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1、第十二届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛第十二届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛 本科甲、乙组试题本科甲、乙组试题 （2000 年 10 月 14 日 上午 9:0011:30） 准考证号 姓名 学校 注意：本考题共九题注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题甲组九题全做，乙组只做前七题. 一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回） 1若 2 0 tan(1 cos ) lim2 ln(1 2 )(1) x x axbx xce + = + ，则= a. 2若 2 0 z x y = ，且当时，；当0x =sinzy=0y =，sinzx=，则= z. 3
2、0 1 ! n n n = + = . 4设幂级数的收敛域为，则幂级数 0 (1)n n n ax = + ( 4,2) 0 (3)n n n nax = 的收敛区间为 . 5 2 111 () 0 x t tdt edx = . 6设 1 1,2, xxx yyeyeye =+都是某二阶常系数线性微分方程的解，则此二阶常系数线性微分方 程为 . 7设数列 n x满足： 11 sin(2)sin 11 n nxn nn n a收 敛 ， 其 中 . 1 1 ( )( ) n n n k af kf x = = dx 三、设为椭球面S 22 2 1 22 xy z+=的上半部(，点0z )PS，
3、为在点处的切平面，SP( , , )x y z 为原点到平面的距离，求 3 ( , , ) S Izx y z dS=. 四 、 设 一 元 函 数当时 有 连 续 的 二 阶 导 数 ， 且， 又( )uf r=0r 2 ； （3）证明 11 2(1)2(1) n a nn ， 若( )yf x=的 一 个 拐 点 是， 则 0 (,3)x = . 8 444 1 (1) 1 dx xx+ = +. C 9设具有一阶连续导数，且( )f x(0)0,(0)1f f =，则 2 0 0 2 0 ( ) lim ( ) x x x f t dt f t dt = . 10设为正整数，是(1中1m
4、 n a)n mx + + n x的系数，则 0 1 n n a = = . 二、设在上具有二阶导数，且( )f x0,1(1)(0)(1)(0) 0ffff=，证明：存在(0,1)，使得 ( )( )ff=. 三、某公司生产两类产品，根据经验，欲使产量分别增加单位和xy单位，需分别增加x单位和y单 位的投资，这时销售总收入将增加34xy+单位，现用A单位的投资生产这两类产品，问如何分配投资， 才能使销售总收入增量最大？ 四、设 4 0 tan,1 n n axdx n = ， （1）证明数列 n a收敛； （2）证明 2 1 , 1 nn aan n += 2 ； （3）证明 11 2(1)
5、2(1) n a nn 时，积分 2 3 1 1 a a dx x+ 之值最大. 9 2 2 2 0 lim x x t x e t e dt x + = . 10圆 222 ()(0)xRyrrR+=0， 使 得 在(0, )上( )0fx. 于 是 存 在， 使 得N 11 ,( )0,()( ) 1 nN fff nn 111 ( )( )(0)( ),0ffff nnn = 1 n ，即 1 ( ) lim(0)0 1 n f n fa n =.故 1 1 ( ) n f n = 发散. 七、解：设表示从开始下雪起到时刻t时的积雪深度，则由下雪的速度是恒定的，有( )h t d d h
6、 C t =（常数）. 设( )x t为扫雪机从开始下雪起到时刻t走过的距离，则由假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，有扫 雪机前进的速度与积雪深度成反比，即 d d xk th =，其中k为常数.设T为开始下雪到扫雪机启动工作这段时 间，则当时，当+1 时，tT=0x =tT=2x =，tT=+2 时，3x =.于是由 d d h C t =，解得 1 hCtC=+. 因时，故0t =0h = 1 0C=，从而.把它代入hCt= d d xk th =，于是 d ( d xAk A ttC =为常数）.分离变量 后积分，得ln(xAtB B=+为任意常数）.把tT=时，0x =，tT=+1
7、 时，2x =，t+2 时，T=3x =代 入有，解得 ln0 ln(1)2 ln(2)3 ATB ATB ATB += += += 51 0.618 2 T =（小时） ，约等于 37 分 5 秒，即雪是从上午 7 点 22 分 55 秒开始下的. 八、证：由于 ( ) d ( ) d ( )max( ) b b a a a x b fxx fx x f xf x ，故只需证 00 44 ( )max( )() , b a x b a fx dxf xf xxa baba = b，对在和( )f x 0 ,a x 0 , x b分别用拉格朗日中值 定理有 01 ( )( )( )() 0 f
