《《高等空间机构学高等空间机构学》》YSU李永泉李永泉燕山大学机械工程学院燕山大学机械工程学院20152015年年1111月月 n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理n空间机构的位置分析空间机构的位置分析n运动影响系数原理运动影响系数原理n基于约束螺旋理论的并联机构型综合基于约束螺旋理论的并联机构型综合n空间机构的奇异分析空间机构的奇异分析n机构学的其他问题机构学的其他问题本门课程的主要本门课程的主要学习内容学习内容 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 方向向量方向向量 S 位置向量位置向量 r 线矩线矩S0= r×S 直线表示为直线表示为( (S; ; S0)，满足，满足S·S0=0。
一般，对偶矢量中一般，对偶矢量中 S·S0≠0，，( (S; ; S0)表示一个一般的螺旋表示一个一般的螺旋 基本概念基本概念直线的直线的plücker坐标坐标: •螺旋也称旋量一个旋量表示空间的一组对偶矢量螺旋也称旋量一个旋量表示空间的一组对偶矢量p同时表示矢量的方向和位置同时表示矢量的方向和位置p同时表示运动学中的线速度和角速度同时表示运动学中的线速度和角速度p同时表示刚体力学中的力和力矩同时表示刚体力学中的力和力矩基本概念基本概念 •螺旋一般形式螺旋一般形式 $=(S; ;S0)，，节距节距基本概念基本概念•令令S0=S0-hS于是一般螺旋可以表示为于是一般螺旋可以表示为 $= (S; ;S0+hS) pS·S0≠0, ,h为非零有限值为非零有限值 $=(S; ;S0)表示一般螺旋表示一般螺旋 (S; ;S0+hS)pS·S0=0, ,h=0时 $=(S; ;S0)表示线矢量表示线矢量pS≠0, ,h=∞时时 $=(0; ;S)表示偶量表示偶量 基本概念基本概念 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 •用角速度的线矢量表示转动用角速度的线矢量表示转动: : 与转轴重合的单位线矢量与转轴重合的单位线矢量 $=(S; ;S0) 转动运动的转动运动的plplü ückercker坐标为坐标为 w$= w( S; ;S0) = (w; ;v0)即即角角速速度度的的大大小小与与一一个个表表示示转转轴轴作作用用线线的的单单位位线线矢之积。
矢之积螺旋表示运动螺旋表示运动 •用偶量表示移动用偶量表示移动 刚体移动可以看作是绕距原点无限远处轴线刚体移动可以看作是绕距原点无限远处轴线的瞬时转动，转轴可用一个偶量表示为的瞬时转动，转轴可用一个偶量表示为$=(0; ;S) 移动运动的移动运动的plplü ückercker坐标：坐标： v$= v( 0; ;S) = (0; ;v) 即线速度的大小与偶量即线速度的大小与偶量$之积 移动运动的方向矢量空间任意平移，并不改变刚体移动运动的方向矢量空间任意平移，并不改变刚体的运动状态，的运动状态，( 0; ;S)为一个自由矢量为一个自由矢量螺旋表示运动螺旋表示运动更一般的螺旋运动则可看作移动与转动的合成更一般的螺旋运动则可看作移动与转动的合成 •用线矢量表示力用线矢量表示力: : 与作用力重合的单位线矢量与作用力重合的单位线矢量 $=(S; ;S0) 力的力的plplü ückercker坐标可写为坐标可写为 f$= f( S; ;S0) = (f; ;C0)即力的大小与和约束力重合的单位线矢之积。
即力的大小与和约束力重合的单位线矢之积螺旋表示受力螺旋表示受力 •用偶量表示力偶用偶量表示力偶 力偶是自由矢量，其在刚体内的平移不会改力偶是自由矢量，其在刚体内的平移不会改变对刚体的作用效果变对刚体的作用效果 自由矢量可表示为自由矢量可表示为$=(0; ;S) 力偶的力偶的plplü ückercker坐标坐标 C$= C( 0; ;S) = (0; ;C) 即力偶大小与自由矢量之积即力偶大小与自由矢量之积螺旋表示受力螺旋表示受力力螺旋可看作力线矢与共线的力偶的合成力螺旋可看作力线矢与共线的力偶的合成 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示p转动副转动副p移动副移动副p球副球副 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 螺旋相关性螺旋相关性螺旋相关性的定义螺旋相关性的定义: :当有当有n n个螺旋个螺旋$i=Si+∈∈S0i，，i=1,2…n, ,螺旋线性相关时必可找到一组不全为零螺旋线性相关时必可找到一组不全为零的数的数ωi，使得，使得定理：定理： 螺旋系的相关性与坐标系的选择无关。
