8.3 曲面积分,8.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）,8.3.3 两类曲面积分之间的联系,,8.3.2 对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）,定义8.3.1,设为光滑曲面,,“乘积和式极限”,都存在,,的曲面积分,其中 叫做被积,是定义在 上的一,个有界函数,,或第一类曲面积分若对 做任意分割和局部区域任意取点,,则称此极限为函数 在曲面上对面积,函数, 叫做积分曲面8.3.1 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似则对面积的曲面积分存在在光滑曲面 上连续,, 积分的存在性,,定理 设有光滑曲面,在 上连续,,存在, 且有,,,对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明 由定义知,,,,而,(光滑),说明,可有类似的公式.,1)如果曲面方程为,2)若曲面为参数方程,,只要求出在参数意义下dS,的表达式,,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分 (见本节后面的例4, 例5),2）如，此时投影区域； 如，此时投影区域为3）球面、柱面的面积元素,回顾 球面坐标下的体积元素,例1 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解,思考,若是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,,则,例2,解,（或直接由对称性）,例3 计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解 设,上的部分, 则,,与,原式 =,分别表示 在平面,例4 计算 ，其中 ： 被柱面 割下的有限部分,解,说明 也可往yOz或zOx平面投影而计算此曲面积分，但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。
解 关于xOy平面对称，所以,关于zOx平面对称，所以,，所以,,例5 求,例6,设,计算,解 锥面,,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,,它在 xoy 面上的,投影域为,则,思考 若例3 中被积函数改为,,计算结果如何 ?,例7 求半径为R 的均匀半球壳 的重心解 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,思考题 例7是否可用球面坐标计算 ?,,例8 计算,解 取球面坐标系, 则,例9 计算,其中是球面,利用对称性可知,解 显然球心为,半径为,,,利用重心公式,,例10 计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析 若将曲面分为前后(或左右),则,解 取曲面面积元素,两片,,则计算较繁例11 求椭圆柱面,位于xoy面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S 解,取,,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,备用题1,一卦限中的部分, 则有( ) 2000 考研 ),备用题2 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分的,的面密度,质量 M 解 在xoy面上的投影为,故,3. 设是四面体,面, 计算,解 在四面体的四个面上,同上,。