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1、太谷五中 张守娥,第三章 圆,8 圆内接正多边形,学 习 新 知,如图所示的是正六边形的蓝色纸板,如果以它的中心为圆心,以中心到顶点的距离为半径画圆,你会有什么发现?,【问题】 六边形和圆有什么样的位置关系?如果先给你一个圆,你能在圆中画出正六边形吗?,圆内接正多边形的概念,如图所示:,【问题】 1.你能从这四幅图中找出多边形吗?它们都是几边形? 2.它们都是什么样的多边形? 3.这些正多边形的顶点都具有什么样的特征?,顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.,如何简单、快速地作出圆的内接正多边形呢?,思考下面的问题: 1.如何作圆内接正三角形?正四边形?正
2、五边形?正六边形? 2.如何作圆内接正n边形?,把一个圆n等分(n3),依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.,把一个圆n等分(n3)，依次连接各分点,就可以作出一个圆内接正多边形.,如图所示，五边形ABCDE是O的内接五边形.,圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径，AOB是这个正五边形的中心角；OMBC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距.,知识拓展 正n边形的性质: 1.正n边形的每个中心角都相等,都等于 ； 2.正n边形的每个外角都相等,都等于 ； 3.正n边形的每个内角都相等,都等于180- .,圆内接正多边形性质的运用,如图所示，在圆内接正六边形ABCDE
3、F中，半径OC=4，OGBC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.,解析 在由半径OC、边长的一半CG、边心距OG组成的RtOGC中，利用勾股定理进行解决是解题的关键，而求解边长,则连接OD得出OCD是等边三角形就可以得出OC=CD=4.,解:连接OD. 六边形ABCDEF为正六边形, COD= =60. COD为等边三角形, CD=OC=4.,在RtCOG中,OC=4,CG= BC= 4=2, OG= 正六边形ABCDEF的中心角为60,边长为4,边心距为2 .,知识拓展 特殊的圆内接正多边形的边长、半径、边心距之比:,用尺规作圆内接正多边形,【做一做】 你能用尺规作一个已知圆的
4、内接正六边形吗?,作法:,(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF.,(1)作O的任意一条直径FC.,(2)分别以F，C为圆心，以O的半径R为半径作弧，与O相交于点E，A和D，B.,【想一想】 你能借助尺规作出圆内接正四边形吗?,作一个O，取O直径为AB，作AB的垂直平分线交O于C，D，顺次连接A，C，B，D，四边形ACBD即为O的内接正四边形.,检测反馈,1.如图所示,O是正方形ABCD的外接圆,点P在O上,则APB等于 ( ) A.30 B.45 C.55 D.60,解析:连接OA,OB.根据正方形的性质,得AOB=90.再根据圆周角定理,得APB=45
5、.故选B.,B,2.如图(1)所示,要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为 ( ),A.6 mm B.12 mm C.6 mm D.4 mm,解析:如图(2)所示,设正多边形的中心是O,其一边是AB,AOB=BOC=60,OA=OB=AB=OC=BC,四边形ABCO是菱形,ACOB,AM=MC,AB=6 mm,AOB=60,cosBAC= ,AM=6 =3 ,AC=2AM=6 (mm).故选C.,C,3.(2014南京中考)如图所示，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则BAD= .,解析:如图所示,设O是正五边形的中心,作出正五边形ABCDE的外接圆,连接OD，
6、OB,则DOB= 360=144,BAD= DOB=72.故填72.,4.(2014江西中考)如图所示,ABC内接于O，AO=2，BC=2 ,则BAC的度数为 .,72,解析:连接OB,OC,作ODBC于D,如图所示,ODBC,BD= BC= 2 = ,在RtOBD中,OB=OA=2,BD= ,cosOBD= ,OBD=30,OB=OC,OCB=30,BOC=120,BAC= BOC=60.故填60.,60,5.已知正六边形ABCDEF的外接圆的半径为2 cm,求这个正六边形的边长、周长和面积.,解:正六边形的外接圆的半径等于边长, 正六边形的边长=2 cm; 正六边形的周长l=62=12(cm); 正六边形的面积S=6 2 =6 (cm2).,
