到的式上例表明，用拉氏变换法来对离散信号进行变换时，得到的式子是有关子是有关s s的超越函数，不利于分析因此要引入的超越函数，不利于分析因此要引入z z变换473由于单位脉冲序列函数由于单位脉冲序列函数 为周期函数，因为周期函数，因此可以将其展开成傅里叶级数此可以将其展开成傅里叶级数6.2.3 6.2.3 采样信号的频谱分析采样信号的频谱分析其中其中 称为系统的采样频率称为系统的采样频率则则上式描述了采样过程的复频域特征上式描述了采样过程的复频域特征474如果连续信号如果连续信号e(t)e(t)的频谱的频谱E E( (j j ) )是单一的连续频谱，则离散信是单一的连续频谱，则离散信号号e e* *(t)(t)的频谱除包含原连续信号主频谱外（幅值为的频谱除包含原连续信号主频谱外（幅值为1/T1/T），还），还包含无穷多个高频频谱包含无穷多个高频频谱连续信号连续信号e(t)e(t)的频谱的频谱离散信号的频谱离散信号的频谱（（ s s>=2>=2maxmax)4751. 1. 问题的提出问题的提出连续信号连续信号e e( (t t) )经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。

从时域上看，采样过程损失了样时刻之间的数值从时域上看，采样过程损失了e e( (t t) )所含的信息所含的信息 (a a) )连续信号连续信号t t( (b b) )离散信号离散信号t t 2. 2. 定性分析定性分析 如果连续信号如果连续信号e e( (t t) )变化缓慢（最大角频率变化缓慢（最大角频率 maxmax较低较低〕〕，而采样，而采样角频率角频率 s s比比较高（即采样周期较高（即采样周期T=2T=2 / / s s较小较小〕〕，则，则e e* *( (t t) )基本上能基本上能反映反映e e( (t t) )的变化规律的变化规律 怎样才能使采样信号怎样才能使采样信号e e* *( (t t) )大体上大体上反映反映e e( (t t) )的变化规律呢？的变化规律呢？6.2.4 6.2.4 采样定理采样定理476由于由于 ，则，则 ，所以，所以 采样定理采样定理：为使离散信号不失真的还原成原来的连续信号，采样频：为使离散信号不失真的还原成原来的连续信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍。

即率必须大于等于原连续信号所含最高频率的两倍即如果采样频率满足上面条件，则两相邻信号间无交叉部分因此可设如果采样频率满足上面条件，则两相邻信号间无交叉部分因此可设计如下理想滤波特性的滤波器，即可不失真地恢复原连续信号计如下理想滤波特性的滤波器，即可不失真地恢复原连续信号理想滤波器的频率特性理想滤波器的频率特性477注注 意意 ：： 上述香农采样定理要求满足以下两个条件：上述香农采样定理要求满足以下两个条件： （１）频谱的上限频率是有限的；（１）频谱的上限频率是有限的； （２）存在一个理想的低通滤波器但可以证明理想（２）存在一个理想的低通滤波器但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器；只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器； 478由于实际的非周期连续信号的频率特性中最高频率是无穷大的，由于实际的非周期连续信号的频率特性中最高频率是无穷大的，因此离散信号频谱必然相互交叉，采样频率的选取发生困难，因此离散信号频谱必然相互交叉，采样频率的选取发生困难，此时必须作近似处理：此时必须作近似处理：连续信号频谱特性的连续信号频谱特性的频带宽度频带宽度（即当频率特性的幅值为零频幅（即当频率特性的幅值为零频幅值值e(0)e(0)的的5%5%时所对应的频率）为连续信号所含的最高频率。

时所对应的频率）为连续信号所含的最高频率近似处理得到近似处理得到 后，即可利用采样定理得到采样频率后，即可利用采样定理得到采样频率非周期连续信号的频谱非周期连续信号的频谱479例例6-3 6-3 设设e(t)=ee(t)=e-t-t，试按采样定理选择采样频率试按采样定理选择采样频率解解】】首先求连续信号的拉氏变换首先求连续信号的拉氏变换其频率特性为其频率特性为幅频特性为幅频特性为若在若在 处截断，可求频带宽度为处截断，可求频带宽度为则由采样定理可求得采样频率则由采样定理可求得采样频率480讨论信号的复现，首先从研究采样信号的频谱特性讨论信号的复现，首先从研究采样信号的频谱特性讨论信号的复现，首先从研究采样信号的频谱特性讨论信号的复现，首先从研究采样信号的频谱特性入手为此，需要找出入手为此，需要找出入手为此，需要找出入手为此，需要找出                        与与与与                      之间的相互之间的相互之间的相互之间的相互联系经过简单的数学分析，找出了它们之间的关联系。

经过简单的数学分析，找出了它们之间的关联系经过简单的数学分析，找出了它们之间的关联系经过简单的数学分析，找出了它们之间的关系式为系式为系式为系式为                                                    或或或或6.2.5 信号的保持信号的保持采样控制系统中的被控制对象，执行通常都是一些采样控制系统中的被控制对象，执行通常都是一些采样控制系统中的被控制对象，执行通常都是一些采样控制系统中的被控制对象，执行通常都是一些模拟部件，如执行电机，液压舵机等它们都是靠模拟部件，如执行电机，液压舵机等它们都是靠模拟部件，如执行电机，液压舵机等它们都是靠模拟部件，如执行电机，液压舵机等它们都是靠模拟信号工作的这样就需要将采样信号变成连续模拟信号工作的这样就需要将采样信号变成连续模拟信号工作的这样就需要将采样信号变成连续模拟信号工作的这样就需要将采样信号变成连续信号481一般说来，信号一般说来，信号一般说来，信号一般说来，信号              经采样得到采样信号经采样得到采样信号经采样得到采样信号经采样得到采样信号                    ，在信息，在信息，在信息，在信息上是有丢失的，造成了信号的失真。

在什么条件下不能保上是有丢失的，造成了信号的失真在什么条件下不能保上是有丢失的，造成了信号的失真在什么条件下不能保上是有丢失的，造成了信号的失真在什么条件下不能保证信息不失去，又能将采样信号恢复成连续信号？香农采证信息不失去，又能将采样信号恢复成连续信号？香农采证信息不失去，又能将采样信号恢复成连续信号？香农采证信息不失去，又能将采样信号恢复成连续信号？香农采样定理告诉我们，要从采样信号中完全复现出采样前的连样定理告诉我们，要从采样信号中完全复现出采样前的连样定理告诉我们，要从采样信号中完全复现出采样前的连样定理告诉我们，要从采样信号中完全复现出采样前的连续信号续信号续信号续信号                ，必须满足采样频率大于或等于两倍输入连，必须满足采样频率大于或等于两倍输入连，必须满足采样频率大于或等于两倍输入连，必须满足采样频率大于或等于两倍输入连续信号续信号续信号续信号                  频谱中的最高频率频谱中的最高频率频谱中的最高频率频谱中的最高频率                    ，即，即，即，即在满足在满足在满足在满足ShannonShannon定理的条件下，要想不失真地重复采样器定理的条件下，要想不失真地重复采样器定理的条件下，要想不失真地重复采样器定理的条件下，要想不失真地重复采样器的输入信号，还需要一种理想的低通滤波器。

的输入信号，还需要一种理想的低通滤波器的输入信号，还需要一种理想的低通滤波器的输入信号，还需要一种理想的低通滤波器482连续信号经过采样后生成的断续信号频谱中连续信号经过采样后生成的断续信号频谱中除了主频谱分除了主频谱分量外，还产生了无穷多附加频谱分量量外，还产生了无穷多附加频谱分量，这些分量在系统中，这些分量在系统中相当于高频干扰信号相当于高频干扰信号为除去高频分量对系统输出的影响，恢复和重现原来的连为除去高频分量对系统输出的影响，恢复和重现原来的连续输入信号，需要应用低通滤波器续输入信号，需要应用低通滤波器通常用来起低通滤波器作用的为各阶保持电路或保持器，通常用来起低通滤波器作用的为各阶保持电路或保持器，例如零阶保持器和一阶保持器例如零阶保持器和一阶保持器保持器的作用是将采样信号转换为连续信号，这个连续信保持器的作用是将采样信号转换为连续信号，这个连续信号近似的重现作用在采样器上的信号号近似的重现作用在采样器上的信号483零阶保持器零阶保持器能将采样信号转变成在两个连续采样时刻之间保能将采样信号转变成在两个连续采样时刻之间保持常量的信号，即在持常量的信号，即在 区间内，零阶保持器的区间内，零阶保持器的输出值一直保持为输出值一直保持为x(nT)x(nT)。

