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1、 核心素养提升练 六十四古 典 概 型(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一布袋中放有红,黄球各一个,它们除颜色外其他都一样.小明从布袋中摸出一个球后放回去摇匀,再摸出一个球.小明两次都摸出红球的概率为()A.0.5B.0.25C.0.125D.0.75【解析】选B.由树状图可知共有4种可能,两次都摸出红球的有1种,所以小明两次都摸出红球的概率为=0.25.【误区警示】注意区别两类问题(1)有序、无序的问题在进行某些试验(如摸球)中,在摸取过程中要考虑球的先后顺序(有序),有时就不需要考虑先后顺序(无序),前后要保持一致.(2)放回抽取与不放回抽取的问题摸球等问题有“取后放
2、回”和“取后不放回”两种情况,取后放回的可以继续选取已取到过的球.2.从集合A=-2,-1,2中随机选取一个数记为a,从集合B=-1,1,3中随机选取一个数记为b,则直线ax-y+b=0不经过第四象限的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.从集合A,B中随机选取后,组合成的数对(a,b)有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1),(-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3),共9种,要使直线ax-y+b=0不经过第四象限,则需a0,b0,共有2种满足,所以所求概率P=.3.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是(
3、)A.B.C.D.【解析】选D.由题意得,(a,b)有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8),共12种取法.若满足logab为整数,则仅有a=2,b=8和a=3,b=9两种情况,所以logab为整数的概率为=.4.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空位相邻的概率为()A.B.C.D.以上都不对【解析】选C.可以把这三个空座位分成两组,2个相邻的,1个单一放置的,则三个人的坐法(不考虑空座位)共有=6种,再把两组不同的空座位插入三个人产生的四个空挡里,共有=12种,所以不同的坐法有6
4、12=72种,而所有的坐法有=120种,故所求概率为=.5.(2018合肥质检)某校组织由5名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在“学生A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的前提下,学生C第一个出场的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.方法一:当学生A最后一个出场时,有=18种不同的安排方法;当学生A不是最后一个出场时,有=36种不同的安排方法,所以满足“A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的所有不同安排方法有18+36=54种.其中“C第一个出场”的结果有=18种,则所求概率为=,选项A正确.方法二:“A和B都不是第一个出场,B不是最后一个出场”的安排方法中,另
5、外3人中任何一个人第一个出场的概率都相等,故“C第一个出场”的概率是.6.(2018南昌模拟)甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”,为庆祝兄弟相聚甲发了一个6元的红包,被乙、丙、丁三人抢完,已知三人均抢到整数元,且每人至少抢到2元,则丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元,记为(x,y,z),则基本事件有:(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合丙获得“手气王”的
6、有4个,所以丙获得“手气王”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率:P=.7.(2019合肥模拟)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图所示.某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区H,则他经过市中心O的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知,此人从小区A前往小区H的所有最短路径为:ABCEH,ABOEH,ABOGH,ADOEH,ADOGH,ADFGH,共6条.记“此人经过市中心O”为事件M,则M包含的基本事件为:ABOEH,ABOGH,ADOEH,ADOGH,共4个,所以P(M)=,即他经过市中心O
7、的概率为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018温州十校模拟)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为_.【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.答案:9.已知A,B-3,-1,1,2且AB,则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为_.【解析】所有的基本事件(A,B)为(-3,-1),(-3,1),(-3,2),(-1,-3),(-1,1),(-1,2),(1,-3),(
8、1,-1),(1,2),(2,-3),(2,-1),(2,1),共12种,其中(-3,-1),(-1,-3),(1,2),(2,1)这4种能使直线Ax+By+1=0的斜率小于0,所以所求的概率P=.答案:10.(2018张家口模拟) 在高三某班的元旦文艺晚会中,有这么一个游戏:一盒子内装有6张大小完全相同的卡片,每张卡片上写有一个成语,它们分别为意气风发、风平浪静、心猿意马、信马由缰、气壮山河、信口开河,从盒内随机抽取2张卡片,若这2张卡片上的2个成语有相同的字,就中奖,则该游戏的中奖率为_.【解析】2张卡片上的2个成语有相同的字的抽取方法有6种:(意气风发,风平浪静),(意气风发,心猿意马)
9、,(意气风发,气壮山河),(心猿意马,信马由缰),(信马由缰,信口开河),(气壮山河,信口开河).6张卡片中随机抽取2张,共有15种情况,故所求概率为=.答案:【变式备选】(2018抚州模拟)如图所示是某市2017年4月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市,并停留3天.该同志到达当日空气质量重度污染的概率为_.【解析】某同志随机选择4月1日至4月12日中的某一天到达该市,并停留3天,基本事件总数n=12,4月1日至4月12日空气质量重度污染的天数有5天,即
10、该同志到达当日空气质量重度污染包含的基本事件个数m=5,所以该同志到达当日空气质量重度污染的概率P=.答案:(15分钟30分)1.(5分)若xA的同时,还有A,则称A是“好搭档集合”,在集合B=的所有非空子集中任选一集合,则该集合是“好搭档集合”的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.由题意可得,集合B的非空子集有25-1=31个,其中是“好搭档集合”的有:1,共7个,所以该集合是“好搭档集合”的概率为P=.2.(5分)(2019广安模拟)从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数,则该三位数能被3整除的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.从0,1,2,3这4个数字中
11、选3个数字组成没有重复数字的三位数:332=18个,三位数是3的倍数,需要满足各个数位上的数之和是3的倍数,有两种情况0,1,2和1,2,3.由0,1,2组成没有重复数字的三位数:22=4(个),和1,2,3组成没有重复数字的三位数:=6(个),所以一共有:4+6=10(个),所以该三位数能被3整除的概率为=.【变式备选】 用两个字母G,A与十个数字0,1,2,9组成5位的车牌号码,两个字母不能重复,且每个号码中都包含这两个字母.其中两个字母排在前两位的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.总的基本事件的个数为103,其中两个字母排在前两位的情况有103,由古典概型的概率公式,得P=.3.(
12、5分)(2018成都模拟)如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_.【解析】 依题意记题中的被污损数字为x,若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩,则有(8+9+2+1)-(5+3+x+5)0,x7,即此时x的可能取值是7,8,9,因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率P=0.3.答案:0.34.(15分)(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?(2)设抽
13、出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.【解析】(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.(2) 从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,A,G,B,C,B,D,B,E,B,F,B,G,C,D,C,E,C,F,C,G,D,E,D,F,D,G,E,F,E,G,F,G,共21种. 由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为A,B,A,C,B,C,D,E,F,G,共5种.所以,事件M发生的概率为P(M)=.
