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1、5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式新人教A版必修一两角差的余弦公式新人教A版必修一两角差的余弦公式两角差的余弦公式两角差的余弦公式公式公式:cos (-)=cos cos +sin sin .:cos (-)=cos cos +sin sin .(1)(1)简记符号简记符号:C:C(-)(-)(2)(2)适用条件适用条件: :公式中的角公式中的角,都是都是任意角任意角. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【思考思考】1.1.公式写成公式写成cos (-)=cos +sin cos (-)=cos +sin 或或cos (-cos (-)=cos
2、 cos -sin sin )=cos cos -sin sin 可以吗可以吗? ?提示提示: :不可以不可以. .新人教A版必修一两角差的余弦公式2.2.公式的结构特征是怎样的公式的结构特征是怎样的? ?提示提示: :左端左端为两角差的余弦两角差的余弦, ,右端右端为角角,的同名三角的同名三角函数函数积的和的和, ,即差角余弦等于同名即差角余弦等于同名积之和之和. .新人教A版必修一两角差的余弦公式3. 3. 公式中的角公式中的角,可以为几个角的组合吗可以为几个角的组合吗? ?提示提示: :可以可以. .公式中公式中,都是任意角都是任意角, ,可以是一个角可以是一个角, ,也也可以是几个角的
3、可以是几个角的组合合. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)cos (70-40)=cos 70+cos 40.(1)cos (70-40)=cos 70+cos 40.( () )(2)(2)对于任意实数对于任意实数,cos (-)=cos -cos ,cos (-)=cos -cos 都都不成立不成立. .( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式(3)(3)对任意对任意,R,cos (-)=cos cos +,R,cos (-)=cos cos +sin sin sin sin 都成立
4、都成立. .( () )(4)cos 30cos 60+sin 30sin 60=1.(4)cos 30cos 60+sin 30sin 60=1.( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式提示提示: :(1).cos (70-40)=cos 30cos 70(1).cos (70-40)=cos 30cos 70+cos 40.+cos 40.(2).(2).当当=-45,=45=-45,=45时,cos (-)=,cos (-)=cos (-45-45)=cos (-90)=0,cos -cos =cos (-45-45)=cos (-90)=0,cos -cos =cos (-45)-
5、cos 45=0,cos (-45)-cos 45=0,此此时cos (-)=cos -cos (-)=cos -cos .cos .新人教A版必修一两角差的余弦公式(3).结论为两角差的余弦公式两角差的余弦公式.(4).cos 30cos 60+sin 30sin 60=cos (60-30)=cos 30= 新人教A版必修一两角差的余弦公式2.cos 95cos 35+sin 95sin 352.cos 95cos 35+sin 95sin 35等于等于( () )A.cos 130A.cos 130B.sin 130B.sin 130 新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】选D.D
6、.原式原式=cos (95-35)=cos 60= =cos (95-35)=cos 60= 新人教A版必修一两角差的余弦公式3.cos 15=_.3.cos 15=_.新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】cos 15=cos(45-30)cos 15=cos(45-30)=cos 45cos 30+sin 45sin 30=cos 45cos 30+sin 45sin 30答案答案: : 新人教A版必修一两角差的余弦公式类型一两角差的余弦公式的简单应用类型一两角差的余弦公式的简单应用【典例典例】1.cos 5551.cos 555的值为的值为 ( () )新人教A版必修一两角差的余弦
7、公式2.2.计算计算sin 7cos 23+sin 83cos 67sin 7cos 23+sin 83cos 67的值为的值为( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式【思维思维引引】1.1.把把555555转化为两个特殊角的差转化为两个特殊角的差, ,利用两角差的余弦公利用两角差的余弦公式求解式求解. .2.2.先利用诱导公式对角进行转化先利用诱导公式对角进行转化, ,再利用两角差的余弦再利用两角差的余弦公式求解公式求解. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】1.1.选B.cos 555=cos (720-165)=B.cos 555=cos (720-165)=cos 165