如下图所示零阶保持器的输出如下图所示零阶保持器的输出x xb b(t)(t)为为阶梯信号阶梯信号因为在每个采样区间的值均为常数，其导数为零，故称为零因为在每个采样区间的值均为常数，其导数为零，故称为零阶保持器阶保持器 原连续信号原连续信号 零阶保持器的恢复信零阶保持器的恢复信号号零阶保持器零阶保持器484零阶保持器的传递函数零阶保持器的传递函数考察保持器的输出考察保持器的输出x xh h(t)(t)与连续输入信号与连续输入信号x(t)x(t)之间的关系之间的关系将上面结果求拉氏变换，得将上面结果求拉氏变换，得从而可以得到保持器的输出从而可以得到保持器的输出x xh h(t)(t)与断续输入信号与断续输入信号x*(t)x*(t)之比，之比，即零阶保持器的传递函数为即零阶保持器的传递函数为485当当 时，时， 零阶保持器的零阶保持器的频率特征率特征 用用 代替代替G Gh h(S)(S)中的中的s s，得零，得零阶保持器的保持器的频率特性率特性 当当 很小近似为很小近似为0 0时，时， ，，只要只要 是是 的整数倍，则的整数倍，则 ，相频特性为，相频特性为:486零阶保持器的幅频特征和相频特性如下图所示。

零阶保持器的幅频特征和相频特性如下图所示487 由由于于幅幅频频特特性性的的幅幅值值随随频频率率的的增增加加而而衰衰减减，，零零阶阶保保持持器器是是一一个个低低通通滤滤波波器器，，但但不不是是一一个个理理想想滤滤波波器器它它除除了了允允许许的的主主要要频频谱谱分分量量通通过过以以外外，，还还通通过过一一部部分分高高频频分分量量，，从而造成数字控制系统的输出中存在纹波从而造成数字控制系统的输出中存在纹波 另另外外，，从从相相频频特特性性还还可可以以看看到到，，零零阶阶保保持持器器还还会会产产生生负负相相移移（（滞滞后后相相移移）），，因因此此，，零零阶阶保保持持器器的的引引入入，，会会导导致稳定性变差致稳定性变差除除了了零零阶阶保保持持器器外外（（步步进进电电机机，，DADA转转换换器器等等）），，还还有有一一阶阶、、二二阶阶等等高高阶阶保保持持器器由由于于他他们们实实现现起起来来比比较较复杂，而且相角滞后比零阶保持器更大复杂，而且相角滞后比零阶保持器更大4886.3.1 6.3.1 Z Z Z Z变换的定义变换的定义变换的定义变换的定义 拉普拉斯变换拉普拉斯变换（又称（又称L L变换）和变换）和傅里叶变换傅里叶变换（又称（又称F F变换）等积变换）等积分变换，在微分方程求解中获得了广泛的应用。

线性常系数微分变换，在微分方程求解中获得了广泛的应用线性常系数微分方程通过分方程通过L L变换变成代数方程，从而使求解微分方程得到简化变换变成代数方程，从而使求解微分方程得到简化因此，因此，拉普拉斯变换与傅里叶变换是分析线性连续系统的主要拉普拉斯变换与傅里叶变换是分析线性连续系统的主要工具工具事实上，事实上，Z Z变换的历史比较古老，其基本思想是变换的历史比较古老，其基本思想是1818世纪英国数学家世纪英国数学家德德﹒﹒莫费（莫费（De MoivreDe Moivre）在概率论的研究中首次提出的从）在概率论的研究中首次提出的从1919世纪的拉普拉斯至世纪的拉普拉斯至2020世纪的沙尔（世纪的沙尔（H﹒L﹒SealH﹒L﹒Seal），其间许多人），其间许多人在这方面都作出了贡献然而，在那样一个较为局限的数学领在这方面都作出了贡献然而，在那样一个较为局限的数学领域中，域中，Z Z变换理论没有得到充分的运用和发展，直到本世纪变换理论没有得到充分的运用和发展，直到本世纪5050年年代以后，计算机控制系统的迅速发展，为代以后，计算机控制系统的迅速发展，为Z Z变换的研究与应用开变换的研究与应用开辟了广阔的天地辟了广阔的天地6.3  z 变换变换489连续信号 经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得490由于采样信号的拉氏变换是由于采样信号的拉氏变换是s的超越函数，出现指数项的超越函数，出现指数项 ，，无法得到象线性连续系统中那样的特征方程为线性代数方程。

无法得到象线性连续系统中那样的特征方程为线性代数方程z变换变换将复平面问题转化为将复平面问题转化为Z Z平面上的问题：平面上的问题：采样信号的拉氏变换为采样信号的拉氏变换为s s平面：平面： 引入变量引入变量 ，， ，则得，则得z z变换的定义式：变换的定义式： z z平面平面 ：：由此可看出由此可看出 是关于复变量是关于复变量 的幂级数的幂级数 491几点说明几点说明 1) 1) 在控制工程中，离散信号在控制工程中，离散信号x x* *(t)(t)通常由对连续信号通常由对连续信号x(t)x(t)采样得到，所以习惯上称采样得到，所以习惯上称X(z) X(z) 是是x(t) x(t) 的的Z Z变换，变换，但实际上是指但实际上是指x(t) x(t) 经采样后得到的离散信号经采样后得到的离散信号x x* *(s)(s)的的Z Z变换同样，习惯上也称变换同样，习惯上也称X(z)X(z)是是X(s) X(s) 的的Z Z变换，本书中变换，本书中也这样称呼，不再作说明；也这样称呼，不再作说明； 2) X(s) 2) X(s) 是是 x(t) x(t) 的的L L变换的记号，变换的记号， X(z) X(z) 是是{x(kT)}{x(kT)}的的Z Z变换的记号，切不要以为变换的记号，切不要以为X(z) X(z) 是中的是中的s s用用 z z 代替后的代替后的式子，即式子，即 X(z)≠ X(s)|s=z X(z)≠ X(s)|s=z ；； 3) 3) 连续函数连续函数x(t) x(t) 的的L L变换定义式变换定义式 x*(t)x*(t)的的z z 变换记为变换记为Z[x*(t)]Z[x*(t)]，， Z[x*(t)]=Z[x*(t)]=4926.3.2 z6.3.2 z变换表达式的求法变换表达式的求法1 1、级数求和法、级数求和法知道连续函数知道连续函数x(t)x(t)在各采样时刻的离散值在各采样时刻的离散值x x* *(t)(t)，按定义求。

按定义求例例6-4 求求                       和和                                    的的Z变换表达式变换表达式解解】】由该例可知，在由该例可知，在z z变换中只考虑采样时刻的信号值，因此连续信变换中只考虑采样时刻的信号值，因此连续信号与采样后的断续信号的号与采样后的断续信号的z z变换结果相同变换结果相同求采样信号的求采样信号的求采样信号的求采样信号的 Z Z Z Z 变换方法很多，常用的方法有：变换方法很多，常用的方法有：变换方法很多，常用的方法有：变换方法很多，常用的方法有：按定义求，部分分式法，留数计算法按定义求，部分分式法，留数计算法按定义求，部分分式法，留数计算法按定义求，部分分式法，留数计算法493例例6-5 求求               的的Z变换表达式变换表达式494练习：求指数函数练习：求指数函数 的的z z变换解：设解：设                  ，则，则4952 2 部分分式法部分分式法① ① 先求出已知连续时间函数先求出已知连续时间函数e e( (t t) )的拉氏变换的拉氏变换E E ( (s s) )；；② ② 将将E E ( (s s) )展开成部分分式之和的形式；展开成部分分式之和的形式；③ ③ 求拉氏反变换，再求求拉氏反变换，再求Z Z变换变换E E( (z z) )。

496例例6-6 6-6 设设 ，求，求 的的 z z变换解：解：上式两上式两边求求Laplace反反变换，得，得再由例再由例6-4和和练习有有497练习练习  已知已知                          求求Z变换表达式变换表达式498 3. 3. 查表法查表法 把常用的函数及其把常用的函数及其Z Z变换列成对照表，求取变换列成对照表，求取Z Z变换时，直接查表这种方法在实际工作中变换时，直接查表这种方法在实际工作中非常简单有用书中给出了一张比较详细的非常简单有用书中给出了一张比较详细的Z Z变换表当然，不可能所有函数的变换表当然，不可能所有函数的Z Z变换式都变换式都能在表中直接查到在查表时，首先对所求函能在表中直接查到在查表时，首先对所求函数作一些变化，以适合数作一些变化，以适合Z Z变换表例如，进行变换表例如，进行部分分式展开，或应用部分分式展开，或应用Z Z变换基本定理等变换基本定理等499 常用普通时间函数的常用普通时间函数的常用普通时间函数的常用普通时间函数的 Z Z Z Z 变换见表变换见表变换见表变换见表6-1(p.141)6-1(p.141)6-1(p.141)6-1(p.141) 表表表表6-1 6-1 6-1 6-1 Z Z Z Z 变换表变换表变换表变换表5005016.3.3 z6.3.3 z变换的性质变换的性质1 1、线性定理、线性定理其中其中a1, a2……an为常数。

