0.3 0.3 距离空间 1 1 定义和举例定义和举例 2 2 收敛概念收敛概念 3 3 稠密性与完备性稠密性与完备性 第2页 研究对象研究对象函数函数 基本工具基本工具极限，是分析理论的基础极限，是分析理论的基础 定义极限的基础定义极限的基础距离距离 研究对象研究对象算子、 泛函算子、 泛函 （空间到空间的映射）（空间到空间的映射） 首先引入度量工具首先引入度量工具距离距离 然后在度量空间中然后在度量空间中定义极限，建立相应的定义极限，建立相应的 理论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论理论，进一步对每一个具体空间引入相应的结论 在高等数学中 在泛函分析中将上述内容推广 第3页 1 1 定义和举例 设X是非空集合，若 ,,x yXx y 按按一一定定 规规则则 () 0() 0， 且满足 则称实数 , x y()()为元素x不y之间的距离，称X为距离 空间或度量空间，记作 ,XX()()或或 距离空间中的元素 也称为“点” ，用“ ”表示 距离空间 距离公理 （1）非负性 ,,,x yxyx y() 0,() 0,当当且且仅仅当当时时() 0() 0 （2）对称性 ,,x yy x()()()() （3）三角丌等式 , ,,x y zX有有 ( ,)( ,)( ,)x yx zz y 第4页 距离 , ()()是集合 XX（称为乘积空间或笛卡尔积空 间）到实数集合 R1上的二元泛函（或称函数） 。
若定义 , x yxy()() ，， 验证知三条距离公理成立，则 R1按定义为距离空 间，即通常意义下的距离空间，常称欧氏空间 例1： 2）举例 设 R1是非空实数集合， 1 ,Rx y，， 第5页 若若定义定义 2 2 , x yxy()() 若若定义定义 1 1 , ()() xy x y xy 验证知三条距离公理成立， 所以，R1按定义 1 也是距离空间 验证丌满足第三条公理，所以 R1按定义 2 丌是 距离空间 可见，同一空间可以定义丌同的距离，从而形 成丌同的距离空间 第6页 n R，， 12 ,,, T n xx xx ， 12 ,,, T n n yy yyR ii ni yxyx 1 3 max),( ii ni yxyx 1 4 min),( ),(),,( 43 yxyx 能否定义能否定义 n R上的上的距离距离？？ 思考：思考： 第7页 常用不等式常用不等式 q n i q i p n i p i n i ii baba 1 1 1 11 这里ii ba , 是实数或者复数，， 1 11 qp . ( )(, )(xgxf 在在 E 上平方可积上平方可积) 21 1 2 21 1 2 1 n i i n i i n i ii baba 21 2 21 2 )()()()( EEE dxxgdxxfdxxgxf 1： H lder不等式不等式 2：Cauch不等式不等式 第8页 常用不等式（常用不等式（2 2）） kn i k i kn i k i k n i k ii baba 1 1 1 1 1 1 )( 这里 1k ，ii ba , 是实数或复数. k E k k E k k E k dxxgdxxfdxxgxf 11 1 )()())()(( 这里 )(),(xgxf 是 E 上的可测函数， 1k . 3：Minkowski丌等式 第9页 证明：证明：Rn 在在下为距离空间，下为距离空间， 即通常意义下的欧氏空间即通常意义下的欧氏空间. 例例2：： 设设 Rn是是 n 维向量全体构成的空间，维向量全体构成的空间， 1212 ( ,,,),( ,,,)R n nn xx xxyy yy 定义定义 2 1 ,() n ii i x yxy ()() 第10页 如果在 R2中，定义1122 ,()()d x yxyxy ， 验证得知 R2按d也是距离空间，但不欧氏空间是 丌同的度量空间。
特别的，当特别的，当 n=1 时，时， , x yxy()() ，， 当当 n=2 时，时， 22 1122 ,()()x yxyxy()() 第11页 例例3 设设 , C a b 表示定义在表示定义在 , a b 上的所有连续函数的上的所有连续函数的 全体 ( ), ( ) , x ty tC a b ，定义，定义 , ( , )max ( )( ) ta b x yx ty t 则则 , C a b 是距离空间是距离空间 例例1：： 第12页 设设 , (1) p L a bP 表示表示 , a b 上上p方可积的所有函数的方可积的所有函数的 全体，即全体，即 , ( )( ) p b p a L a bx tx tdt ( ), ( ) p x ty tL , ,定义 定义 1/ ( , )( )( ) p b p a x yx ty tdt 则则 , p L a b 是距离空间，常称为是距离空间，常称为 p 方可积的空间方可积的空间 特别的，当p=2 时， 2 , L a b 称为平方可积的空间。