8、cos 165=cos (180-15)=-cos 15=-cos (45-30)=cos (180-15)=-cos 15=-cos (45-30)=-(cos 45cos 30+sin 45sin 30)=-(cos 45cos 30+sin 45sin 30)新人教A版必修一两角差的余弦公式2.2.选选B.sin 7cos 23+sin 83cos 67=B.sin 7cos 23+sin 83cos 67=cos 83cos 23+cos 83cos 23+sin 83sin 23=cos(83-23)=cos 60= sin 83sin 23=cos(83-23)=cos 60= 新
9、人教A版必修一两角差的余弦公式【内化内化悟悟】一般地一般地, ,利用两角差的余弦公式可以解决什么类型的题利用两角差的余弦公式可以解决什么类型的题目目? ?提示提示: :(1)(1)求非特殊角的余弦求非特殊角的余弦值;(2);(2)求两角的同名三角函求两角的同名三角函数数积的和的和. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【类题类题通通】利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路有值问题的一般思路有: :(1)(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差把非特殊角转化为特殊角的和或差, ,正用公式直接求正用公式直接求值值. .新人教A版必
10、修一两角差的余弦公式(2)(2)充分利用诱导公式充分利用诱导公式, ,构造两角差的余弦公式的结构形构造两角差的余弦公式的结构形式式, ,然后逆用公式求值然后逆用公式求值. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【习练习练破破】求下列各式的值求下列各式的值:(1) :(1) (2)sin 460sin(-160)+cos 560cos(-280).(2)sin 460sin(-160)+cos 560cos(-280).新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】(1) (1) 新人教A版必修一两角差的余弦公式(2)(2)原式原式=-sin 100sin 160+cos 200cos 280=-si
11、n 100sin 160+cos 200cos 280=-sin 100sin 20-cos 20cos 80=-sin 100sin 20-cos 20cos 80=-(cos 80cos 20+sin 80sin 20)=-cos 60=-(cos 80cos 20+sin 80sin 20)=-cos 60= = 新人教A版必修一两角差的余弦公式【加练加练固固】 的值为的值为 ( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】选C.C.原式原式= = 新人教A版必修一两角差的余弦公式类型二给值求值问题类型二给值求值问题【典例典例】1.1.已知已知 则则cos + sin cos +
12、 sin 的的值为值为( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式2.2.设设,都是锐角都是锐角, ,且且cos = sin (+)= cos = sin (+)= 则则cos =cos =世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式【思维思维引引】1.1.对所求式逐步变形对所求式逐步变形, ,直至可代入已知条件即可直至可代入已知条件即可. .2.2.考虑如何用已知角考虑如何用已知角,+,+的差来表示所求角的差来表示所求角,进进而利用两角差的余弦公式解决而利用两角差的余弦公式解决. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】1.1.选B.cos + sin =
13、B.cos + sin = 新人教A版必修一两角差的余弦公式2.选A.依依题意得意得sin = cos (+) 又又,均均为锐角角,所以所以0+cos(+).新人教A版必修一两角差的余弦公式因因为所以所以cos (+)= 于是于是cos =cos (+)-=cos(+)cos +sin (+)sin = 新人教A版必修一两角差的余弦公式【素养素养探探】本例本例2 2主要考查三角函数求值问题主要考查三角函数求值问题, ,突出考查了数学运突出考查了数学运算的核心素养算的核心素养. .本例本例2 2若改为若改为: :已知已知,为锐角为锐角, ,且且cos = cos(cos = cos(+)= +)
14、= 求求cos cos 的值的值. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】因因为0 0 0 0 所以所以0+.0+.由由cos (+)= cos (+)= 得得sin (+)= sin (+)= 又因又因为cos = cos = 所以所以sin = sin = 新人教A版必修一两角差的余弦公式所以所以cos =cos (+)-=cos (+)cos +sin (+)sin 新人教A版必修一两角差的余弦公式【发散发散拓拓】常值代换常值代换用某些三角函数值代替某些常数用某些三角函数值代替某些常数, ,使之代换后能运用相使之代换后能运用相关的公式关的公式, ,我们把这种代换称为常值代换我们把
