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1、第1课时 直线的倾斜角与斜率【预习导航】1.在直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,把轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线重合所成的角,叫做直线的_,当直线与轴平行时,直线的倾斜角为_,倾斜角的取值范围为_.2.若,则,两点所在直线的斜率_.参考答案: 1.倾斜角, 2.【基础自测】1.若一条直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为( ) (A) (B) (C) (D)2.若一条直线经过,两点,则这条直线的倾斜角为( ) (A) (B) (C) (D)3.若经过,两点的直线的斜率为,则( )(A) (B) (C) (D)4.以下说法正确的是( )(A)直线的倾斜角增大时,其斜率增大(B)直线的倾
2、斜角增大时,其斜率减小(C)斜率为正的直线不可能经过第四象限(D)过第一、二、三象限的直线斜率为正参考答案: 1.C 2.A 3.B 4.D【典例剖析】题型1: 倾斜角与斜率的概念例1 在下列四个命题中,正确的有_个.(1)在坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率；(2)直线倾斜角的取值范围为；(3)若直线的倾斜角为,则此直线的斜率为；(4)若直线向上的方向与轴正方向所成角为,则直线的倾斜角为或.思路分析根据倾斜角与斜率的定义对各个命题逐一进行判断即可.解由于当直线的倾斜角为时,其斜率不存在,故(1),(3)均不对；由倾斜角的定义可知直线倾斜角的范围为,故(2)不对；对于(4),当时,直线的
3、倾斜角为,符合题意；当直线向上的部分在轴左侧时,直线的倾斜角为,当直线向上的部分在轴左侧时,直线的倾斜角为,符合题意；当时,直线的倾斜角为,符合题意；故(4)正确.综上可知,正确的命题个数为.规律技巧掌握直线的倾斜角与斜率的概念是解决此类问题的关键.1已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析：，总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之
4、，亦成立.变式训练下列叙述中不正确的是( )A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应B.每一条直线都有且只有一个倾斜角C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或D.若直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为；解:当直线的倾斜角时,没有意义,从而可知D选项不正确,答案为D.2如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为，斜率为k，则 ()Aksin0 Bkcos0Cksin0 Dkcos0解析：显然k0，cos0.答案：B变式：直线过两点，则直线的倾斜角的取值范围为 。（2010山东潍坊，模拟）直线的倾斜角的范围是A B C D【答案】B解析：由直线，所以直线的斜率为设直线的倾斜角为，则又因为，即，所以题型
5、2: 直线的斜率公式及其应用2已知ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知BAO=OAC=30直线AB的倾斜角为180-30=150，直线AC的倾斜角为30，kAB=tan150= kAC=tan30=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件直线向上方向轴正向小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.若三点共线,求实数的值.解:点共线,即.解得.变式训练变式：1.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)
6、(ab0)共线，则+的值等于_.答案：【变式1】如图，直线的斜率分别为，则( )A BC D【答案】由题意，则本题选题意图：对倾斜角变化时，如何变化的定性分析理解.选B.【变式1】过两点，的直线的倾斜角为，求的值【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或经检验不适合，舍去.故【变式2】为何值时，经过两点(-，6)，(1，)的直线的斜率是12【答案】，即当时，两点的直线的斜率是123.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2k3，则下列说法中一定正确的是 ()Ak1k21 Bk2k31 Ck10 Dk20解析：结合图形知，k10.答案：C5已知两点A(1，
