2018版高中数学人教版A版必修三学案：2.1.3　分层抽样

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1、21.3 分层抽样分层抽样 学习目标 1.理解分层抽样的概念.2.会用分层抽样从总体中抽取样本.3.了解三种抽样法的 联系和区别 知识点一 分层抽样的概念 在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的 个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样 分层抽样具有如下特点： (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况； (2)按比例确定每层抽取个体的个数； (3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样的方法； (4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性； (5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是，而

2、且在每层抽样时， 样本容量n 总体容量N 可以根据个体情况采用不同的抽样方法 知识点二 分层抽样的步骤 知识点三 三种抽样方法的比较 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较如下表所示： 类别共同点各自特点相互联系适用范围 简单随机 抽样 从总体中逐个抽取 总体中的个体 数较少 系统抽样 (1)抽样过程中 每个个体被抽 到的可能性相 等； 将总体均分成几部分， 按预先确定的规则分别 在起始部分抽 样时，采用简 总体中的个体 数较多 在各部分抽取单随机抽样 分层抽样 (2)每次抽出个 体后不再将它 放回，即不放 回抽样 将总体分成几层，在各 层中按同一抽样比抽取 在各层抽样时， 采用简单随机 抽样

3、或系统抽 样 总体由差异明 显的几部分组 成 思考 分层抽样的总体具有什么特性？ 答 分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组 成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比 例进行抽样 题型一 对分层抽样概念的理解 例 1 有 40 件产品，其中一等品 10 件，二等品 25 件，次品 5 件现从中抽出 8 件进行质 量分析，则应采取的抽样方法是( ) A抽签法B随机数法 C系统抽样D分层抽样 答案 D 解析 总体是由差异明显的几部分组成，符合分层抽样的特点，故采用分层抽样 反思与感悟 分层抽样的特点： (1)适用于总体由

4、差异明显的几部分组成的情况 (2)样本能更充分地反映总体的情况 (3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等 跟踪训练 1 在 100 个零件中，有一级品 20 个，二级品 30 个，三级品 50 个，从中抽取 20 个作为样本 方法 1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号 00,01,02，99，用抽签法抽取 20 个 方法 2：采用系统抽样的方法，将所有零件分为 20 组，每组 5 个，然后从每组中随机抽取 1 个 方法 3：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取 4 个，从二级品中随机抽取 6 个，从三 级品中随机抽取 10 个 对于上述问题，下列说法正确的是( ) 不论采用哪种抽样方

5、法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的可能性都是 ； 1 5 采用不同的方法，这 100 个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同； 在上述三种抽样方法中，方法 3 抽到的样本比方法 1 和方法 2 抽到的样本更能反映总体特 征； 在上述抽样方法中，方法 2 抽到的样本比方法 1 和方法 3 抽到的样本更能反映总体的特 征 ABCD 答案 B 解析 根据三种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是 ，故正确，错误由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故 n N 方法抽到的样本更有代表性，正确，错误故正确 题型二 分层抽样的应用 例 2 一个单位

6、有职工 500 人，其中不到 35 岁的有 125 人，35 岁至 49 岁的有 280 人，50 岁及 50 岁以上的有 95 人为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取 100 名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下： (1)分层按年龄将 500 名职工分成三层：不到 35 岁的职工；35 岁至 49 岁的职工；50 岁及 50 岁以上的职工 (2)确定每层抽取个体的个数抽样比为 ，则在不到 35 岁的职工中抽取 100 500 1 5 125 25(人)； 1 5 在 35 岁至 49 岁的职工中抽取 280 56(人)

7、； 1 5 在 50 岁及 50 岁以上的职工中抽取 95 19(人) 1 5 (3)在各层分别按系统抽样或随机数法抽取样本 (4)汇总每层抽样，组成样本 反思与感悟 利用分层抽样抽取样本的操作步骤： (1)将总体按一定标准进行分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本 跟踪训练 2 一个单位有职工 800 人，其中具有高级职称的有 160 人，具有中级职称的有 320 人，具有初级职称的有 200 人，其余人员 120 人为了解职

8、工收入情况，决定采用分层 抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是 _ 答案 8,16,10,6 解析 抽样比为，故各层抽取的人数依次为 40 800 1 20 1608,32016,20010,1206. 1 20 1 20 1 20 1 20 题型三 抽样方法的综合应用 例 3 为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行 考察为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有 14 个教学 班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同) 从全年级 14 个班中任意抽取一个班，再从

