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1、德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文1嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略刘伟彦（德州学院数学科学学院，山东德州 253023）摘 要：本文在分析月球软着陆飞行动力学的基础上，利用飞行动力学模型理论，结合优化理论算法，对其中三个问题有如下的解决方法：对于问题一：通过合理的假设，运用物理学中的相关动能定律等对此问题进行求解对于问题二：确定嫦娥三号的软着陆轨道和最优控制策略对于问题三：将问题二设计的着陆轨道轨迹及其控制策略进行误差分析.关键词：轨道优化；飞行动力学方程；两点边值问题；初值猜测技术；数学模型一、引言伴随着中国国际地位的提高，中国航空航天事业也呈现出蒸蒸日上的
2、状态嫦娥三号的问世更是使我国的航天事业再创佳绩嫦娥三号在运行过程中，要在月球预定区域内准确地实现软着陆，必须先实现着陆轨道与控制策略的设计因此对于嫦娥三号的着陆问题提出了一些要求，该过程的各个阶段要满足在其关键处所应处的状态，并且要注意尽量减少过程中的关于燃料的消耗. 本题的附件一给出了嫦娥三号的背景与参考资料其中包括新闻消息、嫦娥三号近月轨道示意图、着陆区域和着陆点示意图以及主发动机和姿态调整发动机的分布图等等，而附件二则给出了整个着陆过程的示意图、以及软着陆过程的六个阶段的要求根据上述的基本要求，我们需要建立相对应的数学模型来解决以下三个问题：（1）确定着陆准备轨道在近月点、远月点的位置，
3、和其相对应速度的方向、大小 （2）确定软着陆轨道和关于六个阶段的最优控制策略（3）将问题二设计的内容进行误差分析二、问题分析21 问题一分析对于问题一，需确定嫦娥三号在近远月两点的位置以及相应速度的问题首先通过合理假设，运用物理中天体运动的定理求得在远月点、近月点的速度德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文2要求远月点、近月点的位置，我们考虑应用南北纬度的形式表示出来，基于多种因素问题，问题的求解与表达很复杂，所以在考虑问题的时候，我们通过许多假设来简化问题通过假设，根据嫦娥三号在近月点的速度，在 2400 米的速度以及从近月点到 2400 米处的高度变化，通过动能
4、定理和简单的勾股定理来粗略的求得在此过程中三号在月球表面的运动位移通过各种资料与网络搜索，我们得知三号的椭圆轨道与月球的经度圈纬度圈不平行，轨道倾角大约是 通过搜索资料我们也知道了月球的自传是自西65向东，嫦娥三号椭圆轨道的运行方向与月球自转方向相反同时，我们根据地球的南北纬东西经度的分布和月球的半径等数据计算出每米有几度的跨越综合各种数据，我们最后粗略的推出其在近月点的经纬度，然后通过计算在近月点的经纬度位置关系进而确定出远月点.2.2 问题二分析问题二要求我们确定最优的着陆轨道，我们分析嫦娥三号着陆轨道的六个阶段得知在进行这个过程时，首先要进行霍曼变轨，即由圆轨道变为一个椭圆轨道在到达近月
5、点时，制动机进行制动，嫦娥三号进行减速嫦娥三号经过六个过程实现软着陆在主减速段的区间距离月球面 15 到 3 ，该阶段主km要工作是减速，软着陆的快速调整阶段的工作重点是调整探测器姿态，这时就进入粗避障阶段，在距月球表面 2.4 到 100 之间，其主要任务是避开大的km陨石坑，在距月球表面 100 时要处于悬停状态，最后初步确定落月地点在精避障段时要求对着陆点附近区域拍摄图像，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆点，然后缓速下降.这样就实现着陆器与月球相对静止，最后关闭发动机，使其自行落到月球表面2.3 问题三分析问题二已经概述了关于嫦娥三号在月球上软着陆过程中所进行的步骤，对于问题三的工作就是对
6、问题二中的问题进行步骤进行详尽的误差分析.众所周知，在误差作用下，探测器的实际轨道会有部分偏离计算轨道，而此类的精度分析问题就是在航天问题上实施以及设计方面的一类重要问题.在此次分析过程中我们需要用到线性协方差方法，并以此分析状态和控制德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文3两种误差并存的情况.鉴于两者对轨道精度的影响，我们为此设计正交试验，分别精确的分析误差问题.三、模型建立与求解3.1 问题一模型建立与求解3.1.1 近月点、远月点速度的计算在问题一中，关于求远月点和近月点的速度嫦娥三号在实施近月制动且顺利进入环月轨道时，我们根据科学家计算得出嫦娥三号的着陆准备
7、轨道为一个椭圆, 并且嫦娥三号在 100 公里环月圆轨道上做一个匀速圆周运动，如下图是嫦娥三号近月轨道示意图： 嫦娥三号近月轨道示意图由万有引力提供向心力有：，2121mvGMrhr其中， 为万有引力常量， 为月球质量， 为月球的平均半径， 为远月点G 1h的距离.由万有引力提供向心力有：德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文4，2121mvGMrhr其中， 为万有引力常量， 为月球质量， 为月球的平均半径， 为远月点G 1h的距离， 为近月点的距离由上式可得，远月点的速度为： 2h 11GMvr由于嫦娥三号在着陆准备轨道由圆周运动变为椭圆轨道，因此我们不考虑嫦娥三
