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1、第9章 多元函数的积分学第一节 重积分的概念与性质一、 重积分的概念引例1 曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底是面上的有界闭区域，它的侧面是以的边界为准线而母线平行于轴的柱面的一部分，它的顶面是曲面，且为上的连续函数，如图所示，现在我们讨论如何计算上述曲顶柱体的体积。（1）分割区域：任取一组曲线网将区域分割成个小闭区域：， （2）近似代替：在中任取一点，用表示的面积，则以为底，以为高的平顶柱体的体积为：，于是有 （3）作和：。（4）取极限：记，当趋于零时，引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有面上的有界闭区域，它在点处的面密度为,且在上连续，现在要计算该薄片的质量。首先作分割，将薄片任意分成个小块
2、，在上任取一点，用表示的面积，就可得到每个小块薄片质量的近似值： 再通过求和即得平面薄片质量的近似值：， 记，则。 1.二重积分的定义 定义 1 设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分割成个小闭区域， 并用表示第个小闭区域的面积。在每个小区域上任取一点，作乘积（近似代替），并作和，记，如果当趋于零时和式的极限存在，则称此极限为函数在有界闭区域上的二重积分，记为，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，及称为积分变量，称为积分区域，称为二重积分号。 定理1 （可积的充分条件）若函数在有界闭区域上连续，则函数在上必可积。 定理2（可积的必要条件）若函数在有界闭区域上可积，则函数在上必有
3、界。 曲顶柱体体积；非均匀平面薄片质量。 若，则由引例1知表示曲顶柱体的体积；若，曲顶柱面位于面的下方，故二重积分为负值，其绝对值恰为曲顶柱体的体积，即为曲顶柱体体积的负值；若在区域上正负相间，则为位于面上方的曲顶柱体体积与位于面下方的曲顶柱体体积的代数和。这一几何意义与一元函数定积分的几何意义完全类似。2.三重积分的定义 定义2 设三元函数是空间有界闭区域上的有界函数，将任意分割成个小闭区域，并用表示第个小区域的体积。现任取一点，作乘积（近似代替），并作和，记，如果当趋于零时和式的极限存在，则称此极限为函数在有界闭区域上的三重积分，记为，即，其中称为被积函数，称为被积表达式，称为体积元素，及
4、称为积分变量，称为积分区域，称为三重积分号，称为积分区域。 与二重积分相类似，若函数在有界区域上连续，则在上的三重积分必存在，即在上可积。 如果于上，表示物体在点的体密度，是该物体所占有的空间闭区域，则在上的三重积分就为该物体的质量，即。二、 重积分的性质性质1 如果函数，都在上可积，则对任意常数，函数在上也可积，且有。这一性质称为重积分的线性性质。 性质2 如果函数在上可积，用曲线将分成两个闭区域，则在和上仍可积，且有：。这一性质称为重积分的区域可加性。 性质3 如果函数在上可积，并且在上，则。 性质4如果函数，都在上可积，且在上有：成立，则。 性质5 如果函数在区域上可积，则在上也可积，且
5、有：。 性质6 如果，则有：。其中表示的面积。 性质7 如果函数在上连续，则在上至少存在一点，使。此性质称为二重积分中值定理，称为函数在区域上的函数平均值。 性质8 如果函数在区域上连续可积，为在区域上的最小值和最大值，则有。 上述性质对三重积分仍然成立。 例 1 估计二重积分的值，其中为圆形区域。 解 对任意均有，故，而，由性质8得。第二节 二重积分的计算法一、直角坐标系下二重积分的计算法 二重积分可表示成 设积分区域可用不等式组，不妨设函数，则应表示以为底、以为顶的曲顶柱体的体积，如图所示：，从而曲顶柱体可视为平行截面为已知的空间体，由定积分可求得其体积为：。从而得积分等式：。 若为型区域