9、该班中任意抽取 14 人，考察他们的学习成绩； 每个班都抽取 1 人，共计 14 人，考察这 14 名学生的成绩； 把该校高三年级的学生按成绩分成优秀，良好，普通三个级别，从中抽取 100 名学生进行 考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有 105 名，良好学生有 420 名，普通学生 有 175 名) 根据上面的叙述，试回答下列问题： (1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中， 其样本容量分别是多少？ (2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？ (3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤 解 (1)这三种抽取方式中，其总体都是

10、指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是 指高三年级每个学生本年度的考试成绩其中第一种抽取方式中样本为所抽取的 14 名学生 本年度的考试成绩，样本容量为 14；第二种抽取方式中样本为所抽取的 14 名学生本年度的 考试成绩，样本容量为 14；第三种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本年度的考试成 绩，样本容量为 100. (2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方 法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样 法 (3)第一种方式抽样的步骤如下： 第一步：在这 14 个班中用抽签法任意抽取一个班； 第二步：从

11、这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 14 名学生，考察其考试成绩 第二种方式抽样的步骤如下： 第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为 x； 第二步：在其余的 13 个班中，选取学号为 x50k(1k13，kZ)的学生，共计 14 人 第三种方式抽样的步骤如下： 第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共 105 人，良好生共 420 人，普通生共 175 人， 所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次； 第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为 10070017，所以 在每层抽取的个体数依次为，即 15,60,25； 105 7 420 7

12、175 7 第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人，在良好生中用简单随机 抽样法抽取 60 人，在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人 第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本 反思与感悟 1.简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中 有着广泛的应用 2三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系一次抽样， 可能不只用到一种抽样方法，在应用时要根据实际情况选取合适的方法 3三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的 跟踪训练 3 下列问题中，宜采用的抽样方法依次为： (1)_；(2)_；(3)_；(4)_ (1)从 10

13、 台电冰箱中抽取 3 台进行质量检查； (2)某社区有 1200 户家庭，其中高收入家庭 420 户，中等收入家庭 470 户，低收入家庭 310 户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从所有家庭中抽取一个容量为 120 的样本； (3)某学校有 160 名教职工，其中教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名，为了了解 教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本； (4)已知某校高一学生的学号后三位数字从 001 编至 805，教育部门准备抽查该校 80 名高一 学生的体育达标情况 答案 抽签法 分层抽样 分层抽样 系统抽样 解析 题号判断原因分析 (1)

14、抽签法总体容量较小，宜采用抽签法 (2)分层抽样社区中家庭收入层次明显，宜采用分层抽样 (3)分层抽样 由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大， 故宜采用分层抽样 (4)系统抽样 总体容量较大，样本容量也较大，可以随机剔除 5 个 个体后等距抽取，宜采用系统抽样 有关分层抽样的计算 例 4 某机关老年、中年、青年的人数分别为 18,12,6，现从中抽取一个容量为 n 的样本，若 采用系统抽样和分层抽样，则不用剔除个体当样本容量增加 1 时，若采用系统抽样，需在 总体中剔除 1 个个体，则样本容量 n_. 分析 首先由题目的已知条件确定 n 的所有可能取值，然后分别进行验证 解析 当样本容

15、量为 n 时，因为采用系统抽样时不用剔除个体，所以 n 是 1812636 的 约数，n 可能为 1,2,3,4,6,9,12,18,36.因为采用分层抽样时不用剔除个体，所以 18 ，12 ，6 均是整数，所以 n 可能为 6,12,18,36.又因为当样本容量增 n 36 n 2 n 36 n 3 n 36 n 6 加 1 时，需要剔除 1 个个体，才能用系统抽样，所以 n1 是 35 的约数，而 n1 可能为 7,13,19,37，所以 n17，所以 n6. 答案 6 解后反思 由题目的已知条件不能直接列式求解时，可以根据题意先确定所求解的大致范围， 再对此范围内的值逐一验证即可 抽样方

16、法 例 5 某单位有老年人 28 人、中年人 54 人、青年人 81 人，为了调查他们的身体状况，从 中抽取一个容量为 36 的样本，则最适合抽取样本的办法是( ) A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D先从老年人中剔除 1 人，再用分层抽样 分析 根据题意结合各种抽样方法的特点进行选择 解析 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层抽样因为总人数为 285481163，样本容量为 36，由于按抽样，无法得到整数解，因此考虑先剔除 1 36 163 人，将抽样比变为 .若从老年人中随机地剔除 1 人，则老年人应抽取 27 6(人)， 36 162 2 9 2 9 中年人应抽取 54 12(人)，青年人应抽取 81 18(