第五章 二次型一.填空题1.若二次型为正定二次型,则的取值范围为 解: 二次型对应矩阵为 应用二次型为正定二次型的充分必要条件为的顺序主子式全大于零:显然 由得 二.计算题1.设二次型.(1) 写出二次型的矩阵表示;(2) 用正交变换把二次型化为标准型,并写出相应的正交矩阵.解: (1) (2)求解特征多项式: 得特征根为 求解对应矩阵方程得特征向量分别为各自单位化得 记 作正交变换则标准化为 2.设二次型经正交变换化为,其中是三维列向量,是3阶正交矩阵,试求常数解: 记原二次型及其标准型所对应的矩阵分别为和,即 由得 , 即 解得 两多项式相等则对应系数项相等,所以有 解得 .3.设矩阵(1) 已知的一个特征值为3,求; (2) 求矩阵,使为对角矩阵.解:(1) 将3代入特征方程得 解得 (2) 由知 只需求矩阵,使为对角矩阵.计算得 为对称矩阵,其特征值为 对应于的特征向量为 对应于的特征向量为验证以上四个向量已经两两正交,分别单位化得 令则.或者,应用配方法:令 即 则二次型标准化为 所求矩阵为 , .4.考虑二次型.问为何值时,为正定二次型?解: 应用二次型为正定二次型的充分必要条件为的顺序主子式全大于零:二次型对应矩阵为 则应有解不等式组 得 所以当时,f为正定二次型.5. 设分别为阶正定矩阵,试判定分块矩阵是否为正定矩阵.解: 根据正定矩阵定义: 正定的充分必要条件为>0,(对任意X≠0).设 ,则X,Y不全为0,不妨设X≠0,由题意得 所以从而为正定矩阵.6.设矩阵,矩阵其中为实数,为单位矩阵,求对角阵,使与相似,并求为何值时,为正定矩阵.解: 与相似的对角矩阵应以的特征值为主对角元素,所以只需求的特征值.先求的特征值: 的特征值为 设为的属于特征值的一个特征向量),则即的特征值为,其中为的特征值.于是的特征值为,与相似的对角矩阵.当时, 的特征值全大于零,此时为正定矩阵.7.设有n元实二次型其中为实数.试问:当满足什么条件时,二次型为正定二次型?解: 若要为正定二次型需>0(对任意X≠0)成立,其中为n维列向量.由题意知 .其中等号成立当且仅当 方程组仅有零解的充分必要条件是 所以,当时, >0(对任意X≠0)成立.即 时, 为正定二次型.8. 二次曲面:可经正交变换化为椭圆柱面求和.解: 设二次型的矩阵为,由题意知经正交线性替换可标准化为 ,设其标准型对应矩阵为,则矩阵与相似,且解得 所求矩阵既是将二次型标准化的正交矩阵.矩阵的特征值为0,1,4.分别求得其对应特征向量为 将其标准化为 即为所求.9. 设的秩为2,(1) 求及二次型的特征值;(2) 方程表示何种曲面.解: (1) 二次型对应的矩阵为 ,由题意知 所以应有解得令得二次型的特征值为(2) 经正交变换可将方程化为,所以表示椭圆柱面.10. 二次型经正交变换化为.求及所用正交变换.解: 二次型对应的矩阵为 则 由题意得为二次型的特征值,即 解得 又由得 以下求二次型标准化所用的正交变换:矩阵的特征值为1,2,5.计算得它们对应的特征向量分别为 各自单位化为 令,则即为所求正交变换.四.证明题1. 设是m阶正定矩阵,是实矩阵,证明:证明: 充分性:显然是对称矩阵.设为任意非零向量,则因为所以方程组有唯一零解,从而若,则必有.又因为是m阶正定矩阵,所以即必要性.因为,所以对任意非零向量有.其中必有.亦即方程组有唯一零解.由此可得 2. 设为正定矩阵,证明.证明: 设的特征值为,因为为正定矩阵,所以的特征值全大于0.而的特征值为,所以 .3.设为m×n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,已知试证:当时, 为正定矩阵.证明: 所以为对称矩阵.设,则,所以>0, >0, 从而 >0, 即为正定矩阵.豆丁网（DocIn）是全球优秀的C2C文档销售与分享社区。
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