螺旋系的相关性与坐标系的选择无关 考虑到螺旋系的相关性与坐标系的选择无关的这个考虑到螺旋系的相关性与坐标系的选择无关的这个定理，为了简明，在分析螺旋系的相关性时我们可以定理，为了简明，在分析螺旋系的相关性时我们可以选最方便的坐标系，使诸螺旋的表达尽可能地简单选最方便的坐标系，使诸螺旋的表达尽可能地简单 线矢和偶量在不同几何条件下的最大线性无关数线矢和偶量在不同几何条件下的最大线性无关数序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢h=0偶量偶量h=∞1共轴112共面平行213平面汇交224空间平行315共面32 序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢h=0偶量偶量h=∞6空间共点337单页双曲面上不相交的直线3-8（a）有公共交线，交角为直角；（b）有公共交线，且交角为一定；（c）有一条公共交线；（d）有两条公共交线；（e）有三条公共交线；44543-----9平行平面，且无公垂线5-10无公共交线，空间交错5- 序号序号几何特点几何特点图示图示线矢线矢h=0偶量偶量h=∞11三维空间任意情况6312两平行线矢和一法向偶量213平面3线矢和一法向偶量314空间平行3线矢及一个相垂直的偶量3 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 分支中的某个运动螺旋分支中的某个运动螺旋$1和分支的约束螺旋和分支的约束螺旋$2互逆，其互逆，其互易积为零互易积为零物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一物理意义：互易积为零的两个螺旋，一个表示物体运动，一个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示约束螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示约束螺旋在运动螺旋方向上没有瞬时功。
在运动螺旋方向上没有瞬时功 螺旋相逆性螺旋相逆性 约束螺旋为约束力线矢约束螺旋为约束力线矢螺旋相逆性螺旋相逆性p对于分支中的转动副，对于分支中的转动副， $1是一个线矢量，即是一个线矢量，即 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有此式子成立的条件是此式子成立的条件是可知：可知：约束力与转动副轴线约束力与转动副轴线 共面（相交或平行）共面（相交或平行）螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢约束螺旋为约束力线矢 p 对于分支中的移动副，对于分支中的移动副， $1是一个偶量，即是一个偶量，即 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有 此式子成立的条件是此式子成立的条件是可知：可知：约束力（反螺旋）与移动副约束力（反螺旋）与移动副 垂直垂直螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力线矢约束螺旋为约束力线矢 p对于分支中的转动副，对于分支中的转动副， $1是一个线矢量，即是一个线矢量，即螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力偶约束螺旋为约束力偶 螺旋相逆性螺旋相逆性 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有 此式子成立的条件是此式子成立的条件是可知：可知：约束力偶（反螺旋）与转动副约束力偶（反螺旋）与转动副 垂直垂直约束螺旋为约束力偶约束螺旋为约束力偶 p对于分支中的移动副，对于分支中的移动副， $1是一个偶量，即是一个偶量，即 根据前面的互易积公式，有根据前面的互易积公式，有可知：可知：约束力偶（反螺旋）与移动副轴线约束力偶（反螺旋）与移动副轴线 始终互逆。
