第二章第二章 各向异性各向异性 弹性力学基础弹性力学基础 各向异性各向异性弹性体的本构关系弹性体的本构关系 各向异性各向异性弹性力学基本方程弹性力学基本方程 正交正交各向异性材料的工程弹性常数各向异性材料的工程弹性常数回总目录回总目录2.1 各向异性弹性力学各向异性弹性力学 基本方程基本方程各向异性弹性力学基本方程包括：各向异性弹性力学基本方程包括：2.1(1)1 工程应力方程工程应力方程2 工程应变方程工程应变方程3 平衡方程平衡方程4 几何关系方程几何关系方程5 变形协调方程变形协调方程6 物理方程物理方程工程应力工程应变几何关系方程变形协调方程 （1）变形协调方程（2）平衡方程注：以上关系与各向同性体相同注：以上关系与各向同性体相同物理方程(本构关系本构关系) Hooke 定定理理： 记作记作 =C ， C刚度矩阵，刚度矩阵，可以证明，可以证明， C是对称矩阵，因此它只是对称矩阵，因此它只有有21个独立变量个独立变量物理方程 同样，同样， S也是对称矩阵，它也有也是对称矩阵，它也有21个独立变量个独立变量同样，可用应力分量表示应变分量：同样，可用应力分量表示应变分量：SC-1柔度矩阵。
柔度矩阵 完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料2.2 各向异性弹性体的各向异性弹性体的 本构方程本构方程应变势能密度为：一、完全各向异性（一、完全各向异性（21个弹性常数）个弹性常数）各向各向异性异性体具有耦合现象：剪应力可以引起体具有耦合现象：剪应力可以引起正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然正应变，正应力也可引起剪应变，反之亦然注意：注意：各向各向同性同性体无此耦合现象体无此耦合现象二、有一个弹性对称面（13个弹性常数） 取取xOy坐标面为弹性对称面，坐标面为弹性对称面，取取A与与A为相互对称点，则它们的弹性性能相同即将为相互对称点，则它们的弹性性能相同即将z轴转到轴转到z轴时，应力应变关系不变轴时，应力应变关系不变xy面为弹性对称面，面为弹性对称面，z轴为材料主轴或弹性主轴轴为材料主轴或弹性主轴.有一个弹性对称面的材料此时：此时：z=-z，w=-w，有一个弹性对称面的材料 为保证为保证W值不变值不变,将含有将含有xz和和yz( 4与与 5)一次项的一次项的Cij置为零，只剩下置为零，只剩下13个独立变量个独立变量有一个弹性对称面的材料同理：同理：三、正交各向异性（9个弹性常数）如果具有三个正交弹性对称面，则：如果具有三个正交弹性对称面，则： 正交各向异性材料只有九个独立系数只有九个独立系数（后面再详细讨论）（后面再详细讨论）四、横向同性（5个弹性常数） 各向同性面各向同性面在该平面内，在该平面内，各点的弹各点的弹性性能在各方向上相同性性能在各方向上相同。
假定：假定：1，2，3都是弹性都是弹性主轴，主轴，12面是各向同性面是各向同性面则：则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55横观各向同性材料 又设某点应力状态：又设某点应力状态： 1= ， 2= ， 4= 5 6，有有 将将1、2坐标轴在面内转坐标轴在面内转450到到1 、2，则则 1= 2 30， 6 12 ， 23 31 0：则：则：S662(S11 S12)横观各向同性材料横观各向同性材料只有五个独立系数只有五个独立系数五、各向同性材料（五、各向同性材料（3个弹性常数）个弹性常数） 如果材料任一点、任一方向弹性特如果材料任一点、任一方向弹性特性都相同性都相同有：有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23， S11=S22=S33，S12=S13 =S23， 各向同性材料各向同性材料只有三个独立参数，可以用只有三个独立参数，可以用E、 、G表示实际上只有两个，因为实际上只有两个，因为E、 、G之间有关系之间有关系六、六、正交各向异性材料的正交各向异性材料的 工程弹性常数取值范围工程弹性常数取值范围 单独在单独在j方向有正应力时方向有正应力时i方向上方向上应变与应变与j方向应变之比的负值方向应变之比的负值 工程常数是指弹性模量工程常数是指弹性模量Ei,泊松比泊松比ij和剪切模量和剪切模量Gij，这些常数由实验测定。
这些常数由实验测定分别在各弹性主方向有作分别在各弹性主方向有作用力时的应力应变之比用力时的应力应变之比对正交各向异性材料：对正交各向异性材料：因为因为S是对称的，所以是对称的，所以 对于各向同性材料：对于各向同性材料： E0，G0 , -10，所以，所以C和和S必须正定必须正定一般一般Ei Ej，所以，所以， ij ji 因此共有九个参数因此共有九个参数矩阵正定的定义：矩阵正定的定义：特征值都大于零的实对称矩阵特征值都大于零的实对称矩阵充分必要条件：充分必要条件：所有主子式都大于零所有主子式都大于零 Ai i0(i=1,26)主子式：主子式：在在S（或（或C）中任意取第）中任意取第i1,i2,i3, ik k行和行和i1,i2,i3, ik k列交点处的元素构列交点处的元素构成的行列式称为矩阵成的行列式称为矩阵 S（或（或C）的）的主子式1 2 同理可得：同理可得：3 这些关系式可用于检验材料实验数据这些关系式可用于检验材料实验数据。