8、号燃料消耗的质量，即在这里假设其质量不变所以该过程遵循机械能守恒定律，我们由此得出：，2211mvghvmgh其中 为嫦娥三号质量， 是远月点的速度， 为月球的重力加速度,取m1.6333m/s2， 为远月点距月球表面的距离， 为近月点的速度， 为近月点1h22h距月球表面的距离由上述两式可得，两点的速度分别为：， 31.6210/vms321.7650/vms分析可得：嫦娥三号在两月点处均在做圆弧运动，其速度方向应该是与其运动轨道相切3.1.2 近月点、远月点的位置确定通过对嫦娥三号软着陆过程示意图的分析，在此我们假设力 是恒力做功，F即它的方向大小都不改变，选定力 为 7500 ； 不随燃
9、料的消耗而减少假FNm设嫦娥三号在软着陆的过程中到 3000 米处就可以竖直下落着陆过程示意图如下：德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文5根据动能定理得：，2231-Fxmv其中 为主制动机产生的力， 为 所做功的位移， 为 3000 米处的速度，F 3v为近月点处的速度， 为嫦娥三号的质量由上式求得位移为：2v470.6xkm下图为位移在月球表面的投影，分解位移后我们得到在经度和纬度方向上的位移：位移 在经度、纬度方向上的分解示意图如下：x德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文6图中 是东、西、南、北四个方向，根据嫦娥三号椭圆轨道运行
10、方,EWSN向与月球自传的方向相反得出的位移 的方向，再根据轨道的倾斜角为 ，确x 65定嫦娥三号着陆的方向及其与月球赤道的夹角即为 由图可清晰地算出嫦娥65三号在经度、纬度方向上的位移分别为： cos(65)198.,in423.wxkm已知月球半径 ，由 得月球周长，月球上的经、纬度173.0RkmCR可以这样计算：由 ，计算得 ,表示一米所跨越的纬度数19N1 .58N由 ，计算得 ，表示一米所跨越的经度数2360C20.3因此整个过程中的经度、纬度变化为：由，12Nwx德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文7得：.12076.5N由于嫦娥三号绕圆轨道的飞行方
11、向与月球的自转方向相反（由图二也可以明显看出），所以近月点的位置为： .07,.207,15WNkm由此可推出远月点的位置： . 15946ES3.2 问题二模型建立与求解3.2.1 飞行动力学方程对于问题 2，我们设着陆过程燃料耗费最低为目标函数，并据此建立模型，我们主要讨论从近月点到月面的轨道制动方案由于嫦娥三号从 15 左右的km轨道高度软着陆到月球表面的整个过程大概需要十几分钟的时间，所以我们将一些影响因素忽略不计.并使用二体模型来描述这一问题：取月心 为原点， 指向近月点， 是探测器到月心的距离， 是 与oyroy的夹角, 是推力方向角，即推理方向与 的夹角， 是制动器的推力大小，r
12、oF取 或 0则探测器质心运动学方程为： Fmax德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文8(1)2sin(/)cosprvFrmvrFI其中 是着陆器距月心的矢径， 是探测器在矢径 方向上的速度， 是探测器rvr方位角， 探测器方位角 的角速度， 是月球引力常数， 是探测器质量，m是制动器的比冲， 是制动器的推力，主发动机采用常推力控制，与探测器spIF固连，并通过姿态调整实现推力方向控制质心运动方程可以使用状态方程的形式来表示，其中状态参数 ，控制参数(),xftu ,TxrvTF软着陆轨道设计目标就是要寻找最优控制律 （相应最优轨道*()ut），做到探测器安全降
13、落月面的同时实现燃料消耗最少所以我们定义如*()xt下性能指标：, (2)0()ft fJmdt使指标取最小值，并满足条件：, (3)(),0fmffrtRvtt其中， 为着陆的初始时刻，定义 ； 为着陆时刻， 自由； 为月球0t 0f ftmR半径3.2.2 关于燃耗的最优制导律采用 PMP 求解该问题，伴随方程为：, (4)Hxu式中 为 函数： .Hamilton,(),Tft为伴随向量： .rvm德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文9取最优值的根本条件为：, *()(),max(),()utHxtHtut（5）展开得到：(6)maxrctn,()00.,v
14、FLtt式中， sincosv mspLtmrI边界条件为: ； (7) 0()xt； 0,(),()0,(),()1ffffmfrRvtttt（8） . *|ftHxu（9）式中，设 为初始条件0x3.2.3 TPBVP 的数值解法在这里我们以 Mayer 问题为例考虑以下自制系统：,min()fJxt. .st0(),ftfxtut（10）式中， 为 维状态向量； 为 维终端约束向量； 为 维初()xtn(),fxtp0xn德州学院 数学科学学院 2016 届 信息与计算科学专业 毕业论文10值向量； 为标量函数；初始时刻 固定；终端时刻 固定或自由要使性0tft能指标达到最优值，我们需在满足式（10）的基础上还需如下条件：最优控制方程：, *()(),max(),()utHxtHtut（11）伴随方程：, Hxu（12）横截条件：, ()|ftftx