15、这种代换称为常值代换, ,其中特别要其中特别要注意的是注意的是“1”1”的代换的代换. .如如1=sin1=sin2 2 +cos +cos2 2 ,1= ,1=新人教A版必修一两角差的余弦公式tan 45,1=sin 90tan 45,1=sin 90等等. .再如再如 等均可等均可视为某个特殊的三角函数值视为某个特殊的三角函数值, ,从而将常数代换为三角函从而将常数代换为三角函数使用数使用. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【延伸延伸练练】 cos 15+ sin 15=_. cos 15+ sin 15=_.新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】因因为 =cos 60, =sin
16、 60,=cos 60, =sin 60,所以所以 cos 15+ sin 15cos 15+ sin 15=cos 60cos 15+sin 60sin 15 =cos 60cos 15+sin 60sin 15 =cos (60-15)=cos 45= =cos (60-15)=cos 45= 答案答案: : 新人教A版必修一两角差的余弦公式【类题类题通通】(1)(1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角所求角”用用“已知角已知角”表示表示. .其解题策略有其解题策略有: :当当“已知角已知角”有两个时有两个时,“,“所求角所求角”一般表示为两个
17、一般表示为两个“已知角已知角”的和或差的形式的和或差的形式; ;新人教A版必修一两角差的余弦公式当当“已知角已知角”有一个时有一个时, ,此时应着眼于此时应着眼于“所求角所求角”与与“已知角已知角”的和或差的关系的和或差的关系, ,然后应用诱导公式把然后应用诱导公式把“所所求角求角”变成变成“已知角已知角”. .新人教A版必修一两角差的余弦公式(2)(2)常见的配角技巧常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+:2=(+)+(-),=(+)-, )-, 等等. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【习练习练破破】1.1.已知已知为锐角为锐角,为第三象限角为第三象限角, ,且且cos = cos
18、= sin = sin = 则则cos (-)cos (-)的值为的值为 ( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】选A.A.因因为为锐角角, ,且且cos = cos = 所以所以sin = sin = 因因为为第三象限角第三象限角, ,且且sin = sin = 新人教A版必修一两角差的余弦公式所以所以cos = 所以所以cos(-)=cos cos +sin sin = 新人教A版必修一两角差的余弦公式2.2.已知已知 则则cos + sin cos + sin 的值为的值为_._.新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】因因为cos =cos cos +sin sin
19、 cos =cos cos +sin sin = cos + sin = = cos + sin = 所以所以cos + sin = cos + sin = 答案答案: : 新人教A版必修一两角差的余弦公式【加练加练固固】若若0 0, 0 0, 则则 = =( () )新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】选C. C. 新人教A版必修一两角差的余弦公式类型三给值求角问题类型三给值求角问题【典例典例】已知已知cos(-)= sin(+)= cos(-)= sin(+)= -, +2, -, +2,求求的值的值. . 世纪世纪金榜导学号金榜导学号新人教A版必修一两角差的余弦公式【思维思维引引
20、】先求先求22的余弦值的余弦值, ,再由角的范围确定再由角的范围确定22及及的大小的大小. .新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】因因为 -,cos (-)= -,cos (-)= 所以所以sin (-)= sin (-)= 因因为 +2,sin(+2,sin(+)= )= 新人教A版必修一两角差的余弦公式所以所以cos (+)= 所以所以cos 2=cos(+)-(-)=cos (+)cos (-)+sin (+)sin (-)新人教A版必修一两角差的余弦公式因因为-, +2,所以所以2sin ,所以所以0 所以所以0- 故故-= 答案答案: 新人教A版必修一两角差的余弦公式2.2.
21、已知已知,为锐角为锐角,cos = sin(+)= ,cos = sin(+)= 则则=_.=_.新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】因因为为锐角角, ,且且cos = cos = 所以所以sin = sin = 又又,为锐角角, ,所以所以+(0,).+(0,).新人教A版必修一两角差的余弦公式又又sin(+)= sin ,所以所以+ 所以所以cos(+)= 新人教A版必修一两角差的余弦公式所以所以cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin 又又为锐角角,所以所以= 答案答案: 新人教A版必修一两角差的余弦公式【加练加练固固】已知已知,均为锐角均为锐角, ,且且cos = cos cos = cos = = 则则-的值为的值为_._.新人教A版必修一两角差的余弦公式【解析解析】因因为,均均为锐角角, ,所以所以sin = sin = sin = sin = 所以所以cos(-)=cos cos +sin sin cos(-)=cos cos +sin sin 新人教A版必修一两角差的余弦公式又又sin sin ,所以所以0 所以所以- -0.故故-= 答案答案: 新人教A版必修一两角差的余弦公式