为常数证明：证明：5022、、时域位移定理时域位移定理向前差分定理向前差分定理 向后差分定理向后差分定理 注注 向后差分定理向后差分定理仅在仅在k<0时，时，X(kT)=0的情况下才成立的情况下才成立503证明证明：由：由Z Z变换定义式有：变换定义式有： 由于由于k<0时，时，X(kT)=0504若若 ，则，则3 3、、复域位移定理复域位移定理证明证明现令现令由于由于5054 4、、微分定理微分定理若若 ，则，则证明证明【例】已知 ，求Z变换表达式解】由于5065 5、初值定理、初值定理用于分析过渡过程，即原函数的用于分析过渡过程，即原函数的0 0值等于值等于z z变换函数变换函数 时时的极限 证明证明6 6、终值定理、终值定理 证明证明507设设x(nT)和和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT)*y(nT)=                                      ，则卷积定理为：，则卷积定理为：Z[x(nT)*y(nT)]=X(z)Y(z) 7. 卷积定理卷积定理8.8.乘以指数序列性质乘以指数序列性质若若若若 a为整数，则为整数，则为整数，则为整数，则9.9.比例尺变换性质比例尺变换性质若若若若则则则则5086.3.4 z6.3.4 z反变换反变换Z Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然后通过变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然后通过求求x(z)x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。

这就是的原函数，可求出离散系统的时域响应这就是z z反变换1 1、幂级数法：（长除法）、幂级数法：（长除法） Z Z变换函数，通常可表示为两个变换函数，通常可表示为两个Z Z的多项式之比，一般可写成：的多项式之比，一般可写成： 在实际情况下，在实际情况下， 用分母除分子，并将商按用分母除分子，并将商按 的升幂排的升幂排列得：列得： 则则5092、、部分分式法部分分式法 部分分式法又称为查表法，其基本思想是将部分分式法又称为查表法，其基本思想是将X(z)/zX(z)/z展开成部展开成部分分式，分分式，然后查然后查z变换表，即可求得原函数变换表，即可求得原函数 这种方法的依据是这种方法的依据是这种方法的依据是这种方法的依据是Z Z 变换的小线性性质，变换的小线性性质，变换的小线性性质，变换的小线性性质，Z Z 变换式变换式变换式变换式通常是通常是通常是通常是z z 的有理分式只要将的有理分式只要将的有理分式只要将的有理分式只要将                  的有理分式展开为部分的有理分式展开为部分的有理分式展开为部分的有理分式展开为部分分式，逐项查分式，逐项查分式，逐项查分式，逐项查Z Z 变换表，就可以得到反变换式。

变换表，就可以得到反变换式变换表，就可以得到反变换式变换表，就可以得到反变换式这里与拉氏变换不同的是，这里与拉氏变换不同的是，这里与拉氏变换不同的是，这里与拉氏变换不同的是，不是直接将不是直接将不是直接将不是直接将                    展开，而是展开，而是展开，而是展开，而是将展开将展开将展开将展开                          ，道理是，在，道理是，在，道理是，在，道理是，在Z Z变换表上，基本变换式中普变换表上，基本变换式中普变换表上，基本变换式中普变换表上，基本变换式中普遍含有因子遍含有因子遍含有因子遍含有因子z z   ，因此，若展开，因此，若展开，因此，若展开，因此，若展开                            ，即把，即把，即把，即把                  中的因中的因中的因中的因式式式式z z提出来，可保证分解后的各个分式都含有提出来，可保证分解后的各个分式都含有提出来，可保证分解后的各个分式都含有提出来，可保证分解后的各个分式都含有z z因子510设设设设先求出先求出先求出先求出 的特征根，即将其分母分解因式，形如：的特征根，即将其分母分解因式，形如：的特征根，即将其分母分解因式，形如：的特征根，即将其分母分解因式，形如：在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项在工程上，多有极点都是一阶极点的情况，即分母多项式中无重根时，上式则可化为：式中无重根时，上式则可化为：式中无重根时，上式则可化为：式中无重根时，上式则可化为：其中系数其中系数其中系数其中系数 , , , ,可由式决定：可由式决定：可由式决定：可由式决定：511例例6-7 已知已知z z变换函数变换函数求其求其z z反变换。

反变换解：解：首先将首先将        展成部分分式展成部分分式 5123 3、留数法：又称反演积分法留数法：又称反演积分法 –由由z z变换的定义可知变换的定义可知包包围了了的所有极点的所有极点 513其中其中Res[]表示函数的留数表示函数的留数例例6-8 已知已知z变换函数为变换函数为试用围线积分方法求试用围线积分方法求z反变换设设             的极点为的极点为                          ，则，则514解：•上式有两个极点 和 ，且 所以515v z z反变换是反变换是z z变换的变换的逆运算逆运算其目的是由象函其目的是由象函数数 求出所对应的采样脉冲序列求出所对应的采样脉冲序列 （或（或 ），记作），记作 z反变换只能给出采样信号反变换只能给出采样信号 ，，而不能给出连续信号而不能给出连续信号 x(t) 注意注意5163 3）三种）三种）三种）三种z z反变换法的比较反变换法的比较反变换法的比较反变换法的比较部分分式法部分分式法部分分式法部分分式法通过通过通过通过Z Z变换表变换表变换表变换表6 6- - - -1 1可方便地求得可方便地求得可方便地求得可方便地求得                  , ,留数留数留数留数计算法计算法计算法计算法可以直接求出可以直接求出可以直接求出可以直接求出                          序列，因而容易求得序列，因而容易求得序列，因而容易求得序列，因而容易求得                。

但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道                    的全部极点的全部极点的全部极点的全部极点, ,这意味着要求解高阶代数方程，这意味着要求解高阶代数方程，这意味着要求解高阶代数方程，这意味着要求解高阶代数方程，这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，一般不宜用于高阶采样系统一般不宜用于高阶采样系统一般不宜用于高阶采样系统一般不宜用于高阶采样系统而而而而长除法长除法长除法长除法却没有这种限制，通用性好它的缺点是却没有这种限制，通用性好它的缺点是却没有这种限制，通用性好它的缺点是却没有这种限制，通用性好它的缺点是计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式517作业P159 6-55186.4 6.4 采样系统的脉冲传递函数采样系统的脉冲传递函数v脉冲传递函数的定义及意义脉冲传递函数的定义及意义v串联环节的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数v闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数5196.4.1 6.4.1 脉冲传递函数脉冲传递函数1 1、脉冲传递函数的定义及意义、脉冲传递函数的定义及意义脉冲传递函数脉冲传递函数是在是在 零初始条件零初始条件下，输出采样信号的下，输出采样信号的Z Z变换与输入采样信号的变换与输入采样信号的Z Z变换之比，即：变换之比，即：G G( (z z)=)=C C( (z z)/)/R R( (z z) )。

要注意的是要注意的是要注意的是要注意的是：：：：输出端是连续信号，此时要在其输出端虚设一个理想同步采输出端是连续信号，此时要在其输出端虚设一个理想同步采输出端是连续信号，此时要在其输出端虚设一个理想同步采输出端是连续信号，此时要在其输出端虚设一个理想同步采样开所谓零初始条件，是指所谓零初始条件，是指所谓零初始条件，是指所谓零初始条件，是指t t t t < 0< 0< 0< 0时，输入输出的采样值均为零时，输入输出的采样值均为零时，输入输出的采样值均为零时，输入输出的采样值均为零图图8 8－－1 1520521在在实际中，只中，只讨论在在采采样时刻刻输出与出与输入采入采样信号信号间的关系 522可见可见, ,采样系统的脉冲传递函数是连续系统脉冲响应采样系统的脉冲传递函数是连续系统脉冲响应h(t)h(t)的采样序列的的采样序列的Z Z变换变换, ,也可以说也可以说G(Z)G(Z)是是h(t)h(t)或或G(S)G(S)的的Z Z变换，变换，即即 G(Z)=Z[h(T)]=Z[G(S)]G(Z)=Z[h(T)]=Z[G(S)]523•求脉冲传递函数的一般步骤求脉冲传递函数的一般步骤①①求得连续部分的传递函数求得连续部分的传递函数        ;②②求得连续部分的脉冲瞬间响应求得连续部分的脉冲瞬间响应                        ;③③求得采样的脉冲传递函数求得采样的脉冲传递函数        的的Z变换变换          .524求该开环系统的脉冲传递函数求该开环系统的脉冲传递函数 。

例例6-96-9 系统结构如图所示，其中连续部分的传递函数为系统结构如图所示，其中连续部分的传递函数为525解：•连续部分的脉冲响应函数为连续部分的脉冲响应函数为 脉冲传递函数为脉冲传递函数为526或由 得查表得查表得5272、、 串联环节的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数两个环节串联，有两种方式，一种是串联环节之间没有采样开两个环节串联，有两种方式，一种是串联环节之间没有采样开关，一种是串联环节之间有采样开关，其总的脉冲传递函数有关，一种是串联环节之间有采样开关，其总的脉冲传递函数有所不同1）、串联环节之间没有采样开关）、串联环节之间没有采样开关此时，此时，528例例 6-10  系统结构如图系统结构如图6-116-11所示，其中所示，其中 求开环脉冲传递函数求开环脉冲传递函数图6-11529解：530（（2）、串联环节之间有采样开关）、串联环节之间有采样开关此时，假设采样开关是同步采样此时，假设采样开关是同步采样d (t)r(t)注注图图6－－12531例例8-12 已知已知                    ，，                           ，求脉冲传递函数。

