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1、第10讲 一阶与二阶系统的 时域响应,知识点1：一阶系统的时域响应,数学模型 能够用一阶微分方程描述的系统为一阶系统，其传递函数为 其中T一阶系统的时间常数 。,惯性环节,一阶系统单位阶跃响应,当r(t)=1(t)时，一阶系统的输出c(t)称为单位阶跃响应，记作h(t)。,，,系统输入为单位阶跃函数，有,则系统输出的拉氏变换为,对输出响应进行拉氏反变换，得,讨论： 1是稳态分量，由输入信号决定。 是瞬态分量（暂态分量），它的变化规律由传递函数的极点-1/T或时间常数T决定。 当时间t趋于无穷大时，瞬态分量按指数衰减到零。,一阶系统单位阶跃响应的典型数值 所以，一阶系统的单位阶跃响应是一条指数上
2、升、渐近趋于稳态值的曲线。,性能指标,1.调整时间ts 经过时间3T4T，响应曲线已达稳态值的95%98%，可以认为其调整过程已完成，故一般取ts=(34)T。 2. 稳态误差ess 系统的实际输出h(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即 3. 超调量Mp 一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，故系统无振荡、无超调，Mp=0。,一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号r(t)=(t)时，系统的输出称为单位脉冲响应，记为g(t)。 当r(t)=(t)， 即R(s)=1时， 有,t=0时的斜率？,例1.,设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为 ，则闭环系统单位阶跃响应的调整时间 以及闭环单位阶跃响
3、应的稳态误差为（ ）,知识点2 二阶系统的时域响应,二阶系统的数学模型 典型二阶系统的 结构图如图3-14所示， 其闭环传递函数为 或,典型二阶系统结构图,其中 系统的阻尼比 n系统的无阻尼自然振荡角频率 系统振荡周期 系统的特征方程为 特征根为,二阶系统的特征根（极点）分布 求解二阶系统特征方程， 可得,(1). 欠阻尼 是一对共轭复数根。 (2). 临界阻尼 是两个相同的负实根。 (3). 过阻尼 是两个不同的负实根。 (4). 无阻尼 是一对共轭纯虚数根。,二阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入 于是 由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为 下面按阻尼比分别讨论。,过阻尼(1)
4、这种情况下，系统存在两个不等的负实根，则,拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：,稳态分量：1 暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。,讨论： 过阻尼系统是两个惯性环节的串联。 有关分析表明，当 时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统非常接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有,过阻尼系统稳态值和最终误差 过渡过程时间（按近似后一阶系统求出）,2. 当01时，系统有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼状态。 在欠阻尼状态下，系统的两个闭环极点为一对共轭复极点，即 其中， 称为阻尼振荡角频率。,此时，系统
5、具有一对共轭复数极点，则,欠阻尼系统单位阶跃响应为 或写为,讨论: (1)欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部的绝对值 n的大小，振荡角频率是特征根虚部的绝对值，即有阻尼自振角频率d， (2)振荡周期为 (3)越大，振幅衰减越快，振荡周期越长（频率越低）。,(4)上升时间tr的计算： 或 即 所以,(5)峰值时间的计算： 出现峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即 则 故 到达第一个峰值时应有,(6)最大超调量的计算： 越小， 越大（只与有关）,(7)调整时间ts的计算： 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线 以内，这对曲线称为响应曲线 的
6、包络线。,可以采用包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。,解得 当5时， 当2时， 当 时， 设计二阶系统时，常取 为最佳阻尼比。,若允许误差带是（如2），可以认为调整时间就是包络线衰减到 区域所需的时间，则有,设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调整时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式,例：设一个带速度反馈的伺服系统，其结构图如图所示。要求系统的性能指标为Mp=20%, tp=1s.试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts和N.,3. 当阻尼比=1时，系统的特征根为两相等的负实根，称为临界阻尼状态