6、：，则。 类似的，如果区域可以用不等式组，则 。 例 1 计算 其中为：（a）由直线，及围成。（b）由直线和抛物线围成。 解 （a）如图所示：，由公式得。 如按型区域计算，则区域可表示为：，由公式得。（b）区域可表示为，由公式得。 本题如按型区域计算麻烦。 例 2 计算，其中为是由直线，及所围成的闭区域。 解 如图所示：区域既是型域，又是型域，若按型区域计算，由公式得。二、极坐标系下二重积分的计算法 有些二重积分的积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量，表达比较简单。这时，可以考虑利用极坐标系来计算二重积分。 假设积分区域满足这样的条件：从极点出发且穿过闭区域内部
7、的射线与的边界至多有两个交点。此时，用极坐标系下的坐标曲线来划分区域，即用过极点的一组射线（=常数）及另一组以为圆心的同心圆（=常数）来划分区域，那么除了包含区域的边界点的小闭区域外，其余小区域均为小曲边四边形，如图所示。考虑一个一般性的小闭区域，即，各自取微小增量，后所形成的小曲边四边形区域，如图阴影部分。在舍去高阶无穷小的情况下，可把它近似地看成一个小矩形域，矩形的两个边长分别为，。由此得到极坐标系下二重积分的面积元素为：。又由直角坐标与极坐标的关系可知，被积函数。由此，我们将二重积分化为极坐标系下的形式，即。此式表明，要将二重积分中的变量由直角坐标化为极坐标，只要把被积函数中的，分别转换
8、成，并将面积元素换成极坐标系下的面积元素即可。 极坐标系下的二重积分，同样可以化为二次积分来计算。 设积分区域可用不等式组，来表示，如图所示。其中，在区间上连续，且。 在上任意取定一个值，对应于这个值，上的点的极径从变到。于是先以为积分变量，在区间上作定积分，记为。又因为的变化区间为，于是再以为积分变量对在上求定积分：。此积分值便为式中对应的二重积分值。从而得到极坐标系下二重积分化为二次积分的公式为。 若积分区域由闭曲线围成，且极点在的内部，如图所示：右边的二次积分为 若积分区域由闭曲线围成，且极点在的边界上，如图所示：此时求出使的两个角度及，则右边的二次积分为。 例 3 计算，其中是由与所围
9、成的圆环在第象限部分。 解 如图所示区域，可用极坐标系下的不等式表示成：，。由公式得。 例 4 计算，其中是由所围成。 解 是由圆曲线所围成，如图所示，其边界曲线的极坐标方程为。由于极点在的边界上，为了确定的积分限，令，则。积分区域在极坐标系下可用不等式表示为：，。由式子得。 例 5 计算，其中为圆域。 解 如图所示，用极坐标系下的不等式表示为，由式子得利用本例所得结果，可以计算一个重要的反常积分。设 ，。由图可见，由于被积函数，所以有由例5知，。而积分所以 。令 ，上式两端趋于同一极限，于是得第三节三重积分的计算法一、直角坐标系下三重积分的计算方法称为三重积分的直角坐标系形式，称为直角坐标系
10、下的体积元素。将积分区域投影到面的投影柱面把的边界曲面分成下边界曲面和上边界曲面，其方程分别为： ：且。现在内任取一点过该点作平行于轴的直线，这直线通过穿入，然后通过穿出，穿入点和穿出点的竖坐标分别为和，于是先对固定的，在区间上作定积分当点在内变化时，该定积分是上的二元函数，即。然后，将在上作二重积分，可以证明，该二重积分就为三重积分的积分值，即。 上式右端的二重积分，可视的类型再化成二次积分，如若为型域，即。则。称此式右端为三次积分。例 1 计算，其中是由三个坐标面及平面所围成的有界闭区域。解 将作为型空间区域，如图所示：则 其中,如图所示。为型平面区域，即，由公式得。如果将空间区域向轴作投