求脉冲传递函数解解】】若无采样开关，则若无采样开关，则若有采样开关，则若有采样开关，则注注：此两环节不同，虽然极点相同，但零点不同：此两环节不同，虽然极点相同，但零点不同 532练习： 系统结构如图6-12所示，其中求开环脉冲传递函数533（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为开环脉冲传递函数为 图图6-13 带零阶保持器的开环采样系统带零阶保持器的开环采样系统534例 6-14 系统结构如图6-13所示，其中采样周期 秒•求其开环脉冲传递函数0535解：•由于•所以05364、、 闭环脉冲传函闭环脉冲传函537（（1 1）、输出对输入的脉冲传函）、输出对输入的脉冲传函 令 538 在上述推导中应特别注意的是在上述推导中应特别注意的是, ,作为输入信号的作为输入信号的R(s)R(s)不能用采样信号代替因为，对一个系统连续输不能用采样信号代替因为，对一个系统连续输入信号的响应和离散输入信号的响应是截然不同的，入信号的响应和离散输入信号的响应是截然不同的，而作为输出信号的而作为输出信号的c(t)c(t)或或C(s),C(s),可以只研究其采样时刻可以只研究其采样时刻的值的值, ,所以能对它进行采样。

这一点必须认识清楚所以能对它进行采样这一点必须认识清楚, ,否否则会得到错误结果则会得到错误结果 539（（2 2）、）、输出出对扰动的脉冲的脉冲传函函 令 E(z)E(z)由两部分组成，由两部分组成，D(z)D(z)通过通过G G2 2(z)(z)产生产生一部分，一部分， E(z)E(z)回路回路本身的产生一部分本身的产生一部分 540注注 在求解复杂离散系统的脉冲传递函数时，由于采样在求解复杂离散系统的脉冲传递函数时，由于采样开关处在不同的位置，即使各动态环节的传递函数相同，开关处在不同的位置，即使各动态环节的传递函数相同，脉冲传递函数也可能不同有时采样开关的位置可能导脉冲传递函数也可能不同有时采样开关的位置可能导致无法求出脉冲传函，而只能求出输出致无法求出脉冲传函，而只能求出输出z变换表达式变换表达式如果如果从输入到输出的直接通道均无采样开关，则不可能从输入到输出的直接通道均无采样开关，则不可能写出闭环脉冲传函写出闭环脉冲传函 541误差点没有采样开关的闭环采样系统误差点没有采样开关的闭环采样系统此系统不存在闭环脉冲传递函数此系统不存在闭环脉冲传递函数542【【例例】】已知采样系统结构如下图示，求已知采样系统结构如下图示，求系统输出系统输出Z Z变换的表达式变换的表达式 。

解解】】无法求取闭环脉冲函数无法求取闭环脉冲函数543【【例例】】已知离散系统结构如下图示，已知离散系统结构如下图示，当当T=0.1T=0.1时，求系统的单位时，求系统的单位阶跃响应阶跃响应 【【解解】】544表表表表8-2 8-2 8-2 8-2 闭环采样系统的典型结构图闭环采样系统的典型结构图闭环采样系统的典型结构图闭环采样系统的典型结构图5455466.5 采样控制系统分析采样控制系统分析Ø稳定性分析 Ø瞬态响应Ø稳态误差分析547 6.5.1  线性采样系统的稳定性线性采样系统的稳定性（（（（1 1）一般概念）一般概念）一般概念）一般概念稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳定稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳定稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳定稳定性是指线性采样系统的重要问题，一个系统只有稳定才能正常工作才能正常工作才能正常工作才能正常工作性连续系统的分析中，我们曾经指出，稳定系统的特性连续系统的分析中，我们曾经指出，稳定系统的特性连续系统的分析中，我们曾经指出，稳定系统的特性连续系统的分析中，我们曾经指出，稳定系统的特征方程的根全部位于征方程的根全部位于征方程的根全部位于征方程的根全部位于s s平面的左半部。

这一概念也适用于平面的左半部这一概念也适用于平面的左半部这一概念也适用于平面的左半部这一概念也适用于线性采样系统线性采样系统线性采样系统线性采样系统线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而线性采样系统特征方程可以令脉冲传递函数的分母为零而得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定得到，特征方程根的位置就确定了系统是否稳定为了在在在在z z平面上讨论线性采样系统的稳定性，我们必须知道平面上讨论线性采样系统的稳定性，我们必须知道平面上讨论线性采样系统的稳定性，我们必须知道平面上讨论线性采样系统的稳定性，我们必须知道s s平平平平面和面和面和面和z z平面的对应关系平面的对应关系平面的对应关系平面的对应关系548（（（（2 2））））s s平面与平面与平面与平面与z z平面的映射关系平面的映射关系平面的映射关系平面的映射关系由于由于由于由于z z变换中定义：变换中定义：变换中定义：变换中定义：                            ，设，设，设，设                                        则则则则                                                      ，得，得，得，得这样就有如下图所示的这样就有如下图所示的这样就有如下图所示的这样就有如下图所示的s s平面与平面与平面与平面与z z平面的映射关系平面的映射关系平面的映射关系平面的映射关系549分析分析：：离散系统的特征方程实际上是将离散系统的特征方程实际上是将s s平面的信息，通过平面的信息，通过z z变变换转移到了换转移到了z z平面。

平面考察考察 线性离散控制系统稳定的充要条件线性离散控制系统稳定的充要条件：线性离散闭环控制系：线性离散闭环控制系统特征方程的根的模小于统特征方程的根的模小于1 1，则系统是稳定的则系统是稳定的线性离散闭环控制系统脉冲传递函数为线性离散闭环控制系统脉冲传递函数为则其特征方程为则其特征方程为550例例6-14 已知离散系统结构如下图示，已知离散系统结构如下图示，当当T=1T=1时，分析稳定性时，分析稳定性解解】】所以系统不稳定所以系统不稳定 551劳劳 斯斯 稳稳 定定 判判 据据•在在分析连续系统分析连续系统分析连续系统分析连续系统时，曾应用时，曾应用RouthRouth稳定判据判断系统的稳定判据判断系统的特征根位于特征根位于s s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性•对于对于采样系统采样系统采样系统采样系统，也可用，也可用RouthRouth判据分析其稳定性，但由判据分析其稳定性，但由于在于在z z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用此不能直接应用RouthRouth判据 552代数稳定性判据代数稳定性判据劳斯代数判据无法直接应用在劳斯代数判据无法直接应用在z z平面上，因此引入平面上，因此引入双线性双线性映射映射, ,将将z z平面的点映射到平面的点映射到w w平面上研究。

平面上研究假定假定z z平面上一点平面上一点 对应对应w w平面上一点平面上一点 令令553Ø对对Z Z平平面面上上的的一一点点，，设设在在单单位位圆圆上上，， ，，则则u=0u=0，，对应对应W W平面上的虚轴平面上的虚轴Ø对对Z Z平平面面上上单单位位圆圆内内点点，，对对应应 ，，则则u<0u<0，，对对应应W W平面上的左半平面，为系统的稳定域平面上的左半平面，为系统的稳定域Ø对对Z Z平平面面上上单单位位圆圆外外点点，，对对应应 ，，则则对对应应W W平平面面上上的右半平面，为系统的不稳定域的右半平面，为系统的不稳定域因此可在因此可在W W平面上利用劳斯代数判据分析采样系统的稳定性平面上利用劳斯代数判据分析采样系统的稳定性554例例6-156-15 已知离散系统结构如下图示，当已知离散系统结构如下图示，当T=0.1T=0.1时，分析稳定性时，分析稳定性解解】】劳斯表中第一列为正，劳斯表中第一列为正，系统稳定系统稳定 555稳定性判据稳定性判据556557（（（（3 3）判稳方法）判稳方法）判稳方法）判稳方法①①①①该系统稳定的充分必要条件为：该系统稳定的充分必要条件为：该系统稳定的充分必要条件为：该系统稳定的充分必要条件为：系统闭环特征方系统闭环特征方系统闭环特征方系统闭环特征方程的根程的根程的根程的根       （（（（                                              ））））均分布在均分布在均分布在均分布在z z平面上以原平面上以原平面上以原平面上以原点为中心的单位圆内，即点为中心的单位圆内，即点为中心的单位圆内，即点为中心的单位圆内，即                  （（（（                                                ））））。

②②②②推广的劳斯稳定判据：性采样系统中，对推广的劳斯稳定判据：性采样系统中，对推广的劳斯稳定判据：性采样系统中，对推广的劳斯稳定判据：性采样系统中，对z z的有理多项式，经的有理多项式，经的有理多项式，经的有理多项式，经                                的双线性变换，得到的双线性变换，得到的双线性变换，得到的双线性变换，得到w w的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了为了区别的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了为了区别的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了为了区别的代数方程就可以应用劳斯判据判稳了为了区别s s平面下的劳斯判据，称平面下的劳斯判据，称平面下的劳斯判据，称平面下的劳斯判据，称w w平面下的劳斯判据为推广平面下的劳斯判据为推广平面下的劳斯判据为推广平面下的劳斯判据为推广的劳斯稳定判据的劳斯稳定判据的劳斯稳定判据的劳斯稳定判据558 连续系统，连续系统， ，则系统稳定；，则系统稳定； 离散系统，离散系统， ，则系统稳定则系统稳定 例例6-166-16当当T=0.1T=0.1时，分析稳定性。

