直杆弯矩图的叠加法

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1、 直杆弯矩图的叠加法 绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。直杆弯矩图的叠加法 可叙述为：任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图 2-1 所示。作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。 直杆内力图的特征 在直杆中，根据荷载集度 q，弯矩 M、剪力 V 之间的微分关系dV/dx=q，dM/dx=V 、 d2M/dx2=q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征(表 21)。表 21更多结构工程师好资料！梁上情况 无外力区段 均布力 q

2、作用区段 集中力 P 作用处集中力偶M。作用处铰处剪力图 水平线 斜直线 为零处有突变(突变值P)如变号 无变化 弯矩图一般为斜直线抛物线(凸出方向同q 指向)有极值有尖角(尖角指向同P 指向)有极值有突变(突变值M。)为零注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。 (二) 三铰拱的合理拱轴 在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。 三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (24)等于零，得合理拱轴方程为更多结构工程师好资料！ yM

3、0H (27) 图 28a 所示三铰拱承受满跨均布荷载 q 作用，其具体的合理拱轴方程可按式(27) 推导如下： 按图 28a 所示坐标系，将代梁 (图 28b)的弯矩方程 M0qx（lx）2 及拱的水平推力 HMC0 f ql28f 代人式(27) 得拱的合理拱轴方程为 y4fx （lx）l2 (28) 顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线；在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。 (三 )三铰刚架的内力计算 分析图 29a 所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。 1计算支座反力 计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰 C 处

4、弯矩等于零的条件。经计算得 HA1.33qa；VA24qa HB13.33qa；VB46qa 2计算各杆端截面内力并绘制内力图 支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方 法都是相同的，得出的 M、V 、N 图，分别如图 29b、c、d 所示。 转贴于：结构工程师考试_考试大 三铰拱和三铰刚架的内力计算 图 26(a)所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为 拱形结构。而图 26(b)所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结 构称为曲梁。图 26(c)所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它 是工程中常用的

5、静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故 有时做成图 26(d)所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。 三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。 三铰拱的有关术语表示在图 26（c）中，工程中常用的矢跨比 fl=0.51，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。 (一 )三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算 拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。 支座反力 由图 27(a)所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰

6、 C 处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为 更多结构工程师好资料！VAVA0 (21) VBVB0 (2 2) HAHBHMC0 f (2 3) 式中 VA0、VB0、MC0 分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁(简称为三铰拱的代 梁，图 27b)支座 A、B 处的支座反力及截面 C 的弯矩。 式(23)表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。当荷载与拱跨不变时，推力 H 与矢高 f 成反比，f 愈大即拱愈高时 H 愈小，f 愈小即拱愈平时 H 愈大。若 f0，则 H 为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。 取图 27c 所示的隔离

7、体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面 D 的弯矩、剪力、轴力计算公式为 MDMD0HyD (24) VDVD0cosDHsinD (25) NDVD0sinDHcosD (26) 式中 MD、VD、ND 的正方向如图 27c 所示，MD0、VD0 为代梁 D 截面的弯矩、剪力，yD、D 的含意如图 27a 所示。在图示坐标系中，D 在左半拱内为正，在右半拱内为负。 三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多 边形及压力线(索多边形) 来确定其内力。转贴于：结构工程师考试_考试大 静定平面桁架 (一 )理想平面桁架的假定及其按几何组成的分类。 理想桁架应满足下面

8、三个假定：1各结点均为无摩擦的理想铰；2各杆件轴线均为 直杆，且各通过铰的几何中心；3荷载都作用在结点上。如图 2l0a、b、c 所示平面桁架均为理想桁架。 符合上述假定的理想桁架的各杆只承受轴向力，横截面上只产生均匀的法向应力，与梁相比，受力合理，用料经济，自重较轻，可跨越较大的跨度。 不符合上述假定的桁架，在杆件中会产生弯曲次应力，理论分析和实验表明，当桁架的杆件比较细长时，这种次应力与由轴力引起的应力相比所占比例不大。 桁架按其几何组成可分为： 简单桁架从仅由三根杆件组成的三角形铰接单元出发，根据两元片规则，逐次扩展形成的桁架，如图 210a 所示。 联合桁架由两个或两个以上的简单桁架联