始终互逆螺旋相逆性螺旋相逆性约束螺旋为约束力偶约束螺旋为约束力偶 当螺旋系同时含有若干线矢量和偶量1与此螺旋系相逆的线矢量，必须与所有偶量相垂直且与所有线矢量相交2与此螺旋系相逆的偶量必须与螺旋系的所有线矢量垂直螺旋相逆性螺旋相逆性p两线矢相逆的充要条件是它们共面两线矢相逆的充要条件是它们共面p两个偶量必相逆两个偶量必相逆p线矢与偶量仅当垂直时才相逆线矢与偶量仅当垂直时才相逆p线矢和偶量皆自逆线矢和偶量皆自逆与已知螺旋系相逆的反螺旋与已知螺旋系相逆的反螺旋 Ø螺旋的基本概念螺旋的基本概念 Ø螺旋表示运动和受力螺旋表示运动和受力Ø运动副的螺旋表示运动副的螺旋表示Ø螺旋的相关性螺旋的相关性Ø螺旋的相逆性螺旋的相逆性Ø基于螺旋理论的自由度计算基于螺旋理论的自由度计算n基于螺旋理论的自由度分析原理基于螺旋理论的自由度分析原理 修正修正的的G-KG-K公式：公式：机构自由度计算机构自由度计算M—机构的自由度；机构的自由度；d—机构的阶数（机构的阶数（6- -公共约束数公共约束数 ）；）；n—机构的构件数机构的构件数(包括机架包括机架)；；g—运动副的个数；运动副的个数；fi—第第i个运动副的自由度；个运动副的自由度；v—冗余约束的个数；冗余约束的个数；ζ—机构中存在的局部自由度机构中存在的局部自由度 机构的公共约束机构的公共约束机构的公共约束：机构的公共约束： 与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为与机构中的每个运动螺旋都相逆的约束螺旋称为机构的公共约束。
存在公共约束则意味着机构中任何机构的公共约束存在公共约束则意味着机构中任何一个构件都不能发生这个运动一个构件都不能发生这个运动并联机构的公共约束：并联机构的公共约束： 各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约各分支都能提供同样的约束（约束力应共轴，约束力偶应同向）束力偶应同向） 机构的阶机构的阶机构的阶：机构的阶： 机构运动螺旋系的阶（机构运动螺旋系的阶（RankRank），机构所有构件允），机构所有构件允许的运动维数许的运动维数机构的阶机构的阶 + + 公共约束数公共约束数 = 6= 6 3-RPS机构自由度计算机构自由度计算 3-RPS机构自由度计算机构自由度计算分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：约束螺旋系为：约束螺旋系为： 对对于于这这个个3-RPS3-RPS整整体体机机构构，，3 3个个相相同同分分支支有有3 3个个类类似似的的约约束束力力，，都都过过各各自自分分支支球球副副中中心心并并与与第第一一个个转转动动副副平平行行作作用用于于上上平平台台的的3 3个个约约束束力力就就约约束束了了平平台台的的3 3个个自自由由度度，，限限制制了了包包括括动动平平面面内内的的两两个个移移动动和和绕绕动动平平面面法法线线的的相相对对转转动动。
没没有有公公共共约束约束按照修正的按照修正的G-K公式计算：公式计算：3-RPS机构自由度计算机构自由度计算自由度性质自由度性质 3-RRC机构自由度计算机构自由度计算RRCRRC分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为分别沿为分别沿y和和z轴方向的两个约束力偶轴方向的两个约束力偶 考虑公共约束考虑公共约束 建立同样的分支坐标系分析可知，三个分建立同样的分支坐标系分析可知，三个分支的约束螺旋系均为分别沿支的约束螺旋系均为分别沿y和和z轴方向的两个轴方向的两个约束力偶约束力偶3-RRC机构自由度计算机构自由度计算 考虑公共约束考虑公共约束3-RRC机构自由度计算机构自由度计算 可以看出三个分支有相同的（竖直方向）力偶可以看出三个分支有相同的（竖直方向）力偶分量分量 ，即机构，即机构存在一个公共约束存在一个公共约束共面不汇交共面不汇交的三个约束力偶的三个约束力偶 又对应又对应一个并联冗余约束一个并联冗余约束 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得： 冗余约束冗余约束 对于许多复杂的多环并联机构,除了需要考虑构成公共约束的过约束外,还有一些过约束是在多个分支构成多环并联时候发生的,这里称之为”冗余约束冗余约束”。