求使系统稳定的时，分析稳定性求使系统稳定的K K取值范围取值范围 【【解解】】559令 由【【例例】】已知系统结构如图，分析稳定性与采样周期的关系已知系统结构如图，分析稳定性与采样周期的关系解解】】令令 得得560作业 P159 7, 10(1,2)561562       一般假定外作用为单位阶跃函数一般假定外作用为单位阶跃函数r(t)=1(t)，此时，此时R(z)=z/(z-1)，则系统输出量的，则系统输出量的Z变换函数为变换函数为 时间响应时间响应        然后用长除法，将然后用长除法，将C(z)展成无穷幂级数：展成无穷幂级数：                            C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+…+ Cnz-n        在在C*(t)—t坐标中描出点坐标中描出点 (kT, Ck ), k=0,1,2,…n ，则得阶跃响，则得阶跃响应脉冲序列应脉冲序列则得单位阶跃作用下的输出序列为则得单位阶跃作用下的输出序列为                     C(kT)=Ck ,      k=0,1,2,…n将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标。

将各点用虚线平滑连接，以便分析性能指标6.5.2  采样系统的瞬态响应采样系统的瞬态响应563ccicic0c0zcizc0cic0ci564若若 ，即闭环极点位于右半，即闭环极点位于右半z平面的圆周上，则闭环平面的圆周上，则闭环系统瞬系统瞬态响应为等幅脉冲态响应为等幅脉冲若若 ，即闭环极点位于单位圆内，则，即闭环极点位于单位圆内，则输出响应呈指数衰减输出响应呈指数衰减若若 ，即闭环极点位于单位圆外，则，即闭环极点位于单位圆外，则输出响应呈指数增长，输出响应呈指数增长，发散令令 ，则，则下面分析闭环极点对瞬态响应的影响下面分析闭环极点对瞬态响应的影响1 1、、 为为正实根正实根 ，则对应的瞬态分量，则对应的瞬态分量5655662 2、、 为为负实根负实根 ，则对应的瞬态分量，则对应的瞬态分量若若 ，即闭环极点位于左半，即闭环极点位于左半z z平面的圆周上，则平面的圆周上，则闭环系统瞬态响应为等幅跳跃输出。

闭环系统瞬态响应为等幅跳跃输出若若 ，即闭环极点位于左半，即闭环极点位于左半z z平面的单位圆内，平面的单位圆内，则输出响应呈指数交叉跳跃衰减则输出响应呈指数交叉跳跃衰减若若 ，即闭环极点位于左半，即闭环极点位于左半z z平面的单位圆外，平面的单位圆外，则输出响应呈指数交叉跳跃增长，发散则输出响应呈指数交叉跳跃增长，发散567若若 ，则对应的瞬态响应为振幅衰减的余弦震荡则对应的瞬态响应为振幅衰减的余弦震荡若若 ，则对应的瞬态响应为发散的，则对应的瞬态响应为发散的余余弦震荡和和 也为一对共轭复数，也为一对共轭复数，3 3、、 和和 为为一对共轭复根一对共轭复根 ，即，即568闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式闭环复极点分布与相应的动态响应形式569稳态性能是系统重要性能指标之一，通常用稳态误差表稳态性能是系统重要性能指标之一，通常用稳态误差表稳态性能是系统重要性能指标之一，通常用稳态误差表稳态性能是系统重要性能指标之一，通常用稳态误差表示。

下面讨论一下稳态误差的求法下面讨论一下稳态误差的求法下面讨论一下稳态误差的求法下面讨论一下稳态误差的求法1 1）通过查响应曲线）通过查响应曲线）通过查响应曲线）通过查响应曲线根据线性采样系统的响应曲线根据线性采样系统的响应曲线根据线性采样系统的响应曲线根据线性采样系统的响应曲线                或响应误差曲线或响应误差曲线或响应误差曲线或响应误差曲线                  ，然后在，然后在，然后在，然后在                  情况下，由情况下，由情况下，由情况下，由              与与与与                的差值或直接由的差值或直接由的差值或直接由的差值或直接由响应误差响应误差响应误差响应误差                  求取系统的稳态误差求取系统的稳态误差求取系统的稳态误差求取系统的稳态误差这里这里这里这里        为系统响应的过渡过程时间注意：为系统响应的过渡过程时间注意：为系统响应的过渡过程时间注意：为系统响应的过渡过程时间注意：              是从是从是从是从                    开始计算，是误差变量对于开始计算，是误差变量对于开始计算，是误差变量对于开始计算，是误差变量对于   t t的函数。

在工程上，一般的函数在工程上，一般的函数在工程上，一般的函数在工程上，一般取取取取                    （正好是采样点），或（正好是采样点），或（正好是采样点），或（正好是采样点），或t t 略大于略大于略大于略大于        （不是采样点）（不是采样点）（不是采样点）（不是采样点）的采样点，所对应的时间求稳态误差的采样点，所对应的时间求稳态误差的采样点，所对应的时间求稳态误差的采样点，所对应的时间求稳态误差6.5.3 稳态误差分析稳态误差分析570超调量C(t)C(t)上升时间tr峰值时间tp调节时间ts误差带误差带误差带误差带稳态误差稳态误差稳态误差稳态误差o o1.01.0t t控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标控制系统性能指标571（（（（2 2）应用终值定理求取）应用终值定理求取）应用终值定理求取）应用终值定理求取如图所示系统，如图所示系统，如图所示系统，如图所示系统，e e（（（（t t）为系统误差连续信号，）为系统误差连续信号，）为系统误差连续信号，）为系统误差连续信号，为系统采样信号，由终值定理可以求出线性采样系为系统采样信号，由终值定理可以求出线性采样系为系统采样信号，由终值定理可以求出线性采样系为系统采样信号，由终值定理可以求出线性采样系统的稳态误差为统的稳态误差为统的稳态误差为统的稳态误差为                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       572如图所示的单位反馈的闭环离散系统的如图所示的单位反馈的闭环离散系统的误差脉冲传递函误差脉冲传递函数数为为系统误差系统误差终值定理终值定理 573与连续系统类似，与连续系统类似，根据系统开环脉冲传递函数在根据系统开环脉冲传递函数在z=1的极点的的极点的个数，离散控制系统可分为个数，离散控制系统可分为0型、型、1型型……系统。

系统1、、单位阶跃输入单位阶跃输入定义定义位置误差系数位置误差系数 则对则对0型系统型系统对对1型以上系统型以上系统574则则G1中没有中没有z=1的极点，的极点， ，，2、、单位斜坡输入单位斜坡输入定义定义速度误差系数速度误差系数 则对则对0型系统型系统对对1型系统，型系统，令令 对对2型系统，型系统，575则对则对0型、型、1 型系统型系统3、、抛物线输入抛物线输入则则G1中没有中没有z=1的极点，所以的极点，所以 ，，对对2型系统，型系统，令令 对对3型以上系统，型以上系统，定义定义加速度误差系数加速度误差系数 576稳态误差分析稳态误差分析系统阶跃输入r(t)=1(t)斜坡输入r(t)=t抛物线输入r(t)=t2/20型1/kp∞∞1型01/kv∞2型001/ka577例例6-17 已知采已知采样系系统结构如构如图，求，求单位位阶跃和和单位斜坡位斜坡输入入时的的系系统误差 T=0.1sT=0.1s【【解解】】如果输入为单位阶跃，因为系统为如果输入为单位阶跃，因为系统为1型，故系统无误差型，故系统无误差。

如果输入为单位斜坡时，如果输入为单位斜坡时， 或者或者578例6-18 v已知采样系统的结构如图所示，其中， ，采样周期 秒，求在输入信号 的作用下，系统的稳态误差图6-21579解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为580该采样系统稳定 在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为因此，在输入 作用下的稳态误差为581第七章第七章 状态空间分析设计状态空间分析设计在在状态空间中状态空间中以以状态向量状态向量或或状态变量状态变量描述系统的方法称为系统的状描述系统的方法称为系统的状态空间模型（内部表达）态空间模型（内部表达）ØØ控制系统的两种基本描述方法：控制系统的两种基本描述方法：控制系统的两种基本描述方法：控制系统的两种基本描述方法：          输入输入—输出描述法输出描述法——经典控制理论经典控制理论          状态空间描述法状态空间描述法——现代控制理论现代控制理论ØØ经典控制理论的特点：经典控制理论的特点：经典控制理论的特点：经典控制理论的特点：  (1)  优点：对单入优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。

