第23章 变质量动力学,变质量动力学研究质点系质量变化过程中的动力学问题，它的理论是在经典力学基本定律上建立的，属于经典力学范畴本章将研究变质量物体的运动微分方程，动量定理、动量矩定理及动能定理23.1 基本概念与定理 23.1.1 变质量系统的概念,如果系统的质量或者组成系统的质点，或者两者同时随着时间变化，我们称该系统为变变质量系统a),显然，,和,是非负的单调递增的，,是连续可微的函数23.1.2 变质量系统的动量定理,,（b）,,（23-1）,,（c）,（23-2）,,（23-3）,（23-4）,,变质量质系的动量变化量,（23-5）,变质量系统,的动量变化量，等于常质量系统,的动量变化量与质量增减引起的动量变化之和23-6）,,（23-7）,下面我们来严格推导变质量系统的动量定理d）,,（e）,,（23-8）,其中,是,时刻作用在质系上的外力的主向量，,称作并入（和放出)质量的绝对速度引起的反推力，,和,，,是由于有质点离开质量质系引起的，,是由于有质点并入变质量质系引起的，,变质量质点系动量定理：变质量质点相的动量对时间的导数,等于作用于其上的外力与由于并入(或放出)绝对速度而引起的反推力的矢量和。
23.1.3 变质量系统的动量矩定理,,（23-9a）,（23-9b）,其中,是,时刻作用在质系上的外力对,点的主矩，,可以称作并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力矩，,和,，,是由于有质点离开变质量质系引起的，,是由于有质点并入变质量质系引起的变质量质点系的动量矩定理：变质量质点系对某定点(或质心）的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上外力的合力对该点之矩与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力对该点力矩的矢量和23.2 变质量质点的运动 23.2.1 变质量质点的运动微分方程,,当变质量物体作平行移动，或只研究它们的质心的运动时，可简化为变质点来研究变质量质点是变质量系统的一个简单模型，如果变质量质系的位置和运动的确定与其尺寸无关，我们就可以认为它是一个变质量质点设变质量质点在瞬时,的质量为,，速度为,；在瞬时,，有微小质量,并入，这时质点的质量为,速度为,；微小质量,在尚未并入的瞬时,它的速度为,，如图23-1所示23.2 变质量质点的运动 23.2.1 变质量质点的运动微分方程,,图 23-1变质量质点的运动,,（a）,,（b）,（c）,,（d）,,（e）,,（f）,,(23-10),,(23-11),,(23-12),变质量质点的运动微分方程,式中,是变量，,是代数量。
变质量质点的运动微分方程是求解变质量质点运动规律的基本方程，在形式上与常质量质点运动微分方程相似，只是在右端多了一项,当,，,与,同向对于像火箭等质量不断减小的物体，,，,的方向与燃气喷出火箭的相对速度,方向相反，或,与火箭发射的方向一致因,具有力的量纲且与喷气方向相反，常称为反推力火箭就是靠反推力而加速度的如果并入或放出的质量的相对速度,变为牛顿第二定律的形式即使是这种情况，它与牛顿第二 定律在本质上也不相同，因为式(23-12)中的,是时间,的函数则式(23-12）,23.2.2常用的几种质量变化规律,（i）质量按线性规律变化设变化规律为,，,(23-13),式中,皆为常数，,由,知，其反推力为,(23-14),可见，当,为常量时，反推力也为常量，且与,方向相反该式代表质量时间呈线性变化ii）质量按指数规律变化设变化规律为,(23-16),式中,，,皆为常数由,知，其反推力为,,(23-17),变质量质点的加速度,(23-18),则当,为常量时，,也是常量，即由反推力而引起的加速度为常量23.2.3变质量质点的动能定理,,(23-19),（g）,可写为,(23-20),(23-21),,变质量质点的动能定理：变质量质点动能的微分与放出（或并入）的元质量由于其牵连速度而具有的动能的代数和，等于作用于质点上外力合力的元功与由于并入（或放出）质量的绝对速度引起的反推力所作的元功之和。
23-22),变质量质点动能的微分与并入（或放出）的元质量由于牵连运动而具有的动能之差，等于作用于质点上外力的合力与反推力所作的元功之和23.3 变质量刚体的运动 23.3.1 变质量刚体的定轴转动,如果刚体内至少有一个质点是变质量质点，则称为变质量刚体，我们利用变质量质系动量矩定理来研究变质量刚体的定轴转动设刚体上的变质量质点,到转动轴,的距离,，,和,是分离质量和并入质量，,是刚体的角速度大小，,和,是分离质量和并入质量的绝对速度在垂直,轴的平面,和,是分离质量和并入质量相对质点,的相对速度在垂直,轴的平面内沿切向的分量则在时间,内分离质量和并入质量,为,内沿切向的分量，,对转动轴的动量矩为,(a),(b),,(c),其中,是反推力对,的合力矩d),变质量刚体定轴转动运动微分方程为,(23-23),习题1半径为,的环形刚体在常力矩,作用下绕竖直轴作定轴转动,,时,需要制动为此在刚体的外缘安装两个反推力喷嘴，,,方向沿着环的切向；每秒燃料消耗为,，初始时包括燃料的刚体转动惯量为,试求完全制动刚体所需的燃料转动轴与刚体的对称轴重合当刚体角速度为,喷气速度大小为,，,解:根据式(23-23),有,显然只有在,时才有可能制动，求解上面微分方程得,由,解出制动所需时间，利用,得制动所需燃料为,23.3.2 变质量刚体的定点转动,,（23-24a）,（23-24b）,（23-24c）,其中,是刚体对,轴的惯性矩（依赖于时间），而,和,分别是外力主矩和反推力主矩在,轴上的投影。
23.4 火箭的运动 23.4.1火箭在均匀重力场中的竖直运动,,(a),(23-25),,(23-26),,(23-27),,(b),,(c),,，,(23-28),由此可知，只有在,火箭反推力产生的加速度应该大于重力加速度时火箭才会竖直上升，这就是说，,设燃料质量,给定，由式(23-27)可得燃料耗尽时刻,因为在燃烧结束时,，所有由式(23-27)得,d),考虑到,并引入记号,，得,,(23-29),,，,(23-30),燃料耗尽后，即,，火箭质量保持常数，在,时有速度,，火箭此后上升的最大高度为,,(23-31),,(23-32),火箭上升的总高度,的表达式,由此可知，随着,增加，火箭上升最大高度也增加在,，即燃料瞬间消耗完的情况下，相应的火箭上升最大高度为,,(23-33),图23-2火箭在均匀重力场中的竖直运动 图23-3火箭在引力场外的运动,,,,，,(23-34),由此可知，当,时，即火箭反推力产生的加速度是,取最大值，由式(23-30)得,重力加速度的2倍时，,,(e),,(f),即火箭主动段最长时，火箭上升高度是公式(23-33)给出的一半设变质量质点,在重力场外的真空中运动，如果将火箭看作质点并忽略宇宙介质阻力、引力和光压等，这样的变质量质点可以作为宇宙空间中运动的火箭的模型，那么,，由方程(23-12)可得火箭运动的向量方程,,23.4.2火箭在引力场外的运动,(23-35),,,(23-36),(23-37),(23-38),齐奥尔科夫斯基公式,由此公式可知，火箭的极限速度仅依赖于燃料的相对储备和燃烧物相对速度，火箭极限速度不依赖于质量变化规律（发动机工作机制）；如果给定关系式,（称为齐奥尔科夫斯基数），则极限速度与燃料消耗快慢完全无关。
假设在,时,，,(23-39),23.5 例题编程,,,,图 23-4,图 23-5,。