9、合组成的桁架，如图 210b 所示。 复杂桁架不属于上述两类的桁架，如图 210c 所示。 桁架的有关术语表示在图 210a 中。 图 210 (二 )平面桁架的内力计算 1节点法 取桁架的节点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件求解各杆内力的方法。从理论上讲，任何静定平面桁架都可利用节点法求出全部杆件的内力，但为了避免求解联立方程，在每次截取的节点上不应超过两个未知内力。在简单桁架中，只要按两元片规则，循着各节点形成的顺序或相反的顺序，逐次应用节点法，在每个结点的平衡方程中，最多不会超过两个未知力。 在计算中，有时可利用下面几种节点平衡的特殊情况。 (1)两杆节点上无荷载，两杆内力均为零(图

10、211a)； (2)三杆节点上无荷载，其中在同一直线上的两杆内力相等而方向相反，另一杆内力为零(图 211b)； (3)四杆节点上无荷载，且四杆相交成两直线，则处在同一直线上的两杆内力相等，但方向相反(图 211c)； (4)四杆节点上无荷载，其中两杆共线而另两杆处于此线的同侧且倾角相同，则处于共线杆同侧的两杆内力等值而反向(图 211d)。 2截面法 截取包含两个节点以上的隔离体，利用平面一般力系的平衡条件求解各杆轴力的方法。截面法中的一个隔离体，一般只能求解三个未知内力，但如果在一个截面中，除一杆外，其余各杆均相交于一点或相互平行，则该杆轴力仍可在该隔离体中求出。 例 24 用截面法求图

11、214a 所示桁架中 a、b、c、d、e 各杆的内力。 解 (1)求支座反力 由桁架的整体平衡条件得 VAVB 1.5P ，HA0。 更多结构工程师好资料！(2)求 Na、Nb 作截面 II，取图 214b 所示隔离体，由 Y0，得 Na0.5P(压力 )；由 M2=0，得 Nb=2.25P(拉力)。 (3)求 NC 在结间 34 内作竖向截面，取右隔离体，由 Y0，得 YC0.5P，即 NC=0.625P(拉力 )。 (4)求 Nd、Ne 。 作截面，取图 214c 所示隔离体，由 Mk0，得 Nd0.25P(拉力 )。再由 M40，得 Ne2.37P(压力)。 对于图 215a 所示的桁架

12、，求出支座反力后，再根据其几何组成关系，可知 EDCB 与 EDCA 两部分之间，由三根不相交于一点的链杆 AE、BE 、CC 相连，故可通过该三杆作截面取图 215b 所示隔离体，由力矩平衡方程先求出 NEA(或 NBE或 NCC)，进而再求其他各杆轴力。 3节点法与截面法的联合应用 在桁架内力计算中，有时联合应用节点法和截面法，可使计算得到简化。 图 216 如拟求图 216 所示桁架斜杆轴力 N1，求出支座反力后，可先由节点 C 的 X0，得 N1 与 N1的第一关系式。再用截面法，由 II 截面一侧隔离体的 Y0，得 N1 与 N1的第二关系式。联立求解两个关系式就可求出 Nl。 转贴

13、于：结构工程师考试_考试大静定组合结构由轴力杆和受弯杆组成的结构称为组合结构。 计算组合结构内力时，应注意区分轴力杆和受弯杆。在隔离体上，轴力杆的截面上只有轴力，受弯杆的截面上，一般有弯矩、剪力和轴力。 例 25 求作图 217a 所示组合结构的弯矩、剪力、轴力图。 解 此组合结构中，除 AC、BC 杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。 （1）求支座反力 由整体平衡条件，得 VAVB 75kN， HA0. （2）通过铰 C 作 II 截面，由该截面左边隔离体的平衡条件Mc=0，得 NDE135kN（拉力）；由 Y=0，Qc15kN ；由X=0，得 NC135kN（压力）。 （3）分别由结点 D、E 的平衡条件，得 NDANEB151kN （拉力），NDF NEG 67.5kN（压力）。 更多结构工程师好资料！（4）根据铰 C 处的剪力 Qc 及轴力 Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆 AFC、BGC 的弯矩图。 （5）M 、 Q、N 图分别如图 217b、c、 d 所示。 静定结构的特性 各种形式的静定结构，具有下述五点共同的特性。 (一 )满足静力平衡条件的