单出系统的分析和综合特别有效  (2)  缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统单出系统      现代控制理论现代控制理论现代控制理论现代控制理论  (1)  适应控制工程的高性能发展需要，于适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出年代提出  (2)  可处理时变、非线性、多输入可处理时变、非线性、多输入—多输出问题多输出问题  (3) 应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制……582基本概念基本概念–状态：状态：系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在和将来的状况–状态变量状态变量：状态变量指能确定系统运动状态的最少：状态变量指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量数目的一组变量–状态向量状态向量：若以：若以n n个状态变量个状态变量 做为做为向量向量 的分量，则称的分量，则称 为状态向量为状态向量–状态空间状态空间：以状态变量：以状态变量 为基构成为基构成的的n n维空间。

维空间–状态方程状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程的一阶微分方程组称为状态方程–输出方程输出方程：：系统输出量系统输出量y(t) 与状态变量、输入量的与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程关系的表达式称为输出方程 5832.5 2.5 状态空间模型（现代控制理论）状态空间模型（现代控制理论）Ø定义定义在在状态空间中状态空间中以以状态向量状态向量或或状态变量状态变量描述系统的方法称描述系统的方法称为系统的状态空间模型（内部表达）为系统的状态空间模型（内部表达）Ø优点优点–能完全表达出系统的全部状态和性能（内部和外部）能完全表达出系统的全部状态和性能（内部和外部）–能了解系统内部状态的变化特性能了解系统内部状态的变化特性–容易考虑初始条件容易考虑初始条件–适用范围广适用范围广: 时变系统，非线性系统，多输入多输出时变系统，非线性系统，多输入多输出–便于设计便于设计584Ø状态方程的一般形式状态方程的一般形式–单输入线性定常连续系统单输入线性定常连续系统式中常系数式中常系数 与系统特性有关。

与系统特性有关上式可以写成向量矩阵形式：上式可以写成向量矩阵形式：其中其中585–多输入线性定常连续系统多输入线性定常连续系统向量矩阵形式为：向量矩阵形式为：其中其中586Ø输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程输出方程：系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程输出量由系统任务确定或给定输出量由系统任务确定或给定–单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式单输出线性定常连续系统输出方程的一般形式为为式中常系数式中常系数 与系统特性有关与系统特性有关其向量矩阵形式为：其向量矩阵形式为：–多输入－多输出系统的输出方程的一般形式为多输入－多输出系统的输出方程的一般形式为• 其向量矩阵形式为：其向量矩阵形式为：587Ø状态空间表达式：状态空间表达式： 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程称动态方程–A(t):系统矩阵（状态矩阵）–B(t):控制矩阵（输入矩阵）–C(t):观测矩阵（输出矩阵）–D(t):直接传递矩阵― 多输入－多输出系统状多输入－多输出系统状态空间表达式的一般形式为态空间表达式的一般形式为– 单输入－单输出系统状态单输入－单输出系统状态空间表达式的一般形式为空间表达式的一般形式为588对于线性定常系统来说，状态空间模型的标准形式是对于线性定常系统来说，状态空间模型的标准形式是                   系统系统           A结构关系图结构关系图DBC5892.5.2 2.5.2 2.5.2 2.5.2 由微分方程建立状态变量表达式由微分方程建立状态变量表达式由微分方程建立状态变量表达式由微分方程建立状态变量表达式Ø步骤步骤：–直接根据系统的物理机理建立相应的微分直接根据系统的物理机理建立相应的微分( (连续系统）连续系统）或差分（离散系统）方程组。

或差分（离散系统）方程组–针对微分方程，定义一组状态变量，建立针对微分方程，定义一组状态变量，建立状态方程状态方程，，并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的并根据系统输出和状态之间的关系，建立系统的输出输出方程方程 Ø 状态变量的选取状态变量的选取 1 1. . 状态变量的选取是非唯一的状态变量的选取是非唯一的 2. 2. 选取方法选取方法 （（1 1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量状态变量 （（2 2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量如电感电流的变量作为控制系统的状态变量如电感电流i i、电容电压、电容电压u uc c 、质、质量量m m 和速度和速度v v 等 590Ø线性微分方程中线性微分方程中不含有输入函数导数项不含有输入函数导数项的系统的状态空的系统的状态空间表达式间表达式 –选取状态变量：选取状态变量：–则有：则有：591–系统状态空间表达式为：系统状态空间表达式为：592Ø系统输入量中含有导数项系统输入量中含有导数项–其一般形式为：其一般形式为：–应选择以下应选择以下n个变量作为一组状态变量个变量作为一组状态变量–则状态变量如下则状态变量如下593其中其中 令令 则有则有 594–将上式改为矩阵向量将上式改为矩阵向量形式为：形式为：–其中其中d=h0＝＝bn595一般形式：一般形式： 当当式式中中b bn n=0 =0 时时，，还还可可以以按按如如下下规规则则选选择择另另一一组组状状态态变量。

设变量设596d = 0 5972.5.3 2.5.3 由传递函数建立状态变量表达式由传递函数建立状态变量表达式1 1、设线性定常系统的传递函数为有理真分式、设线性定常系统的传递函数为有理真分式 ( (b bn n为零为零) )2 2、传递函数以极点形式给出、传递函数以极点形式给出•系统传递函数只有单实极点（没有重极点）系统传递函数只有单实极点（没有重极点）•系统传递函数含有重实极点情况系统传递函数含有重实极点情况598p 可控标准型可控标准型 599这种形式的状态空间表达式被称为这种形式的状态空间表达式被称为可观测标准型可观测标准型 p 可观测标准型可观测标准型600p 对角阵标准型对角阵标准型(I)写成矩阵形式有对角阵标准型写成矩阵形式有对角阵标准型  601p 对角阵标准型对角阵标准型(II) 如果状态变量选择为如果状态变量选择为那么系统输出则为那么系统输出则为 同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有同样，经过反拉氏变换并展成矩阵形式有 对角阵标准型对角阵标准型 602p 约当标准型约当标准型 称重极点对应的称重极点对应的 为为约当块约当块 6032.5.42.5.4、由状态空间表达式求传递函数阵、由状态空间表达式求传递函数阵若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有若对上式求拉氏变换，并令初始条件为零，则有 整理式得整理式得 根据传递函数阵的定义有根据传递函数阵的定义有7.1 7.1 状态空间的线性变换状态空间的线性变换回顾系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，回顾系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。

会得出不同的系统状态方程所以说系统动态方程是非唯一的所以说系统动态方程是非唯一的虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，但其独立的状态变量的个数是相同产生的动态方程各种各样，但其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系是变量间的线性变换关系605如果我们将各变量次序颠倒，即令：如果我们将各变量次序颠倒，即令：将将代入该动态方程：代入该动态方程：(1)606因此有因此有:上式与（上式与（1 1）相同也就是说（）相同也就是说（1 1）与（）与（2 2）代表的动态方）代表的动态方程是一种线性变换的关系程是一种线性变换的关系进一步，由于上述非奇异的变换矩阵进一步，由于上述非奇异的变换矩阵T T可以有无数种，所可以有无数种，所以系统的动态方程也有无数种以系统的动态方程也有无数种 (2)6077.1.1 线性变换线性变换①①  思路：思路：虽然通过非奇异的线性变换，可以求出无数种系统的动态方虽然通过非奇异的线性变换，可以求出无数种系统的动态方程，但是有几种标准型对我们特别有用，如可控标准型、可程，但是有几种标准型对我们特别有用，如可控标准型、可观标准型、对角标准型和约当标准型。

观标准型、对角标准型和约当标准型 ②②  变换前后系数矩阵关系：变换前后系数矩阵关系： 代入原状态方程，有代入原状态方程，有 P为为nxn的常数非奇异矩阵的常数非奇异矩阵7.1.2 线性变换的不变性线性变换的不变性Ø 线性定常系统的特征方程，特征根与特征向量线性定常系统的特征方程，特征根与特征向量Ø 线性变换的不变性线性变换的不变性    1 传递函数阵的不变性传递函数阵的不变性              2 特征方程和特征值的不变性特征方程和特征值的不变性610•系统特征值的不变性及系统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量–特征值的不变性和系统的不变量特征值的不变性和系统的不变量611612对线性系统进行非奇异变换的目的对线性系统进行非奇异变换的目的: : 便于系统分析与综合设便于系统分析与综合设计1.1. 系统矩阵Ａ对角化、约当化系统矩阵Ａ对角化、约当化2.2. {A,c}{A,c}化为可观测标准型化为可观测标准型   3.       化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型任何一个可控系统，当任何一个可控系统，当A A，，b b 不具有可控标准型时，一定可通过不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。

