目 录1.行列式的定义和性质 11．1定义 11.2 n阶行列式具有的性质 12.行列式的计算 42.1数字型行列式的计算(四种方法) 42.1．1.三角化法 42．1．2递推法 52.1．3．数学归纳法 62．1．4公式法 72.2行列式的概念与性质的例题 82.3抽象行列式的计算 82.4含参数行列式的计算 92.5特殊行列式的解法 92.5．1范德蒙行列式 93.关于的证明 104.行列式应用 124.1行列式性方程组中的应用 124.2 行列式在初等代数中的几个应用 134.2.1 用行列式分解因式 134.2.2 用行列式证明不等式和恒等式 144.3 行列式在解析几何中的几个应用 154.3.1 用行列式表示公式 154.4行列式在平面几何中的一些应用 174.4.1三线共点 174.4.2 三点共线 174.4.3 应用举例 174.5行列式在三维空间中的应用 184.5.1 平面组 184.5.2 点组 214.6行列式在多重积分中的应用 22参考文献: 241.行列式的定义和性质1．1定义（设为n阶）：n阶行列式是取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，表示排列 的逆序数。
1.2 n阶行列式具有的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题n级行列式一共有n!项，计算他就需要做n!(n-1)个乘法当n较大时，n!是一个相当大的数字，直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事因此我们有必要进一步讨论行列式的性质利用这些性质可以化简行列式的计算在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行和列，所以对于某一确定的行中n个元素（譬如αi1,αi2…，αin）来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中元素因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有α11第二组的项都含有αi2等等再分别把i行的元素提出来，就有 （1）其中Aij代表那些含有αij的项在提出公因子αij之后的代数和至于Aij究竟是哪一些项的和我们暂且不管，后面章节再来讨论从以上讨论可以知道，Aij中不再含有第i行的元素，也就是Aij，Ai2, …,Ain全与行列式中第i行的元素无关1．性质（1）行列互换，行列式不变即2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即=k特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样即.4．性质（4）如果行列式中两行相同，那么行列式为零两行相同就是说两行对应元素都相同）5．性质（5）如果行列式中两行成比例那么行列式为零即.6．性质（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变即7．性质（7）对换行列式中两行的位置，行列式反号即2.行列式的计算2.1数字型行列式的计算(四种方法)2.1．1.三角化法例 计算行列式之值解： 从第1行开始,依次把每行加至下一行,得例 计算行列式之值解：把每行均加至第一行,提出公因式,再把第一行的倍分别加到第二行至第n行,得2．1．2递推法 例 计算行列式之值解：把各列均加至第1列，并按第1列展开，得到递推公式继续使用这个递推公式，有 而初始值，所以 例 计算行列式 之值解：按第n行展开，有 ，从而递推地得到，对这些等式分别用1，,,,相乘，然后相加，得到 2.1．3．数学归纳法例 证明①解 我们对用数学归纳法当时，①的左端为按第一行展开，就得到所要的结论假设①对，即左端行列式的左上角是级时已经成立，现在来看的情形，按第一行展开，有++ 这里第二个等号是用了归纳法假定，最后一个是根据按一行展开的公式。
根据归纳法原理，①式普遍成立2．1．4公式法例 计算行列式 之值解：由于,故用行列式乘法公式，得因中，系数是+1，所以2.2行列式的概念与性质的例题例 已知是6阶行列式中的一项，试确定的值及此项所带的符号解：根据行列式的定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和因此，行指标应取自1至6的排列，故，同理可知直接计算行的逆序数与列的逆序数，有亦知此项应带负号2.3抽象行列式的计算例 已知都是4维列向量，且，，则（ ）解：中第1列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变行，就有于是例 若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式（ ）解 由A～B，知B的特征值是那么的特征值是2，3，4，5.于是的特征值是1，2，3，4有公式得，2.4含参数行列式的计算例 已知，求解 将第3行的-1倍加至第1行，有所以2.5特殊行列式的解法2.5．1范德蒙行列式定义：行列式称为n级的范德蒙行列式例 计算行列式之值解 把1改写成，第一行成为两数之和，可拆成两个行列式之和，即分别记这两个行列式为和，则由范德蒙行列式得，故3.关于的证明解题思路：①设证法；②反证法：如从A可逆找矛盾；③构造齐次方程组，设法证明它有非零解；④设法证矩阵的秩；⑤证明0是矩阵A的一个特征值。
