运运 动动 学学 习习 题题 1-21-41-5 1-61-71-81-91-10 1-111-121-131-141-15 1-161-171-181-191-20 1-211-25 1-271-281-26 1-221-231-24 习题总目录 1-11-3 结束 1-1质点按一定规律沿轴作直线运动，在 不同时刻的位置如下： t/s 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x/m 3.00 3.14 3.29 3.42 3.57 (1)画出位置对时间的曲线; (2)求质点在1秒到3秒时间内的平均速度; (3)求质点在t =0时的位置 目录结束 1.02.5 3.02.01.50.5 3.00 3.15 3.30 3.45 3.60 2.85 2.70 . . . . . t/s x/m 解： 目录 结束 =0.285(m/s) (2)质点在1秒到3秒时间内的平均速度为： (3)由作图法可得到质点在t =0时的位置为： 3.75-3.00 3.0-1.0 v = x =2.71m 目录 结束 1-2.质点沿x 轴运动，坐标与时间的关系为： x = 4t - 2t3，式中x、t分别以m、s为单位。
试 计算： （1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时 速度； （2）1s末到3s末的位移、平均速度； （3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加 速度是否可用 + = 2 a 1 a 2 a 目录 （4）3s末的瞬时速度 计算？ 结束 0x 解： x = 4t - 2t3 （1）Δ = x4t - 2t3 = ×4 8m= 2×2 23= t v = Δx Δ s = 8 2 4 = m 6 2 t v= dx = d 4t226 =4 ×s20 = m ×4 = 3×2 33 ×4 1× 2 13()() 44 m= xΔ = x3x2（2） t v = Δx Δ s = 44 3 22 = m 1 目录 结束 3 6 2 v = 4 t = 64 ×32 s50 = m 2 s24 = m = 12×3 2 s36=m 16 2 v = 4 t = 64 ×12s2 =m(3) 12 t a = dv = d t (4) () 1v3 v 1t3 t a == 502 13 目录 结束 1-3 一辆汽车沿笔直的公路行驶，速度 和时间的关系如图中折线OABCDEF所示 (1)试说明图中OA、AB、BC、CD、 DE、EF等线段各表示什么运动？ (2)根据图中的曲线与数据，求汽车在整 个行驶过程中所走的路程、位移和平均速度。
102030405060 -10 -10 -10 o t/s v/(m.s-1) 目录 结束 =200(m) 解：由v~t 图的总面积可得到路程为： 1 2 (30+10)×5S+ = 1 2 (20×10) 总位移为： =0 Δx 1 2 (30+10)×5 = 1 2 (20×10) 所以平均速度也为零 目录 结束 1-4.直线 1与圆弧 2分别表示两质点A、B 从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的 v-t 图已知B的初速v0=b m/s,它的速率由 v0变为0所化的时间为t1= 2bs, （1）试求B在时刻 t 的加速度； （2）设在B停止时， A恰好追上B，求A的速 度； （3）在什么时候， A、B的速度相同？ t v 2b b o 1 2 目录 结束 v0 =b m/s,t1= 2bs, v0=0 vt~在 坐标系中质点2的运动方程为： t = 2b， v = 0当 v +c()2 + t 2 = v0+c()2 （1） v0 =b；且代入式（1） 得： c = 3 2 b代入式（1）得： 运动方程为： (1)求B在时刻 t 的加速度 目录 t v 2b b o A B ´ v v vt~在 坐标系中质点2的´ += 2 vt 2 v0+c()2 ´ v = v +c 因为´ c t v o ´ ´ ´ 结束 v +c()2 + t 2 = v0+c()2 （1） 得：c = 3 2 b代入（1）化简后得： v + 2 + t 2 = 3bv4b 2 （2） 解得： v = t 2 2 25b 2 3b m 4 .v0 =b 式中取正号，对 t 求导后得： = t dv d a= t 2 25b 2 4 t2 目录 结束 A追上B，A的位移等于B的位移 （2）t = 2b当 时B静止 B的位移： =ò B xtvdΔ = t 2 2 25b 2 3b 4+ 2 1 ()td ò 2b 0 22 = 3 b.2b t 2 25b 2 4 1 tdò 2b 0 + = φ + 125 b 2 0 4 sincos 222 φφ 5 arc sin [ ] t 2 25b 2 4 tdò 2b 0 其中： = 8.79b 2 目录 t v 2b b o A B 结束 = B xΔ =8.79b 2 3b 2 +1.40b 2 tk设A的速度为:= A v A xΔ =ò tvd = td ò 2b 0 tk = 2kb 2 1.40b 2= 2kb 2 = k0.7 = t dv d a = A A 0.7 2 sm = 0.7ttk=A v (3) 当时有：=A v B v =0.7t t 2 25b 23b 4+ 1 22 A xΔ = B xΔ 相遇时A与B的位移相等 ： 解得： t =1.07b 目录 结束 1-5 路灯高度为h,人高度为l,步行速度为 v0 .试求：（1）人影中头顶的移动速度； （2）影子长度增长的速率。