求法：求法：当除去公共约束后，其余的 个约束构成一个 系螺旋，如果 则存在冗余约束，冗余约束 4-URU机构自由度计算机构自由度计算URUURU分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为沿为沿y轴方向的约束力偶轴方向的约束力偶 4-URU机构自由度计算机构自由度计算 4 4个共面不平行约束力偶，没有公共约束个共面不平行约束力偶，没有公共约束, ,且只有两且只有两个独立，因此存在两个冗余约束个独立，因此存在两个冗余约束由修正的由修正的G-KG-K公式计算公式计算可得可得 3-UPU机构自由度计算机构自由度计算UPUUPU分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为垂直于为垂直于U U副十字平面的约束力偶副十字平面的约束力偶 3-UPU机构自由度计算机构自由度计算 三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直三个分支的三个约束力偶在空间分别垂直各自的十字头平面，它们各自的十字头平面，它们相互并不平行，彼相互并不平行，彼此线性无关，没有公共约束此线性无关，没有公共约束, ,没有冗余约束没有冗余约束。
三个约束力偶限制了三个转动自由度，上三个约束力偶限制了三个转动自由度，上平台只具有平台只具有三个移动自由度三个移动自由度 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得公式计算可得 平面五杆平行四边形机构自由度计算平面五杆平行四边形机构自由度计算ADAD分支的运动螺旋系：分支的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：分别为沿分别为沿x x和和y轴方向的两个约束力偶和沿轴方向的两个约束力偶和沿z z轴和杆件方向的两个约束力轴和杆件方向的两个约束力xy 可以看出三个分支为动平台提供了两个方向相可以看出三个分支为动平台提供了两个方向相同的约束力偶，和一个共轴的约束力，即机构同的约束力偶，和一个共轴的约束力，即机构存存在三个公共约束在三个公共约束共面平行的三个约束力又对应共面平行的三个约束力又对应一个并联冗余约束一个并联冗余约束 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：平面五杆平行四边形机构自由度计算平面五杆平行四边形机构自由度计算自由度性质自由度性质 空间平行空间平行5H机构自由度计算机构自由度计算空间空间5 5个具有不同节距且轴线平行的螺旋依个具有不同节距且轴线平行的螺旋依次相连，运动螺旋系：次相连，运动螺旋系：约束螺旋系为：约束螺旋系为： 可以看出机构可以看出机构存在两个公共约束，属于四阶机构存在两个公共约束，属于四阶机构。
由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：空间平行空间平行5H机构自由度计算机构自由度计算 当当5 5个螺旋节距相同时，即个螺旋节距相同时，即 此时多了一个反螺旋，即此时多了一个反螺旋，即 此时机构共有此时机构共有三个公共约束，属于三阶机构三个公共约束，属于三阶机构 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得： 3-RRCR并联机构自由度计算并联机构自由度计算取分支坐标系原点与中心点重合，取分支坐标系原点与中心点重合，y y轴沿圆轴沿圆柱副的中心线，柱副的中心线，z z轴垂直向上，则轴垂直向上，则RRCRRRCR分支分支的运动螺旋系：的运动螺旋系：分支的约束螺旋系为：分支的约束螺旋系为：为过中心点垂直向上的约束力为过中心点垂直向上的约束力zy 