11、影得一投影区间，且能表示成。其中是过点且平行于面的平行截所得的平面区域，则称是型空间区域，其特点是：当时，竖坐标为的平面截所得的是一个平面区域，如图所示：当是型空间区域时，对固定的，我们先在截面区域上作二重积分，而在区间上变动时该积分为的函数，即，然后将在区间上求定积分：。可以证明，该定积分值就是三重积分的值，即。如果二重积分能较容易地算出，其结果对积分也比较方便，那么就可以用公式来计算三重积分。例 2 计算，其中为椭球。解 将视为型空间区域，如图所示：故可表示成：。其中则 。其中表示的面积，由椭圆面积的公式得。于是得 。二、柱面坐标系下三重积分的计算方法设为空间一点，点在面上的投影点的极坐标
12、为，。则这样的三个数，就称为点记为的柱面坐标，如图所示：这里规定，的变化范围为：，。三组坐标面分别为： =常数，即以轴为中心的圆柱面；=常数，即过轴的半平面；=常数，即与面平行的平面。显然，点的直角坐标与柱面坐标的关系为现在讨论怎样把三重积分中的变量从直角坐标变换成柱面坐标，为此，用三组坐标面=常数，=常数，=常数，把区域分成几个小闭区域除了含的边界点的一些不规则小区域外，其余的小区域都是小柱体，先考虑由，各取得微小增量，所构成的小柱体的体积，如图所示：这个体积等于底面积与高的乘积。现在高是，底面积在不计高阶无穷小时为（即极坐标系中的面积元素）。于是得，这就是柱面坐标系中的体积元素，再由关系式
13、就可以将三重积分化为柱面坐标形式，即对于上式右端的柱面坐标系下的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行，化为三次积分时，积分限可根据，在积分区域中的变化范围来确定。例3 利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的闭区域。解 把闭区域投影到面上，得半径为的圆形闭区域，将用极坐标表示为在内任取一点，过该点作平行于轴的直线，此直线通过曲面即穿入内，然后通过平面穿出外，如图所示：因此闭区域可表示成。则。三、球面坐标系下三重积分的计算方法设为空间内一点，则点也可用这样三个有次序的数，来确定，其中为原点到点的距离，为有向线段与轴正向的夹角，为从轴正向来看，自轴正向按逆时针方向转到有向线段的转角，
14、其中为点在面上的投影，如图所示：这样的三个数，称为点的球面坐标，这里，的变化范围是：，。三组坐标面分别为 =常数，即以原点为心的球面；=常数，即以原点为顶点，以轴为中心轴的圆锥面；=常数，即过轴的半平面。则点的直角坐标与球面坐标的关系为现在讨论怎样把三重积分中的变量从直角坐标变换成球面坐标，现用三组坐标面=常数，=常数，=常数把积分区域分成许多小闭区域。考虑由，各取得微小增量，后所成的六面体，如图所示，不计高阶无穷小，可把这个六面体近似地看作长方体，其经线方向的长为，纬线方向的宽为，向径方向的高为，于是得。这就是球面坐标系中的体积元素，再由关系式就可将三重积分化为球面坐标形式，即。对于式中右端
15、的球面坐标系下的三重积分，可把它化成对，对及对的三次积分来计算。若积分区域的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，其球面坐标方程为，则式子右端的三重积分化为，其中。特别地，在上式中时，则为球的体积，即。例 4 计算三重积分，其中是由半径为的球面与半顶角为的内接锥面所围成的闭区域，如图所示：解 由图知，球心在轴上的点处，锥面的顶点在原点，其轴与轴重合，则球面方程为，锥面方程为，可表示成，则第四节 曲线积分一、对弧长的曲线积分1.对弧长的曲线积分问题举例引例1 柱面的面积 设是一张母线平行于轴，准线为面上的曲线的柱面的一部分，其高度是上的连续函数。如图所示。现在来计算的面积。如果的高度是常数，那么的面积就等于它的准线的长度与它的高的乘积，而现在它的高在上的各点处各不相同，因此，不能用上述方法来计算。仿照