8、 xf afxa= 0 ， 02 ( )()()()f bf xfbx=，则 22 11 21 ( ) d( ) d( )d()( ) b a fxxfxxfxxff = = 00 0 0000 ()() () ()( f xf xba f x bxxabxxa = ) ，而 2 00 () ()() 4 ba bxxa ，因此 0 4 ( ) d() b a fxxf x ba . 九、证明：设，这里 (1)21 021 ( ) kn n k fxCC xCx + =+? k+ 0121 (1)!(1)! (1)!, 2! kki knk CkaCaCa i +1k i+ + =?. 由罗尔
9、定理， 在函数的两个零点之间其导数在某点为零， 因此 (1)( )k fx 有1nk+相异的实根， 而 ( )( )k fx 有个实根，且nk ( )( )k fx的根位于 (1)( )k fx 的每两个相邻根之间. 假设同号，不失一般性可设，从而，则 1,kk aa +111 0,0 kk aa + 02 ,0C C (1)( )k fx 在点0x =左方 减，右方增，而为极小值. ( )(1) 0 (0)0,(0)0 kk ffC = 若 ( )( )k fx无其它根，则到处有，因而 (1)(1) 0 ( )(0)0 kk fxfC = (1)( )k fx 也无实根，矛盾！ 若 0 x是
10、 ( )( )k fx的与0x =相邻的根，则在 0 与 0 x之间的区间上，这与 (1) 0 ( )0 k fxC (1)( )k fx 在 此区间上存在根相矛盾！ 第十三届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题答案第十三届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题答案 一、填空题： 1. 2； 2. 1 2 ； 3. 3 8 ； 4. 3=； 5. 10 39 17! 2 ； 6. 44 1 x x+ ； 7. 2； 8. 222 4111 () 15abc +； 9. ； 10. 42xz =0 1 m m . 二、作辅助函数或，则在0，1上满足罗尔定理 的条件，且或，则由罗尔定理的结论知存在
11、( )( ( )( ) x F xf xfx e=+( )( ( )( ) x F xf xfx e=( )F x ( )( )( ) x F xfxf x e=( )( ( )( ) x F xf xfx e= (0,1)，使得( )0F=，即( )( )ff=. 三、 （1）当0 4 x 且(0)(0)1=,则 (0) x = . 解:应填.因为将代入方程,可得30t =(0)0x=.在方程两边对t求导,得cos( ( ) ( )( )0tx tx tt+=,于 是得,在此方程两边对t求导,得(0)2 x = 2 sin( ( )( )( ( )( )( )0tx t xtx t x tt
12、+=,于是可得 . (0)3 x = 7设,是全平面,则 sin 02 ( ) 0 xx f x = 其他 D( ) () D f x f yx dxdy = . 解:应填.因为仅在区域 2 (1 cos2)( ) ()f x f yx 1: 2,0Dxyxx2+内非零, ( ) () D f x f yx dxdy =. 1 22 2 0 ( ) ()sin sin()(1 cos2 x Dx f x f yx dxdydxxyx dy + = ) j8设向量,且二元可微分函数在点处有34 ,43uij vi=+ ? ? ( , )f x yP10,17 PP ff uv = ，则 P df
13、= . 解:应填10.因为15dxdy+ 34 6 55 P fff uxy = , 43 17 55 P fff vxy =+= ,解得 10 P f x = ,15 P f y = .所以 P df=10. 15dxdy+ 9幂级数 1 1 (1ln(1) n n n n = + x的收敛域为 . 解:应填 1.因为当时,1)0x ln(1)1 1 2 x x x + . 所以 1 1 2(1) limlim1,1 1 2 n nn n an r a n + + =.易知1x = 时级数收敛, 1x =时级数发散. 10设连续非负函数满足,则( ) ()1()f x fxx= + )的值.
14、 解:令 1 x t =, 0 222 0 lnln 1() xt Idxdt xaat + + = + , 令 u at a =, 0 2 2222 00 lnlnlnln ln 1()1() ttua IdtdtduIa atataua + + = = = + + , 所以ln 2 Ia a =. 三、(10 分)已知方程log b a xx=存在实根,常数,求应满足的条件. 1,0ab, a b 解:设( )log b a f xxx=, 1ln ( ) ln b bxa fx xa =,驻点 1 0 1 ln b x ba = . 当 0 0xx.因为 3 111 sin 6nn n ,所以 1 3 . 4由拉格朗日中值定理有,其中0( ( ) 1 xx exe = x 1)x 其他 Da是常数),是全平面,则二重积分( ) () D f x f yx dxdy = . 解:应填.因为 2 4a( ) ()f x f yx仅在区域 1: 2,0Dxyxx2+内非零, ( ) () D f x f yx dxdy
