3.4基本不等式（第一课时） 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客风车，代表中国人民热情好客 思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？ ab1、正方形、正方形ABCD的的 面积 面积S=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的２、四个直角三角形的 面积和 面积和S’ = =＿＿＿＿３、３、S与与S’有什么 有什么 样的不等关系？ 样的不等关系？ 探究１：探究１：S > S′问：那么它们有相等的情况吗？问：那么它们有相等的情况吗？ ADBCEFGHba重要不等式重要不等式重要不等式重要不等式：： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立。
ABCDE(FGH)ab 思考：思考：你能你能给出不等式出不等式 的的证明明吗？？证明：（作差法）证明：（作差法） 结论：结论：一般地，一般地，对于任意于任意实数数a、、b，，总有有 当且当且仅当当a=b时，等号成立，等号成立文字叙述为文字叙述为: : 两数的平方和两数的平方和不小于不小于它们积的它们积的2 2倍倍. . 适用范围：适用范围： a,b∈ ∈R 替换后得到：替换后得到： 即：即：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 证明：要证证明：要证 只要证只要证①①要证要证①①，只要证，只要证②②要证要证②②，只要证，只要证③③显然显然, ③③是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, ③③中的等号成立中的等号成立. 分分析析法法证明不等式：证明不等式： 特别地，若特别地，若a>0，，b>0，则，则≥通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：当且仅当当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，，b的的算术平均数算术平均数算术平均数算术平均数，， 叫做正数叫做正数a，，b的的几何平均数几何平均数几何平均数几何平均数；；文字叙述为：文字叙述为：两个两个正正正正数的数的算术平均数算术平均数不小于不小于不小于不小于它们的它们的几何平均数几何平均数.适用范围：适用范围： a>0,b>0 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?Rt△△ACD∽∽Rt△△DCB，，ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、、BD、、OD.②②如何用如何用a, b表示表示CD? CD=______①①如何用如何用a, b表示表示OD? OD=______ 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?②②如何用如何用a, b表示表示CD? CD=______①①如何用如何用a, b表示表示OD? OD=______③③OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_____CD＞＞≥如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、、BD、、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab a=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,b∈ ∈Ra>0,b>0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式 例例1：：(1)如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、、宽宽各各为为多多少少时时，，所所用用篱篱笆笆最最短短，，最最短的篱笆是多少？短的篱笆是多少？解：如图设解：如图设BC=x ，，CD=y ，， 则则xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当当且仅当 时，时，等号等号成立成立因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是最短，最短的篱笆是40m. 此时此时x=y=10. x=yABDC若若x、、y皆为正数，皆为正数，则当则当xy的值是常数的值是常数P时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，，x+y有最小值有最小值_______. 例例1：：(2)如如图图，，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，，菜菜园园的的面面积积最大，最大面积是多少？最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，，CD=y ，， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy ≤ 81当且仅当当且仅当x=y时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，时， 菜园面积最大，最大面积是菜园面积最大，最大面积是81m2即即x=y=9ABDC若若x、、y皆为正数，皆为正数，则当则当x+y的值是常数的值是常数S时，时，当且仅当当且仅当x=y时时，，xy有最大值有最大值_______；； ①①各项皆为各项皆为正数正数；；②②和或积为和或积为定值定值；；③③注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y≥≥2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy≤ ≤ S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).14“和定积最大，积定和最小” 变式变式：：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，，CD=y ，， 则篱笆的笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2ABDC得得 144≥≥2xy 当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy ≤ 72即即x=12，，y=6x +2y= 24 x=2y 变式变式：：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，，CD=y ，， 则篱笆的笆的长为矩形花园的面积为矩形花园的面积为xy m2ABDCx + y不是不是 定值定值.2 =24为为 得得 2xy ≤ 144当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2即即 xy ≤ 72即即x=12，，y=6x +2y= 24 x=2y 变式变式：：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设分析：设AB=x ，，BC=24－－2x ，， ABDC 变式变式：：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，，BC=24－－2x ，， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(24－－2x) m2当且仅当当且仅当2x=24－－2x,即即x=6时，等号成立时，等号成立因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2(其中其中2x+(24- -2x)=24 是定值是定值)ABDC 变式变式：：如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？花园的面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，，BC=24－－2x ，， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(24－－2x) m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72 例：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，例：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为其容积为4800m3，深为，深为3m。
如果池底每平如果池底每平方米的造价为方米的造价为150元，池壁每平方米的造价元，池壁每平方米的造价为为120元，怎样设计水池能使总造价最低？元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？最低总造价是多少？3m分析：分析：水池呈长方体形，它的高水池呈长方体形，它的高是是3m，底面的长与宽没有确定底面的长与宽没有确定如果底面的长与宽确定了，水池如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了因此应当考总造价也就确定了因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低总造价最低 根据题意，得由基本不等式与不等式的性质，可得由基本不等式与不等式的性质，可得3m 即即所以，将水池的地面设计成边长为所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元 巩固练习：巩固练习：1、做一个体积为、做一个体积为32m3，高为，高为2m的长方体的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？2、如图，有一张单栏的竖向、如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为张贴的海报，它的印刷面积为72dm2（图中阴影部分），上、（图中阴影部分），上、下空白各宽下空白各宽2dm，左右空白各，左右空白各宽宽1dm，则四周空白部分面积，则四周空白部分面积的最小值是的最小值是_______dm2.1dm2dm 小结：小结：求最值时注意把握求最值时注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x, y 都是正数都是正数, P, S 是常数是常数.(1) xy=P x+y≥≥2 P( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).(2) x+y=S xy≤ ≤ S2( (当且仅当当且仅当 x=y 时时, 取取“=”号号) ).142. 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1. 两个重要的不等式两个重要的不等式“和定积最大，积定和最小” 作作 业业课本课本P100习题习题3.4 A组组 第第2、、3题题 =(x +1)+ - -11x+1 f(x)=x + 1x+1 =1, ≥≥2 (x+1)∙ - -11x+1 当且仅当当且仅当 取取“=”号号.∴∴当当 x=0 时时, 函数函数 f(x) 的最小值是的最小值是 1.x+1= , 即即 x=0 时时, 1x+1 解解: ∵∵ x＞＞-1, ∴∴x+1>0.∴∴1. 求函数求函数 f(x)=x + (x＞＞ -1) 的最小值的最小值.1x+1 配凑系数配凑系数分析分析: x+(1- -2x) 不是不是 常数常数.2=1为为 解解: ∵∵00.12∴∴y=x(1- -2x)= ∙2x∙(1- -2x) 12≤≤ ∙[ ]22x+(1- -2x) 21218= . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 14∴∴当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .14182. 若若 0