适当的变换化为可控标准型613可控性矩阵可控性矩阵一个不具有可控标准型的一个不具有可控标准型的可控系统可控系统，可以通过线性变换化为可，可以通过线性变换化为可控标准型控标准型设614变换阵 P 可由以下计算获得：设变换阵　Ｐ(1)　计算(２)　计算615( (３３) )　取出　取出 的最后一行，构成的最后一行，构成p1p1行向量行向量选择选择(４４)　构造　构造(5)　计算　计算P7.2 7.2 线性定常系统状态方程的解线性定常系统状态方程的解线性定常系统状态方程的解线性定常系统状态方程的解7.2.1 齐次状态方程的解齐次状态方程的解 (1) (1) 幂级数法幂级数法幂级数法幂级数法设解为：设解为： 617⑵⑵  拉氏变换法拉氏变换法由由               两边取拉氏变换，两边取拉氏变换， 得得                      sX(s)-x(0)=AX(s)                      (sI﹣A)X(s)=x(0)                      X(s)=(sI﹣A)-1.x(0)两边取拉氏反变换两边取拉氏反变换               x(t)= L-1[X(s)]= L-1[(sI-A)-1 x(0)]                     = L-1 [(sI-A)-1] x(0)比较前式，有比较前式，有eAt= L-1 [(sI-A)-1]               6197.2.2 状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质     ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2 t 2+…+(1/k！！)Aktk+…⑴⑴   ф(0)=I ─初始状态初始状态 (2)⑶⑶    ф-1(t)=ф(-t)，，  ф-1(-t)=ф(t) ----- 可逆性可逆性           ф-1(t-t0)=ф(t0-t)⑷⑷    ф(t1±t2)=ф(t1)ф(±t2) =ф(±t2)ф(t1) ----- 线性关系线性关系           [Φ(t) ]k= Φ(kt) ⑸⑸   x(t2)=ф(t2-t1)x(t1)620 则则         x(t2)=ф(t2)x(0)=ф(t2)[ф-1(t1)x(t1)]                   =ф(t2)ф(-t1)x(t1)=ф(t2-t1)x(t1)（（6））ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)                       = e (t2-t1)Ae(t1-t 0)A  —— 可分阶段转移可分阶段转移∵ ∵ x(t1)=ф(t1)x(0)(7)  e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt    (AB=BA)      e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt   (AB≠BA)(8)  引入非奇异变换引入非奇异变换P，，(9)  两种常见的状态转移矩阵两种常见的状态转移矩阵 621若若A阵为阵为m阶的约当阵，阶的约当阵，若若A为为n阶对角矩阵阶对角矩阵,622例例7-1  试求如下线性定常系统的状态转试求如下线性定常系统的状态转移矩阵移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆和状态转移矩阵的逆            。

解解】】对于该系统，对于该系统，其状态转移矩阵由下式确定其状态转移矩阵由下式确定由于由于其逆矩阵为其逆矩阵为因此因此                    =由于由于                       ,故可求得状态故可求得状态转移矩阵的逆为转移矩阵的逆为6237.2.3 矩阵转移函数矩阵转移函数       的计算的计算方法一方法一    直接计算法直接计算法(矩阵指数函数矩阵指数函数)可以证明，对所有常数矩阵可以证明，对所有常数矩阵A和有限的和有限的t值来说，这个无穷级数都是收值来说，这个无穷级数都是收敛的方法二方法二   线性变换法线性变换法 （对角线标准形与（对角线标准形与Jordan标准形法）标准形法）若可将矩阵若可将矩阵A变换为对角线标准形，那么变换为对角线标准形，那么        可由下式给出可由下式给出式中，式中，P是将是将A对角线化的非奇异线性变换矩阵对角线化的非奇异线性变换矩阵类似地，若矩阵类似地，若矩阵A可变换为可变换为Jordan标准形，则标准形，则        可由下式确定出可由下式确定出624方法三方法三 拉氏变换法拉氏变换法为了求出为了求出         ，关键是必须首先求出（，关键是必须首先求出（sI-A）的逆。

一般来说，当系统矩）的逆一般来说，当系统矩阵阵A的阶次较高时，可采用递推算法的阶次较高时，可采用递推算法例例7-2 考虑如下矩阵考虑如下矩阵,试用线性变换法和拉氏变换两种方法计算试用线性变换法和拉氏变换两种方法计算                                      A【【解解】】线性变换法线性变换法  由于由于A的特征值为的特征值为0和和-2（（                         ），故可求得），故可求得所需的变换矩阵所需的变换矩阵P为为                              P=              因此，由因此，由625拉氏变换法拉氏变换法 由于 可得 因此可得：可得：626 例例7-3  设有一控制系统，其状态方程为设有一控制系统，其状态方程为 在在t0=0时，状态变量的初值为时，状态变量的初值为[x1(0)  x2(0)  x3(0)], 试求该方程的解试求该方程的解 6276286297.2.4. 非齐次状态方程非齐次状态方程                       的解的解⑴⑴  直接法（积分法）直接法（积分法） (2) 拉氏变换法拉氏变换法        sX(s)-x(0)=AX(s)+Bu(s)       (sI-A)X(s)=x(0)+Bu(s)       X(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则则   x(t)=￡￡-1[(sI-A)-1x(0)]+￡￡-1[(sI-A)-1Bu(s)]       (由由eAt=￡￡-1[(sI-A)-1]可得可得) 630例例7-4  求下列系统的时间响应，其中，求下列系统的时间响应，其中，u(t)为为t = 0 时作用于系统的单位阶时作用于系统的单位阶跃函数，即跃函数，即u(t)=1(t)。

解解】】 对该系统对该系统状态转移矩阵为状态转移矩阵为因此，系统对单位阶跃输入的响应为：因此，系统对单位阶跃输入的响应为：即即如果初始状态为零，即如果初始状态为零，即x(0)=0,可将可将x(t)简化为简化为6317.3 7.3 线性定常系统的可控性与可观测性分析线性定常系统的可控性与可观测性分析线性定常系统的可控性与可观测性分析线性定常系统的可控性与可观测性分析Ø线性连续系统的可控性与可观性的概念线性连续系统的可控性与可观性的概念Ø线性连续系统的可控可观判据线性连续系统的可控可观判据Ø对偶原理对偶原理     设线性定常连续系统的状态空间表达式为：设线性定常连续系统的状态空间表达式为： 7.3.1 概念概念632 如果存在一个控制如果存在一个控制u u( (t t) )，能在有限时间间隔，能在有限时间间隔[ [t to o, ,t t1 1] ]内，内，使系统从其一初态使系统从其一初态x x( (t to o) )转移到任意指定的终态转移到任意指定的终态x x( (t t1 1) )，，则称则称此状态此状态x x( (t to o) )在时刻在时刻t to o是可控的是可控的。

若若x x( (t to o) )对所有的时刻都是对所有的时刻都是可控的，则称可控的，则称x x( (t to o) )为一致可控为一致可控若系统的每一个状态都可若系统的每一个状态都可控，控，称系统为状态完全可（能）控称系统为状态完全可（能）控，简称状态可控（只要有，简称状态可控（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）一个状态变量不可控，则系统不可控）1.  可控性可控性定义定义如果能找到一个无约束的控制向量如果能找到一个无约束的控制向量 , ,在有限的时间间在有限的时间间隔隔 内，使任一给定的初始输出内，使任一给定的初始输出 转移到任转移到任一最终输出一最终输出 , ,那么称由上式所描述的那么称由上式所描述的系统为输出可控系统为输出可控的的633 系统在零输入系统在零输入u u( (t t) )＝＝0 0作用下，对任意初始时刻作用下，对任意初始时刻t to o ，，若能在有限时间间隔若能在有限时间间隔[ [t to o, ,t tf f] ]之内，根据从之内，根据从t to o到到t tf f对系统对系统输出输出y(t)y(t)的观测值，唯一地确定系统在的观测值，唯一地确定系统在t to o时刻的状态时刻的状态x x( (t to o) ) ，，则称状态系统则称状态系统x x( (t to o) )是是t to o时刻可观测的时刻可观测的。

若状态若状态在所有时刻都是可观测的，在所有时刻都是可观测的，称该状态为一致可观测的称该状态为一致可观测的 若状态空间中每一个状态都是可观测的，称该系统是状若状态空间中每一个状态都是可观测的，称该系统是状态完全可观测的，态完全可观测的，简称系统可（能）观测简称系统可（能）观测只要有一只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）2 2.  可观测性可观测性定义定义可控标准型：可控标准型： ú úú úú úú úû ûù ùê êê êê êê êë ëé é= = ú úú úú úú úú úú úû ûù ùê êê êê êê êê êê êë ëé é- -- -- -- -= =- -1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL7.3.2.  可控性判据可控性判据 线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：判别阵： 必须满秩即必须满秩即 （（n n为系统维数）为系统维数）判据一判据一：：   如果系统的状态方程为如果系统的状态方程为635试判别其状态的可控性。

试判别其状态的可控性  解：解： 例例7-5  设系统状态方程为：设系统状态方程为：系统可控！系统可控！ 例例7-6  已知三阶二输入系统状态方程已知三阶二输入系统状态方程, 试判别其状态的可控性试判别其状态的可控性 不可控！不可控！ 636                        设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线标准型方程：控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线标准型方程：中，中，  阵不包含元素全为零的行阵不包含元素全为零的行判据二判据二:         例例7-7  试确定如下几个经非奇异变换后的对角线标准型试确定如下几个经非奇异变换后的对角线标准型系统的可控性系统的可控性√√×√√× 例例7-87-8 试判断下列已经非奇异变换成约当试判断下列已经非奇异变换成约当标准标准型的系统的可型的系统的可控性 中，与每个约当小块中，与每个约当小块                          的的最后一行最后一行相对应相对应 的的    阵阵    中的所有那些行，其元素不全为零。

