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1、Probability Theory and Mathematical Statistics,概率论与数理统计,第6章,样本与抽样分布,2017年5月22日星期一,3,第六章 样本与抽样分布,本章主要内容1 总体与个体2 直方图与经验分布函数3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,4,1.定义1：一个统计问题总有它明确的研究对象.,一.总体与个体,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,总体,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,5,2. 有限总体和无限总体,定义2：样本中所包含的个体数目n称为样本容量,注：当有限总体包含的个体的总数很大时, 可近似地将它
2、看成是无限总体.,容量有限的成为有限总体,容量无限的称为无限总体,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,6,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,7,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.,这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.,6.1 总体与个体,注意,2017年5月22日星期一,8,而概率分布正
3、是刻划这种集体性质的适当工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.,统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质.,由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量) ，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质.,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,9,例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.,某批灯泡的寿命,总体,寿命X可用一概率分布来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体. 如说总体X或总体F(x) .,6.1 总体与个体,201
4、7年5月22日星期一,10,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.,统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,11,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,二. 样本,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,12,但是，一旦取定一组样本，得到的
5、是n个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .,样本是随机变量.,抽到哪5辆是随机的,容量为n的样本可以看作n维随机变量.,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,13,2. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布.,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,14,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本
6、，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.,若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为,三.样本的概率分布,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,15,今后，若不特别说明，就指简单随机样本.,若连续总体的概率密度函数为f (x) ，则其样本的联合概率密度函数为,6.1 总体与个体,离散时，概率函数是指分布率p(x),则其样本的联合分布率为,注意,2017年5月22日星期一,16,事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取
7、的值.,四. 总体、样本、样本值的关系,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,17,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,18,例1-1：已知总体X服从参数为 的泊松分布，求样本的联合分布律,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,19,返回,6.1 总体与个体,2017年5月22日星期一,20,一、直方图,当取得一组样本值后，一般先根据样本的取值作出频率直方图对总体的分布情况作
8、一个几何直观上的粗略了解，然后再进行进一步的分析推断直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标有三种表示方法：频数，频率，最准确的是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。凡此三种直方图的差别仅在于纵轴刻度的选择，直方图本身并无变化。,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,21,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,22,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,23,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,24,例2-1 某工厂用自动包装机包装产品，为了考察每袋产品重量的波动情况，选取10
9、0袋产品测得其重量如下：(单位：kg)，根据测得的数据作出频率直方图97.894.698.9100.999.8102.797.995.599.0101.199.6102.997.795.799.5101.299.9103.198.295.899.1101.3100.0103.898.196.099.0101.4100.198.396.399.2101.5100.2104.598.596.699.3101.4100.397.898.496.799.4101.1100.496.999.5101.0100.198.597.099.1101.2100.298.097.299.2101.6100.298
10、.197.499.0101.6100.498.197.599.4101.8100.598.797.199.3102.1100.398.899.998.9102.0100.298.999.7100.6102.1100.498.899.6100.6102.3100.198.699.7100.7102.498.899.8102.2100.899.8100.9,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,25,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,26,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,27,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星
11、期一,28,二、经验分布函数,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,29,为由x1, x2, , xn确定的经验分布函数.,定义6,设x1, x2, xn是总体X的样本值，称函数,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,30,经验分布函数与理论分布函数的关系,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,31,这也是利用样本来估计和判断总体的基本理论和依据,6.2 直方图与经验分布函数,例2-2 从某总体中抽取容量为5的样本，其观测值依次为 -1.2，2.6，1.8，-0.7，1.8求经验分布函数，并画出的图形,解 将数据由小到大排列得：-1.
12、2，-0.7，1.8，1.8，2.6,2017年5月22日星期一,32,则经验分布函数为：,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,33,的图形见下图,返回,6.2 直方图与经验分布函数,2017年5月22日星期一,34,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,一、样本统计量,定义； 设 x1, x2, , xn 为取自某总体的样本，若样本函数T = g(x1, x2, , xn)中不含有任何未知参数。则称T 为统计量。它是完全由样本决定的量.统计量的分布称为抽样分布。,6.3 统计量及其分布,
13、2017年5月22日星期一,35,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,36,几个常见统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值的信息,它反映了总体方差的信息,样本标准差,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,37,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶矩的信息,它反映了总体k 阶中心矩的信息,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,38,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,39,上述五种统计量可统称为矩统计量，简称样本矩，他们都是样本的显函数，它们的观测值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶(原点
14、)矩、样本k阶中心矩,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,40,顺序统计量将样本中的各分量按由小到大的次序排列成,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,41,二、统计量的分布,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” .,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,42,抽样分布就是通常的随机变量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.,抽样分布,精确抽样分布,渐近分布,（小样本问题中使用）
15、,（大样本问题中使用),6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,43,统计三大分布,记为,定义: 设 相互独立, 都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,44,分布的密度函数为,来定义.,其中伽玛函数 通过积分,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,45,该密度函数的图像是一只取非负值的偏态分布,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,46,性质1,(此性质可以推广到多个随机变量的情形),6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,47,性质2,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,48,6.3 统计量及其分布,2017年5月22日星期一,49,附表B-5,分布表,6.3 统计量及其分布,