7、。,此时系统在单位阶跃函数作用下， 系统的超调量Mp=0， 调节时间 (对应误差带为5%),图3-18 临界阻尼系统阶跃响应,4. 当阻尼比=0时，系统特征根为一对纯虚根，称为无阻尼状态。 系统特征根 单位阶跃响应为,不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图,几点结论,1）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：, 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼） = 0时，出现等幅振荡 01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长,2）一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。,3）工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪
8、表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。最佳阻尼比为0.707（这时的调整时间小，而且超调量也不大）,二阶系统的单位脉冲响应,1.脉冲响应及脉冲响应函数 当系统输入信号为单位脉冲函数(t)时系统的响应为单位脉冲响应，记为g(t)。,2. 脉冲响应与阶跃响应的关系 系统的单位阶跃响应是该系统单位脉冲响应的积分，或系统的单位脉冲响应是该系统单位阶跃响应的导数。即 或,3. 二阶系统的单位脉冲响应 当1时 当01时 当=1时 当=0时,二阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲响应可以通过单位阶跃响应求导得到； 单位脉冲响应曲线与时间轴第
9、一次相交的点必然是峰值时间tp； 从t=0到tp时间内，单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积等于1Mp; 单位脉冲响应曲线与时间轴所包围的面积代数和为1。,过阻尼：1,(t0),欠阻尼：01,无阻尼：=0,临界阻尼：=1,二阶系统单位脉冲响应曲线,例3-15 原控制系统如图3-23(a)所示，引入速度反馈后的控制系统如图3-23(b)所示，已知在图3-23(b)中，系统单位阶跃响应的超调量Mp%=16.4%，峰值时间tp=1.14s，试确定参数K和Kt，并计算系统在(a) 和(b)的单位阶跃响应h(t)。,图3-23 例3-15图,解 对于系统(b)，其闭环传递函数为 与典型二阶系统相比较，有
10、 （3-55） 而已知Mp=16.4% tp=1.14s 根据 求得,求得 将 代入(3-55)得 其单位阶跃响应为,对于系统(a)，其闭环传递函数为 与典型二阶系统比较有 系统的最大超调量 峰值时间 其单位阶跃响应为,返回,知识点三 高阶系统的瞬态响应,高阶系统的瞬态响应 n阶系统的闭环传递函数为,当输入为单位阶跃函数r(t)=1(t)，即 时，则 假设所有闭环零点和极点互不相等且均为实数,当极点中还包含共轭复极点时 进行拉普拉斯反变换可得系统的单位阶跃响应,高阶系统的降阶,主导极点 在整个响应过程中起着主要的决定性作用的闭环极点，我们称它为主导极点。 工程上往往只用主导极点估算系统的动态特
11、性。即将系统近似地看成是一阶或二阶系统。,2. 偶极子 将一对靠得很近的闭环零、极点称为偶极子。工程上，当某极点和某零点之间的距离比它们的模值小一个数量级，就可认为这对零极点为偶极子。 闭环传递函数中，如果零、极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。,零极点对阶跃响应的影响,零点对阶跃响应的影响 假设系统中增加一个闭环实零点，即系统中增加了一个串联环节 且闭环零点z位于复平面的左半平面，,上式拉普拉斯反变换 可见，增加一个闭环左实零点以后，系统阶跃响应增加了一项，该项的值与c(t)的变化率成正比，与该零点离虚轴的距离成反比。显然，该零点的增加将使系统响应过程加快，超调量增大，系统对输入作用的反应灵敏了。,反之，如果增加的闭环零点位于复平面的右半平面，即 ，则 这将使系统响应过程变慢，超调量减小，系统对输入作用的反应变滞呆了。,2. 极点对阶跃响应的影响,假设系统增加一个闭环左实极点-|p|，系统在单位阶跃信号作用下输出 取拉普拉斯反变换得,可以看出：系统中增加一个闭环左实极点，系统的过渡过程将变慢，超调量将减小，系统的反应变得较为滞呆。 对于闭环传递函数存在右极点的情况，系统时域响应是发散的，系统不稳定 。,