例 设(单位矩阵)，证明：证法一：如，则A可逆，那么.与已知条件矛盾证法二：由，有,从而的每一列都是齐次方程组的解，又因，故有非零解，从而证法三：证同上，由于的每一列都是的解，所以，又因，，故，所以证法四：证同上，设是中非零列，则,则，0是A的特征值，故拉普拉斯定理：设在行列式D中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式其中：①级子式：在一个级行列式中任意选定行列位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式，称为行列式的一个级子式②余子式：在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式③代数余子式：设的级子式在中所在的行、列指标分别是则的余子式前面加上符号后称为的代数余子式)例 求行列式.解：在行列式中取定第一、二行，得到六个子式：它们对应的代数余子式为根据拉普拉斯定理4.行列式应用4.1行列式性方程组中的应用设含有个变元的个一次线性方程组为 （1） 设方程组（1）的系数矩阵的秩是, 不失一般性, 假定不等于零的阶行列式是 . 行列式中的元素, 就是矩阵中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列. 我们把看作是未知数, 是已知数, 解方程组(1), 得 （2）式中是行列式的第列元素换以所成的行列式. 也就是.把中第列移到第一列, 得.上式右边的行列式用表示, 行列式是矩阵中去掉第列剩余下的元素所组成. 故.代入（2）式, 得, 或.结论[2]: 方程组（1）中的与成比例, 式中 是从矩阵中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.4.2 行列式在初等代数中的几个应用4.2.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例 分解因式：.解 .例 分解因式: .解 原式.4.2.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例 已知, 求证.证明： 令, 则.命题得证.例 已知 求证.证明 令, 则命题得证.例 已知, 求证.证明 令, 则 而, 则, 命题得证.4.3 行列式在解析几何中的几个应用4.3.1 用行列式表示公式 4.3.1.1用行列式表示三角形面积以平面内三点为顶点的的面积S是 (3)的绝对值.证明 将平面三点扩充到三维空间, 其坐标分别为, 其中为任意常数. 由此可得： , 则面积为 S= .4.3.1.2用行列式表示直线方程直线方程通过两点和的直线的方程为. （4） 证明 由两点式, 我们得直线的方程为.将上式展开并化简, 得此式可进一步变形为此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证.4.3.1.3应用举例例 若直线过平面上两个不同的已知点, , 求直线方程.解 设直线的方程为, 不全为0, 因为点在直线上, 则必须满足上述方程, 从而有这是一个以为未知量的齐次线性方程组, 且不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即.则所求直线的方程为.同理, 若空间上有三个不同的已知点, 平面过, 则平面的方程为.同理, 若平面有三个不同的已知点, 圆过, 则圆的方程为.4.4行列式在平面几何中的一些应用4.4.1三线共点 平面内三条互不平行的直线相交于一点的充要条件是.4.4.2 三点共线 平面内三点在一直线的充要条件是.4.4.3 应用举例例 平面上给出三条不重合的直线:, 若, 则这三条直线不能组成三角形.证明 设与的交点为, 因为,将第1列乘上, 第2列乘上, 全加到第3列上去, 可得：.因为在与上, 所以, 且若与平行, 若也在上交于一点,无论何种情形, 都有不组成三角形.这说明由, 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.5行列式在三维空间中的应用4.5.1 平面组设由个平面方程构成的方程组为 （5）若方程组(5)中的各代以, 并用乘以(5)式两端: 得 （6）叫做点的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵 及 的秩及有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当, 则方程组中各系数全是0. (Ⅱ)当 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解.当,,, 将趋近于无穷大（假设趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这个平面在无穷远重合. (Ⅲ)当, 则在矩阵及中所有二阶行列式全是0. 所以我们有以上等式表示个平面相合成一个平面. (Ⅳ)当 方程的系数中至少有两组数如及满足以下关系式上式表示平平行但不相合. 也就是平面组中个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合. (Ⅴ) 则矩阵及中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设.我们必可求得适合下。