若两个约当块有中的所有那些行，其元素不全为零若两个约当块有相同特征值，此结论不成立相同特征值，此结论不成立 约当标准型约当标准型 判据三：判据三：√√× 判判据据一一: 线线性性定定常常连连续续系系统统状状态态完完全全能能观观测测的的充充分分必必要要条条件件为为可观测性矩阵可观测性矩阵:2.  可观测性判据可观测性判据必须满秩，即必须满秩，即 rankQo=n（（n为系统维数）为系统维数）可观测可观测标准标准型：型：640例例7-9  已知系统的已知系统的A, C阵如下，试判断其可观性阵如下，试判断其可观性例例7-10  试判别如下系统的可观测性试判别如下系统的可观测性解：解：解：解：√√×641的矩阵的矩阵    中不包含元素全为零的列中不包含元素全为零的列                         设设线线性性定定常常连连续续系系统统具具有有不不相相等等的的特特征征值值,  则则其其状状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线标准标准型型:例例7-11  试判别以下系统的状态可观测性试判别以下系统的状态可观测性. 判据二判据二:√√642中中,与每个约当块与每个约当块                          首行首行相对应的矩阵相对应的矩阵   中的中的那些列那些列,其元素不全为零。

其元素不全为零如果两个约当块有相同的特征如果两个约当块有相同的特征值值, 此结论不成立此结论不成立) 约当标准型约当标准型判据三判据三: 643例例7-12  试判别下列系统的状态可观测性试判别下列系统的状态可观测性 √√×644对偶原理对偶原理下面介绍由下面介绍由R.E.Kalman提出的对偶原理，该原理揭示了可控性和可观测性之提出的对偶原理，该原理揭示了可控性和可观测性之间的关系间的关系考虑由下述状态空间表达式描述的系统考虑由下述状态空间表达式描述的系统 S1：：以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S2：：对偶原理对偶原理    当且仅当系统当且仅当系统S1状态可观测（状态可控）时，系统状态可观测（状态可控）时，系统S2才是状态可控（状态可观测）的才是状态可控（状态可观测）的645证明证明 对于系统对于系统S1：：状态可控的充要条件是状态可控的充要条件是n×nr维可控性矩阵维可控性矩阵                                 的秩为的秩为n状态可观测的充要条件是状态可观测的充要条件是n×nm维可观测性矩阵维可观测性矩阵                                           的秩的秩为为n。

                                对于系统对于系统S2：：状态可控的充要条件是状态可控的充要条件是n×nm维可控性矩阵维可控性矩阵                                           的秩为的秩为n状态可观测的充要条件是状态可观测的充要条件是n×nr维可观测性矩阵维可观测性矩阵                                     的秩为的秩为n对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性利用此原理，一个给定对比这些条件，可以很明显地看出对偶原理的正确性利用此原理，一个给定系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断系统的可观测性可用其对偶系统的状态可控性来检检和判断简单地说，对偶性有如下关系：简单地说，对偶性有如下关系：6467.4 7.4 线性定常系统的状态反馈和状态观测器线性定常系统的状态反馈和状态观测器线性定常系统的状态反馈和状态观测器线性定常系统的状态反馈和状态观测器Ø状态状态, ,输出反馈与极点配置输出反馈与极点配置Ø问题的提法问题的提法Ø可配置条件可配置条件( (极点配置定理极点配置定理) )Ø极点配置的算法极点配置的算法6477.4.1 7.4.1 状态状态, ,输出反馈与极点配置输出反馈与极点配置状态反馈状态反馈给定单输入单输出线性定常被控系统给定单输入单输出线性定常被控系统选取线性反馈控制律为选取线性反馈控制律为式中式中K∈RK∈R1×n1×n为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。

为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵下图分别给出了开环控制系统和具有状态反馈的系统的结构图下图分别给出了开环控制系统和具有状态反馈的系统的结构图u uB BR RC Cy yA Ak k- - + ++ ++ +x x(a) (a) 开环控制系统开环控制系统 (b) (b) 闭环反馈控制系统闭环反馈控制系统648将控制将控制                         代入系统代入系统                        ，得到，得到由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征的特征值决定如果矩阵值决定如果矩阵K选取适当，则可使矩阵选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个渐构成一个渐近稳定矩阵矩阵近稳定矩阵矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点的特征值即为闭环系统的极点这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为极点配置问题极点配置问题649 uxy  B ∫  C  A   输出反馈至状态微分输出反馈至状态微分  H-输出反馈输出反馈 r650可配置条件可配置条件_极点配置定理极点配置定理考虑线性定常系统考虑线性定常系统假设控制输入假设控制输入u的幅值是无约束的。

如果选取控制规律为的幅值是无约束的如果选取控制规律为式中式中K为线性状态反馈矩阵为线性状态反馈矩阵定理定理 (极点配置定理极点配置定理)  线性定常系统可通过线性状态反馈任意地线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控该定理对多变量系统也成立该定理对多变量系统也成立证明证明     (对单输入单输出系统对单输入单输出系统) 1、、充分性充分性2、、必要性必要性651极点配置定理极点配置定理_充分性充分性1. 充分性 如果线性系统如果线性系统 状态完全可控，一定存在状态完全可控，一定存在非奇异变换，使其变换为可控标准形定义非奇异线性变换矩阵非奇异变换，使其变换为可控标准形定义非奇异线性变换矩阵P为为P=QW，，其中其中Q为可控性矩阵，为可控性矩阵，式中式中ai为特征多项式的系数：为特征多项式的系数：652定义一个新的状态向量定义一个新的状态向量如果可控性矩阵如果可控性矩阵Q的秩为的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩（即系统是状态完全可控的），则矩阵阵Q的逆存在，并且可将原线性系统的逆存在，并且可将原线性系统                          改写为改写为上式为可控标准形。

选取一组期望的特征值为上式为可控标准形选取一组期望的特征值为                    ，则，则期望的特征方程为期望的特征方程为653设设 由于由于                                                    ，此时该系统的状态方程为，此时该系统的状态方程为相应的特征方程为相应的特征方程为因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输作为控制输入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等通过使通过使s的同次幂系数相等，可得的同次幂系数相等，可得654求解上述方程组，得到 的值，则如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意配置所有的特征值充分性得证655极点配置定理极点配置定理_必要性必要性即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。

现利用反证法证明现利用反证法证明先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK的特征值不可能由线性状态反馈来控制的特征值不可能由线性状态反馈来控制假设原线性系统假设原线性系统                           状态不可控，则其可控性矩阵的状态不可控，则其可控性矩阵的秩小于秩小于n，即，即则必有状态变量与控制则必有状态变量与控制u无关，因此，不可能实现全状态反馈，无关，因此，不可能实现全状态反馈，则不可控子系统的特征值就不能任意配置所以，为了任意配置则不可控子系统的特征值就不能任意配置所以，为了任意配置矩阵矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全可控的的特征值，此时系统必须是状态完全可控的必要性得证必要性得证656极点配置的算法极点配置的算法给定线性定常系统给定线性定常系统                       ，若线性反馈控制律为，若线性反馈控制律为  ，则可由下列步骤确定线性反馈矩阵，则可由下列步骤确定线性反馈矩阵K，使，使A-BK的特征值为的特征值为μ1 , μ2 ,… μn，即闭环系统的期望极点值，即闭环系统的期望极点值(如果如果 μi是复数特征值，则其共轭是复数特征值，则其共轭必定也是必定也是A-BK的特征值的特征值)。

◆考察系统的可控性条件如果系统是状态完全可控的，则可按下考察系统的可控性条件如果系统是状态完全可控的，则可按下列步骤继续列步骤继续◆计算系统矩阵计算系统矩阵A的特征多项式，确定的特征多项式，确定                       的值657◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P若给定的若给定的状态方程已是可控标准形，则状态方程已是可控标准形，则P = I此时无需再写出系统的可控标此时无需再写出系统的可控标准形状态方程非奇异线性变换矩阵准形状态方程非奇异线性变换矩阵P=QW◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为从而确定出从而确定出a1* , a2 *,… an *的值◆最后得到状态反馈增益矩阵最后得到状态反馈增益矩阵K为为658【【例例】】  考虑如下线性定常系统考虑如下线性定常系统利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和和s = -10试确定状态反馈增益矩阵确定状态反馈增益矩阵K解解】】该系统已是可控标准形。

首先需检验该系统的可控性矩阵该系统已是可控标准形首先需检验该系统的可控性矩阵由于可控性矩阵为由于可控性矩阵为得出得出detQ = -1因此，rankQ = 3因而该系统是状态完全可控的，因而该系统是状态完全可控的，可任意配置极点可任意配置极点下面用两种方法求解下面用两种方法求解659方法方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，的特征多项式，求特征值求特征值则则期望的特征方程为期望的特征方程为则则由由可得可得660方法方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为：设期望的状态反馈增益矩阵为并使并使 [sI-A+BK] 和期望的特征多项式相等，可得和期望的特征多项式相等，可得令对应系数相等得令对应系数相等得即即。