《一维双原子链的振动-3.4 三维晶格振动-41幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一维双原子链的振动-3.4 三维晶格振动-41幻灯片（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 一维双原子链振动,模 型,考虑一个由质量m和质量M两种原子（设M m）等距相间排列的一维双原子链，设晶格常数为2a，原子间的力常数为。在t 时刻，两种原子的位移分别为：l, l,l,l,2a,一、运动方程以及其解,假定原子链无限长，且只考虑最近邻原子间相互作用，第n个元胞中两个原子的相互作用 2 2 = + 1 2 2 2 = + +1 2 令格波解 = = 代入原方程，得到 2 = 1+ 2 2 = 1+ 2,一、运动方程以及其解,原方程有解的条件是未知系数A, B的系数行列式为0 2 2 1+ 1+ 2 2 = 4 2 + 2 +4 2 sin 2 1 2 =0从而得到 2 = +
2、 1 1 4 + 2 sin 2 1 2 1 2 并且，轻重原子的振幅之比（包含了相位差）： = = 2 2 1+ ,一维双原子链得到了两个解，两种色散关系，它们都是q 的周期函数，和一维单原子相同的讨论可知，q 取值范围也在第一布里渊区（ ）内。此时点阵基矢是2a，倒易点阵基矢是,称约化质量。 一维双原子链晶体可作带通滤波器,图中,带隙,当波矢,s为任意整数， 我们有,所以,可见当 q-q=2s/a, s为任意整数，两者对同一原子所引起的振动完全相同。对应某一确定的振动状态(xn) ，可以有无限多个波矢q, 它们间都相差2s/a的整数倍。所以，为了保证xn的单值性，把一维布喇菲格子的q值限制
3、在 (-/a, /a),q值限制在 (-/a, /a) ，为什么？,零点和布里渊边界数值的确定：,二、声学波和光学波, 的一支=0时，频率取极小值 =0；= 时，频率取极大值 = 2/ ，称为声学支如果0 0 = 2 + = = = 2 2 2 1群速等于相速，与频率无关，表现为长波长弹性波，而纵弹性波与声波是等同的长声学波的轻重原子的振幅和相位相同，表示质心的运动,二、声学波和光学波, + 的一支当=0时，频率极大值 + = 2/ , =/ + 为约化质量；当= 时，频率取极小值 + = 2/ ，称为光学支当0时， + 2 + = + = + 2 2 2 振动频率由力常数和约化质量决定，恰好
4、位于电磁波频谱的远红外区域长光学波的轻重原子反向振动，而质心不动,二、声学波和光学波,当 时（布里渊区边界）， 2 , = 0 + 2 , + = 声学波表示质量为M的重原子振动，频率仅与M有关；光学波表示质量为m的轻原子振动，频率仅与m有关当= 时，重原子和氢原子分别形成系统的两种驻波状态 假设，在布里渊边界处的频隙消除，双原子链退化为单原子链，/2，布里渊区扩大了一倍双原子链等价于一个带通滤波器,两支模式的区别在于，光学波模式是描写原胞中两个原子相对运动的振动模式，若这两个原子组成一个分子，光学波模式实际上是分子振动模式，描写的是同一个分子中的原子的相对运动情况，声学波模式代表同一原胞中原
5、子的整体运动，若初基晶胞中的两个原子组成一个分子的话，声学波模式则代表分子的整体运动模式，这种振动模式的色散关系类似于声波。但它不是声波。,说明,q=0,= ,LA,LO,LA,LO,玻恩-卡曼边界,使用玻恩-卡曼边界来处理 = + , = + 得到 =1, = 2 其中h为整数，由于q1，即 2 2 因此，q在第一布里渊区内均匀分布，取N个值独立的波矢数：， 波矢密度： = 2,3.4 三维晶格振动 格波量子-声子,一、三维晶格振动,晶体中有N个元胞，每个元胞中有n个原子元胞的位置： = 1 1 + 2 2 + 3 3 第j个原子质量： 晶体位移矢量分量： 系统动能：= 1 2 2 系统势能
6、= 1 2 , , 2 0 ,一、三维晶格振动,运动方程其中原子力常数只取决于两个元胞之间的相对位置，而与他们之间的绝对位置无关，即运动方程改写为, = , , , 2 0, , = ( ), = ( ) ,一、三维晶格振动,令格波解代入运动方程得到而是 的傅里叶变换，它组成一个3n阶矩阵，称为动力学矩阵, = , 2 = ( ) , 2 = , R ,一、三维晶格振动,新方程组有解的条件是系数行列式为0可以解出3n个色散关系 三支声学波在布里渊区高对称点或连线上：两支横波，一支纵波3n-3支光学波在布里渊区高对称点或连线上：2(n-1)支横波，n-1支纵波, 33 =0,一、三维晶格振动,容
7、易证明于是同时注意到所以独立的波矢 应该限制在一个倒格子元胞范围内，通常选择在第一布里渊区内, + = ( ), = ( + ), = ( + ) ,纵波：原子振动方向与波传播方向一致横波：原子振动方向与波传播方向垂直对于声学支：横声学支（Transverse acoustic branch，TA）纵声学支（Longitudinal acoustic branch，LA）对于光学支：横光学支（Transverse optic branch，TO）纵光学支（Longitudinal optic branch，LO）,纵振动,横振动,光学,原子的相对运动,以金刚石为例，可将上述讨论更加具体化。金刚
8、石是复式格子，每一个原胞中有两个原子，有3支声学波和3支光学波。对于某一传播方向，频率和波矢q的关系曲线如图所示。 光学波的频率随q变化很小，在实际计算中，将其视为与波矢q无关的常数。在三支声学波中一支是纵波，两支是横波。 当q 很小时， 与q 成比例，这时，声学波与弹性波一样，波速为常数，而且就是弹性波的速度。,频率 和波矢q的关系曲线。沿100及111轴两支横波简并。 (图中横坐标以2/l为单位，其中l代表有关轴向的格点间距),一、三维晶格振动 边界条件,设晶体是一个规则的平行六面体，三条棱沿三个基矢( 1 , 2 , 3 )，长度( 1 1 , 2 2 , 3 3 )，元胞数( N 1 N 2 N 3 )晶体体积为= 1 1 2 2 3 3 =冯恩-冯卡门边界 , = + , ，将其代入格波解这要求, ( ) = ( + ), 1, =2 1 1 =2 1 2 2 =2 2 3 3 =2 3,一、三维晶格振动 边界条件,可以选择波矢因为 1，所以独立的波矢数： =1 3 = 1 2 3 =（元胞数）波矢密度： = 2 3 独立格波数：3,