三个约束力共轴，存在一个公共约束，没有冗余约三个约束力共轴，存在一个公共约束，没有冗余约束束由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得公式计算可得3-RRCR并联机构自由度计算并联机构自由度计算自由度性质自由度性质 DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算分支中含有闭环子链分支中含有闭环子链Delta机构机构用用““自由度等价的串联链以代替自由度等价的串联链以代替局部闭环（广义运动副）局部闭环（广义运动副）”” DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算 DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算4U平行四边形机构的相对自由度平行四边形机构的相对自由度分支分支1 1的运动螺旋系：的运动螺旋系：分支分支1 1的约束螺旋系为：的约束螺旋系为：为沿为沿z轴方向的约束力偶和两轴方向的约束力偶和两U U副中心点连线的力线矢。
副中心点连线的力线矢 DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算4U平行四边形机构的相对自由度平行四边形机构的相对自由度4U4U机构约束螺旋系：机构约束螺旋系：4U4U广义副的自由度的数目和性质：广义副的自由度的数目和性质：绕绕y y轴的转动和沿轴的转动和沿y y轴的移动以及垂直于该方向的移动轴的移动以及垂直于该方向的移动 DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算xy DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算分支运动螺旋系：分支运动螺旋系：分支约束螺旋系为：分支约束螺旋系为：为沿为沿x x和和z z轴方向的约束力偶轴方向的约束力偶 可以看出三个分支为动平台提供了三个方向相可以看出三个分支为动平台提供了三个方向相同的约束力偶，即机构同的约束力偶，即机构存在一个公共约束存在一个公共约束其余三个约束力偶平行于定平台，平面汇交线性相关，三个约束力偶平行于定平台，平面汇交线性相关，最大线性无关数为最大线性无关数为2 2，又对应，又对应一个并联冗余约束一个并联冗余约束 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得：公式计算可得：自由度性质自由度性质DELTA并联机构的自由度计算并联机构的自由度计算 Bennett机构自由度计算机构自由度计算 Bennett机机构构是是由由轴轴线线相相错错的的四四个个转转动动副副构构成成的的单单自由度空间机构。
自由度空间机构 满满足足““封封闭闭形形对对边边的的长长度度相相等等，，扭扭角角相相等等，，且且对对边与扭角的正弦成比例边与扭角的正弦成比例”” Bennett机构自由度计算机构自由度计算 设设AC=2l, BD=2m, AC和和BD的夹角为的夹角为β E, F为为AC 和和BD的中点且的中点且 EF=n选取选取E为原点为原点, x轴沿向量轴沿向量EF, y轴沿轴沿EA根据所满足的几何条件，可得点根据所满足的几何条件，可得点A, B, C, D的的坐标为坐标为 另外另外4 个转动副轴线的方向矢量个转动副轴线的方向矢量可以表示为可以表示为(1)(2) Bennett机构自由度计算机构自由度计算 可得可得Bennett 机构的运动螺旋系为机构的运动螺旋系为 从四个螺旋的表达式容易得到从四个螺旋的表达式容易得到 说明这说明这四个螺旋线性相关四个螺旋线性相关3)(4) 因为因为空间空间3 3条不相交的直线必定不相关条不相交的直线必定不相关，可知运，可知运动螺旋系最大线性无关数目为动螺旋系最大线性无关数目为3 3所以机构运动螺旋。
所以机构运动螺旋的反螺旋数为的反螺旋数为3 3，即，即 由修正的由修正的G-KG-K公式计算可得公式计算可得 此外此外, ,注意到不论注意到不论l, ,m, ,n, ,β 如何变化，式如何变化，式(4)(4)总不变总不变. . 所以所以BennettBennett机构的自由度总为机构的自由度总为1 1Bennett机构自由度计算机构自由度计算 一种混联的空间并联机构自由度计算一种混联的空间并联机构自由度计算 。