7、5)，B(3，2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是_解析：设直线AB的倾斜角为2，则直线l的倾斜角为，由于02180，0 90，由tan2，得tan，即直线l的斜率为.答案：题型3: 直线的倾斜角与斜率关系的应用例3 设点在函数的图像上,且,求的最大值和最小值.思路分析由消元可将原问题转化为函数求解；由可看成点与坐标原点连线的斜率来求解.在此,我们用后者.解在函数的图像上的点为,的点为,又由于,故表示线段上的点与坐标原点连线的斜率,而, 故的最大值为,最小值为.规律技巧本题将代数式的几何意义进行了挖掘,是数形结合法的典型应用,值得大家学习和借鉴.另外需要注意的是,本题中的
8、在临界状态与之间,而有的题目可能在临界状态之外,需要注意体会.6.已知两点A(3,4)、B(3，2)，过点P(2，1)的直线与线段AB有公共点.(1)求直线的斜率k的取值范围.(2)求直线的倾斜角的取值范围.变式训练设点在函数的图像上,且,求的取值范围.解:在函数的图像上的点为,的点为,又由于,故表示线段上的点与坐标原点连线的斜率,而, 故或.10.若关于x的方程|x1|kx0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是_解析：数形结合在同一坐标系内画出函数ykx，y|x1|的图象如图所示，显然k1或k0时满足题意. 答案：k1或k011(2009青岛模拟)已知点A(2,3)，B(5,2)，若直
9、线l过点P(1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是_解析：如图所示，kPA1，直线PA的倾斜角为，kPB1，直线PB的倾斜角为，从而直线l的倾斜角的范围是，答案：，例6.已知两点M(2，3)、N(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是( ) A.k或k4 B.4k C. k4 D.k4【课时作业】一、选择题1.过点的直线的倾斜角为( )(A) (B) (C) (D)答案:A. 因.2.若过点的直线的斜率为,则的值为( )(A) (B) (C) (D)答案:D. 由得.3.若过两点的直线的倾斜角为锐角,则的取值范围为( )(A) (B)(C)
10、 (D)答案:B. 由可得.4.下列各组中,三点共线的是( )(A)(B)(C)(D)答案:C. 由斜率公式计算可得答案.二、填空题5.若直线的倾斜角为,则该直线的斜率为_；若直线的斜率不存在,则该直线的倾斜角为_.答案:,不存在.6.若点所在直线的斜率与点所在直线的斜率相等,则实数的值为_.答案:. 由得.7.已知直线的斜率分别为,若点的坐标分别为,则点的坐标为_.答案:. 设点的坐标为,则由题意可得,且,于是可解得.8.若将直线沿轴负方向平移三个单位,再沿轴正方向平移一个单位后,又回到了原来的位置,则原直线的斜率为_.答案:. 设是原直线上任意一点,则平移两次后的点也在原直线上,由此求得的
11、斜率即可.三、解答题9.已知直线过点,根据以下条件求实数的值.(1)直线的倾斜角为；(2)直线的倾斜角为；(3)点也在直线上.解:(1)因,故.(2)因,故.(3)因,故.10.已知为坐标原点,且点在函数的图像上,求直线倾斜角的取值范围.解:由题意可知函数的图像是下图中的曲线段,其中点分别为和.从而可求得:,于是直线的斜率满足:或.又由于,且,故可得:或,且.解得:或.另外,直线的倾斜角能取到.综上可知,直线倾斜角的取值范围为.一、选择题1.直线与直线的位置关系是() A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合答案:B 由题意可知直线的斜率为,直线的斜率为,且,故两直线垂直.2.过点,且与平行的直
12、线的方程为()A. B.C. D.答案:A 由于直线的斜率为,故所求直线方程为,也即是.3.若直线:与平行,则在两坐标轴上的截距和为()A. B. C. D.答案:C 由两直线平行可得,再依次令得,令得,从而可得.4.过点,且与垂直的直线的方程为()A. B.C. D.答案:D 由于直线的斜率为,故所求直线方程为,也即是.二、填空题5.若直线,的斜率分别是一元二次方程的两个不同实根,则直线与的位置关系为_答案:垂直 由韦达定理可知两直线斜率之积为,故两直线互相垂直.6. 若过两点的直线平行于直线,则_.答案:. 由题知,故.7.若直线平行于,则的值为_.答案:或. 由两直线平行可得:,解得或.
13、经检验,当或时,两直线均平行而不重合,符合题意.8.顺次连接点,及得到的四边形为_答案:直角梯形. 由四点坐标可得四边所在直线的斜率依次为:,. 从而可得,以及,故是直角梯形.三、解答题9.已知直线与直线:平行,且直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为,求直线的方程.解得）.故直线的方程,也即是过点的直线的方程为,从而由可解得.解法2：的坐标都不满足直线的方程，点在直线上. 如图,设,则,且有, ,将,的值代入,可解得,则,从而,.ODC（-1,-1）BA（1,2）xy解:由直线与直线:平行可设直线的方程为:,然后令得,令得,从而得,解得.所以,直线的方程为或.10.直线是的一条内角平分线,而点是的两个顶点,求顶点的坐标
