第2节 求线性目标函数的最值【基础知识】名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 [【规律技巧】确定线性最优解的思维过程：线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.对于非线性最优解问题，应理解其几何意义，结合平面几何知识处理.【典例讲解】例1 (1)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于( )A．5B．6C．7D．8(2)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.【答案】(1)B (2)【解析】(1)画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由得∴A(－1，－1)．由得∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝22－1＝3＝m，故m－n＝6.【特别提醒】线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．【变式探究】 (1)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝的最大值为( )A．3B．4C．3D．4(2)(2014北京)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )A．2B．－2C.D．－【答案】(1)B (2)D(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx－y＋2＝0与x轴的交点为A(－，0)．∵z＝y－x的最小值为－4，∴＝－4，解得k＝－，故选D.【针对训练】1、已知为坐标原点，，，，满足，则的最大值等于 .【答案】【解析】，设,如图：做出可行域当目标函数平移到C点取得最大值，解得,,代入目标函数，的最大值为.综合点评：对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理.2、若满足条件的整点恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数的值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：根据数形结合，如图：当 时，区间的整数点为9个，所以．3、定义，设实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B.。
