培优点6 向量极化恒等式平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一 向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝2－2.变式：(1)a·b＝－，a·b＝－.(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2＝2－2.考向1 利用向量极化恒等式求值例1 (1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·＝________.答案 27解析 BD＝＝12，∴AO＝6，OE＝3，∴由极化恒等式知·＝2－2＝36－9＝27.(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． ·＝4，·＝－1，则·的值为________．答案 解析 设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.根据向量的极化恒等式，得·＝2－2＝9n2－m2＝4，①·＝2－2＝n2－m2＝－1.②联立①②，解得n2＝，m2＝.因此·＝2－2＝4n2－m2＝.即·＝.考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围例2 (1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(＋)·的最小值是________．答案 －解析 如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB中点，所以(＋)·＝2·，由极化恒等式得·＝2－2＝2－，因此当P为OC的中点，即||＝0时，(＋)·取得最小值－.(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．答案 －解析 由向量极化恒等式知a·b＝＝≥＝－，当且仅当|2a＋b|＝0，|2a－b|＝3，即|a|＝，|b|＝，〈a，b〉＝π时，a·b取最小值．规律方法 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．答案 解析 依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°，由·＝||·||·cos∠BAD＝－||＝－，得||＝1，因此λ＝＝.取MN的中点E，连接DE(图略)，则＋＝2，·＝[(＋)2－(－)2]＝2－2＝2－.当点M，N段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离，即AB·sin B＝，因此2－的最小值为2－＝，即·的最小值为.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， ·的取值范围是________．答案 [0,2]解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O，则·＝2－2＝2－1.由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]．考点二 等和(高)线解基底系数和(差)问题等和(高)线平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．例3 (1) 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )A. B. C. D．1答案 A解析 方法一 设＝t(0≤t≤1)，则＝＝(＋)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝ .方法二 如图，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝.由图易知，＝.(2)如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为( )A. B. C．2 D．2答案 C解析 如图，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线，则＝x＋y＝2x··＋y＝2x＋y，当M在N点所在的位置时，2x＋y最大，设2x＋y＝k，则k＝＝2，所以2x＋y取得最大值2.易错提醒 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．答案 2解析 方法一 以O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示，则A(1,0)，B，设∠AOC＝α，则C(cos α，sin α)．由＝x＋y，得所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，又α∈，所以当α＝时，x＋y取得最大值2.图(1) 图(2)方法二 令x＋y＝k，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝＝2.专题强化练1．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是( )A. B．2 C. D.答案 B解析 如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝2－2＝2－，所以当P与A(B)重合时，|PE|＝最大，从而(·)max＝2.2.如图，在四边形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，则·等于( )A．64 B．42 C．36 D．28答案 C解析 由·＝2－2＝36－2＝－28，解得2＝64，所以2＝64，所以·＝·＝2－2＝100－64＝36.3．若A，B为双曲线－＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则·的最大值为( )A. B．7C．－7 D．－16答案 C解析 如图，O为AB的中点，·＝2－2，|MO|max＝|OC|＋1＝3，|AB|min＝2a＝8，所以max＝9－×64＝－7.4.如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABDC内任意一点(含边界)，且＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为( )A．[0,1] B．[0,2] C．[0,3] D．[0,4]答案 C解析 如图，当P位于点A时，(λ＋μ)min＝0，当P位于点D时，(λ＋μ)max＝3.5．已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( )A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC答案 D解析 如图所示，取AB的中点E，因为P0B＝AB，所以P0为EB的中点，取BC的中点D，连接DP0，DP，则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE.根据向量的极化恒等式，有·＝2－2，·＝2－2.又·≥·，则||≥||恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC.6．已知等边△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是______．答案 [－2,6]解析 如图所示，取AB的中点D，连接CD，因为△ABC为等边三角形，所以O为△ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2.又由极化恒等式得·＝2－2＝2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，所以·∈[－2,6]．7.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是______．答案 2解析 如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则·＝2－.因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝，当且仅当O，N，M三点共线时取等号．所以·的最大值为2.8.如图，已知点P为等边△ABC外接圆上一点，点Q是该三角形内切圆上的一点，若＝x1＋y1，＝x2＋y2，则|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|的最大值为________．答案 解析 由等和线定理知当点P，Q分别在如图所示的位置时，x1＋y1取最大值，x2＋y2取最小值，且x1＋y1的最大值为＝，x2＋y2的最小值为＝.故|(2x1－x2)＋(2y1－y2)|＝|2(x1＋y1)－(x2＋y2)|≤－＝.。