目录 结束 h l bx x h b + l b = 解： d ()x h b + l = dt db dt = db dth l l v0 dx + l = dt db dt l 影子长度增长速率为： 目录 ()xhb + lb = 上式两边微分得到： dx = dt v 0而 结束 = d ()x b + dt = h h l v0 h l db dt = db dth l l v0 . ()xhb + lb = 所以人影头顶移动速度为： 目录 结束 1-6 长度为5m的梯子，顶端斜靠在竖直 的墙上设 t =0 时，顶端离地面4m,当顶端 以2m/s的速度沿墙面匀速下滑时，求： （1）梯子下端的运动方程；并画出x~t 图 和v~t图（设梯子下端与上端离墙角的距离 分别为 x 和 y ） （2）在 t =1s 时， 下端的速度5m 4m v0 目录 结束 =0t x l 2 = y 2 + 2 ty 0=y0 v 20 =+ 2ydy xdx t 0 = y 0 v 0 v l 2 () 2 t 0 y 0 v() = 4 21 = 0.87m/s 将此式微分得： 4y 0=y= dt dy 0= v 目录 dx dt = dt dy x y x y = 0 v() 5m v0 x y l = B A 用 y0=4, v0= 2, t =1代入，得B端 的速度。
结束 vy dt t 0 = y 0 v 0 +c l 2 () 2 t 00 v() ò 1649+ 2 tt 48t dt +c=ò 1649+ 2 tt +c= t =0 x= dx ò x=1649+ 2 tt +c = 0 x = 3 c =0 . . . x=1649+ 2 tt 目录 结束 v = 1649+ 2 tt 48t x=1649+ 2 tt x t 5 3 24.5 v t 3 8 3 8 目录 结束 hh 0 r x y v x 1-7.人以恒定的速率v0运动，船之初速 为0，求：任以位置船之速度加速度 目录 结束 rijxh = rrxh 22 == + r iv x ttd dd d == rxh ttd d d d 22 = +xx xht 22 = +d d v= 0 r iv x tt == d dd d i h = x 3 02 2 v ia v t = d d d = d x 2 2 t h O h 0 r x y v x =i x h 2 + 0 x 2 v 目录 结束 1-8 在质点运动中，已知 x = aekt , dy/dx = -bke-kt, 当 t = 0, y=y0=b 求：质点的速度和轨道方程。
目录 结束 解：ybdk=e kt td òydy = c =ò bk e kt td + = b e kt c + = y t =0 bc + =b = t0当 . . . c =0 轨迹方程：=ae x kt = y be kt { ax = yb t x a d k d = e kt t x a d k d = e kt 2 2 2 t y b d k d =e kt 2 2 +a ak = e kt 2 bk e kt 2 ij. . . 目录 t y b d k d = e kt = y t =0 b =ae x kt 已知： 结束 v d == r td 8tk j + a d == v td 8j 1-9一质点的运动方程为 式中r、t分别以m、s为单位.试求： （1）它的速度与加速度； （2）它的轨迹方程 4rtkji 2 =t++ =1 x4t 2 t = y= z 解： 4z 2 = y =1 x 轨迹方程： 1x = 轨迹为在平面的一条抛物线 目录 结束 （1）以 t 为变量，写出位矢的表达式； （2）描绘它的轨迹； （3）式中 t 以s为单位，x、y以m为单位， 求:质点在t = 4 时的速度的大小和方向。
5x =+ 3t1-10 一质点的运动方程为 2 34ty 2 = +t 1 目录 结束 7 3 =a tg 66.80=a v = 2 73 2 +7.61m/s= 5x =+ 3t 2 34ty 2 = +t 1 ()r j i =+ 5 + 3t 1 2 34t 2+ t()(1)解： + 4y = 5x 1 23 2 () 5x 3 ()3 (2) v3 ()j i=+3+t3ji=+ 7 (3) 目录 结束 1-11 一质点沿光滑的抛物线轨道，从起 始位置（2，2）无初速地滑下，如图问质 点将在何处离开抛物线？抛物线方程为: y2 = 2x，式中x、y以m为单位 y x v (2,2) o 目录 结束 2ydy2dx = atg = y dy 1 dx = 2 dy dx = 2 dy dxy 1 2= y 1 3 = y 1 3 y 1 2(1+) 3 2 y 2 (1+) = 3 2 R= ()1+y 2 y 3 2 ´ ´ ´ 由 y2 = 2x两边微分得： a mg N y x v o 目录 结束 () 1 2 gm v y 2 2m = y 1( )( ) +40 2 = yy + 0 N= 由+340 3 = y y得： a N R cosgm v 2 m = () +40 2 yy+ =其中 有两个虚根，不符题意。
+1 tg 1 acos = a 2 +1y y 2 = R y 2 (1+) = 3 2 a mg N y x v o y 1,= 1 . . . x 1/2= 目录 结束 1-12 在竖直平面内，一光滑钢丝被弯成 图示曲线质点穿在钢丝上，可沿它滑动 已知其切向加速度为 -gsin ，q q 与水平方向夹角 试证：质点在各 处的速率v与其位置 坐标 y 有如下关系： v 2-v02 = 2g (y0-y) 式中 v0与 y0分别为 其初速度与初位置 是曲线切向 q -gsinq q yd sd y x 目录 结束 qg t vd sin d = s yd d = qsin s vd dt sd d = t vd d = g s yd d qgsin = s vd d v = g s yd d vdv = gyd vdv = gyd òò v0 vy 0 y =() 2gv 2 0 yv 2 y0 s yd d。