例例4：： 第13页 设设 (1) p lP 是所有是所有 p方可和的数列所成的集合， 方可和的数列所成的集合， 即即 1 满满足足 p ii i xxx ，， 对于对于 1/ 1 , ( , ) p p p iiii i xxyylx yxy, ,定定义义 ，， 则则 p l是距离空间，常称为是距离空间，常称为p方可和的空间方可和的空间 特别的，当 p=2 时, 2 l称为平方可和距离空间 例例5：： 第14页 Remarks: 对不同的对象（集合）对不同的对象（集合） ，，应根据对象的性质定义适当应根据对象的性质定义适当 的、有意义的距离的、有意义的距离 对同一个集合定义不同的对同一个集合定义不同的距离距离，构成不同的距离空，构成不同的距离空 间 第15页 邻域：邻域：设设A A是一个距离空间，是一个距离空间， ,0 xA ，则子集，则子集 ( , )( , ),O xyx yyAx称称为为 的的 邻邻域域 内点、开集内点、开集：设：设xA，若存在，若存在 ( , )O xA ，称，称x是是A A的的 内点。
若内点若A A中所有的点都是内点，则称中所有的点都是内点，则称 A A 是开集 闭集闭集：设：设E E是一个集合，是一个集合，AE，若，若A A的补集的补集 C E AEA 为开集，则称为开集，则称A A为为E E中的闭集中的闭集 距离空间中的开集与闭集距离空间中的开集与闭集（将实数集中概念推广）（将实数集中概念推广） 第16页 极限点 （聚点） 、 导集极限点 （聚点） 、 导集： 设： 设E E是一个集合，是一个集合， ,AE 0 xE ， 若在若在 0 (, )O x 内都含有内都含有属于属于A A而而异于异于 0 x 的点，则称的点，则称 0 x 为为A A的的一个一个极限点极限点（或聚点（或聚点）） A A的极限点的全体称的极限点的全体称 为为A A的的导集导集记作 A 闭包闭包：：A A的导集与的导集与A A的并集称为的并集称为A A的闭包，的闭包， 记作记作A AA 结论结论：闭包一定是闭集：闭包一定是闭集A A是闭是闭集集AAAA 第17页 设设 X 是一个距离空间，是一个距离空间，x n是是 X 中点列，中点列，xX若 0,,, NnN当当时时(, ) n x x （（即即 ,(, )0时时 n nx x ）） 则称点列则称点列 x n在在 X 中按距离中按距离收敛于收敛于 x，记作，记作 lim() nn n xxxx n 或或 此时，称此时，称 x n为收敛点列，为收敛点列，x 为为 x n的极限的极限点点。
收敛概念收敛概念 定义: 收敛点列 第18页 性质性质 1（极限唯一性）（极限唯一性）在距离空间在距离空间 X 中，收敛点列中，收敛点列 x n的极限是唯一的的极限是唯一的 性质性质 2（极限存在的有界性）（极限存在的有界性）在距离空间在距离空间 X 中的收敛中的收敛 点列点列 x n必有界 0 0 A,,0,, (,),A n n XxXrxA xxr 设设及及实实数数使使得得都都有有 称称 有有界界 性质性质 3 （距离的连续性）（距离的连续性） 在距离空间在距离空间 X 中， 距离中， 距离, x y()() 是两个变元是两个变元 , x y的连续泛函即当 的连续泛函即当 00 , nn xx yy 时时 00 (,)(,)() nn xyx yn 第19页 设设x n是距离空间是距离空间 X 中的一个点列，若中的一个点列，若 0,,,,(,) 当当时时 nm Nn mNx x （（即即 ,(,)0时时，， nm n mx x ）） 则称则称 x n为为基本点列基本点列或或 Cauchy 点列点列 例如在例如在 R1中，点列中，点列 1 n x n ，是，是 Cauchy 列，也是收敛列，也是收敛 点列。
点列 定义: 柯西点列 注：R1中有结论：x n是收敛数列x n是Cauchy 数列但在一般的距离空间中，该结论丌成立 第20页 性质性质 4 若若x n是是 ,X（（）） 中的收敛点列，则中的收敛点列，则x n一定一定是是 Cauchy 点列点列；反之，；反之，Cauchy 点列点列不一定是收敛点列不一定是收敛点列 证明：设证明：设 ,(, )0 n nx x时时 ，， (,)(, )(, ) nmnm x xx xxx 则则 ,,(,)0 nm n mx x时时 在有理数空间在有理数空间 Q 中，点列中，点列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 2Q 例例1：： 是是Q中的中的Cauchy点列，但不是收敛点列；点列，但不是收敛点列； 第21页 同理，点列同理，点列 1 (1) n n x n 是是 Q Q 中的中的 Cauchy 点列，但点列，但 不是收敛点列不是收敛点列 设空间设空间 X=(0, 1)，则点列，则点列 1 1 n xX n 按定义按定义 , x yxy()() 是是 X 中的中的 Cauchy 列，但在列，但在 X 中不收中不收 敛（极限值敛（极限值0 (0,1) ） 。
例例2：： 第22页 距离空间的完备性距离空间的完备性 X 为为距离空间距离空间， 若， 若 X 中的任一中的任一 Cauchy 点列都在点列都在 X 中有极限，则称中有极限，则称 X 是完备的距离空间是完备的距离空间 定义: 完备性 结论： 在完备的距离空间中, 收敛点列不 Cauchy 是等价的 第23页 例例 1 Rn 按欧氏距离是完备的距离空间按欧氏距离是完备的距离空间 证：证： 见参考书见参考书 例例 2 有理数空间有理数空间 Q 按欧氏距离是不完备的距离空间按欧氏距离是不完备的距离空间 例例 3 距离空间距离空间 2 l和和 2 , L a b按通常意义下的距离是完备的按通常意义下的距离是完备的 第。