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1、第二章 控制系统的数学模型,本章的主要内容,1、什么是控制系统的数学模型,引言,定义：控制系统的数学模型是描述系统内部物 理量（或变量）之间关系的数学表达式。, 如果描述变量之间关系的数学表达式是代数方程，则称其为静态数学模型(变量各阶导数为零)； 描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫做动态数学模型。,希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。 控制系统的调试和控制器参数的确定,为了使控制系统能安全投运并进行必要的调试，必须对被控对象的特性有充分的了解。 预测控制、前馈动态补偿、计算机仿真等都是在已知对象数学模型的基础上才能进行的。 因此，建立系统的数学模型是分析和设计系统的首要工作。
2、,2、建立数学模型的目的,3、数学模型分类,微分方程（ ） 传递函数： 结构图 频率特性,幅频特性：,相频特性：,时域模型,复域模型,频域模型,t,s,微分方程/传递函数/频率特性 三种数学模型之间的关系,4、建立数学模型的方法,分析法：分析机理，根据物理或化学规律列写 运动方程,实验法：给系统施加某种测试信号，记录输出 响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法 也称为系统辨识。,解析方法适用于简单、典型、常见的系统；而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,总结：,一、 控制系统的时域模型,1、控制系统微分方程（运动方程）,微分方程中含有输出
3、量、输入量及他们对时间的导数或者积分），这种微分方程又称为运动方程,微分方程描述了系统的运动过程（变化过程）。,2、建立微分方程步骤,步骤1：确定系统中各元件的输入输出物理量。 步骤2：根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化。 步骤3:消去中间变量，化成标准形式。,标准形式： 等号右边：输入变量及其各阶导数项； 等号左边：输出变量及其各阶导数项； 各导数按阶次由高到低排列。,例1 建立由RLC组成的电路，写运动方程,3、举例,步骤1: 确定系统中各元件的输入输出物理量,输入量：U1 输出量：U2,步骤2: 根据物理定律或化学定律（机理），列
4、出元件的原始方程。,步骤3: 化成标准形式,若方程中系数为常数，即L、C及R为常数，则描述该电路的运动方程为二阶线性常系数微分方程。引入微分算子p=d/dt；p2=d2/dt2，即：,此数学模型描述了该电路在输入电压U1作用下电容两端电压U2的变化规律。,U11，LC1；RC1时。,例2：列出质量、弹簧和阻尼系统的运动方程。其中K为弹性系数，f为阻尼系数，M为物体质量。,步骤1: 确定系统中各元件的输入输出物理量,输入量：外力,输出量：位移,弹性阻力：,X,粘滞阻力:,输入外力:,步骤2: 根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程。,【符合牛顿运动定律】,合力为：,代入方程有,由加速
5、度定律：,整理得,步骤3: 化成标准形式,m=10, f=1, k=1,输入：,m=10, f=1, k=5,m=10, f=1, k=5,m=10, f=1, k=1,输入：,相似系统,RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。,相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。,例3 速度控制系统的微分方程,被控对象：电动机（带负载） 系统输出：转速 输入量：ui 控制系统组成： 给定电位器 运算放大器（含比较作用） 功率放大器 直流电动机SM 测速发电机,各元部件的微分方程为：,1 、运算放大器： 给定电压
6、与速度反馈电压在此合成，产生偏差电压并经放大，即：,2 、功率放大器,3 、直流电动机：,4、 测速发电机 测速发电机的输出电压 与其转速 成正比，即：,从上述个方程中削去中间变量 ，整理后 便得到控制系统的微分方程：,其中,控制系统的微分方程：,1、用微分方程表示系统的数学模型； 2、根据物理学定律，可以推导出控制系统的数学模型； 3、数学模型是一个数学表达式，表示了当有一个输入作用于控制系统时，系统输出随时间变化的过程。,总结,4、线性系统的基本特性,如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ， 对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。 如果 r(t)=r1(t)+r
7、2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足迭加性。 如果 r(t)=ar1(t) 时， c(t)=ac1(t) 满足齐次性。 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件,例如 y=kx 是线性元件 输入 x1 输出 y1=kx1 x2 y2=kx2 输入x1 x2 y1 y2 满足迭加性 C为常数， Cx1 Cy1 满足齐次性,y=kx+b(b为常数0)线性方程，所表示的元件不是线性元件. 输入x1y1 输出 y1kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 输入x1 x2 输出 y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数:kx1输出y=k(kx
8、1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。,线性方程不一定满足迭加性和齐次性,重要特点：,迭加性表明：欲求系统在几个输入信号和干扰信 号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单 独求响应，然后加起来就是总响应。,齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其 响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用 单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜 坡等）对系统进行分析简化了问题。,5、线性定常微分方程的求解,步骤： （1）方程两边作拉氏变换 （2）代入初始条件和输入信号 （3）写出输出量的拉氏变换 （4）拉氏反变换求出系
9、统输出的时间解,拉氏变换求解微分方程,记 则有,由于,于是,零初始条件响应,零输入响应,问题的产生 微分方程：直观，整理过程复杂，高阶系统求解困难。 拉氏变换法可以将时域中的微分、积分运算转换为复域内简单的代数运算。,微分方程,传递函数,拉式变换,二、控制系统的复数域数学模型（传递函数）,1、传递函数 (transfer function),传递函数的概念和定义： 在线性定常系统或元件，零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。,传递函数,进行拉式变换，得：,零初始条件：,1、系统的输入在t 0时才作用于系统。因此，对于t小于0时，系统输入及其各阶导数恒等
10、于0。 2、系统的输入作用于系统之前。系统处于稳定的工作状态，即系统的输出及其各阶导数恒等于0。,2、传递函数的通用形式,对于一线性定常系统，可用微分方程来表示：,若系统的输入和输出以及他们的各阶导数在t=0时皆为零，且有n=m，令所有的初始条件全为零，即,对方程两端逐项进行拉普拉斯变换。则有：,输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换 U(s)比为:,m,n,传递函数的性质：, 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数，分子多项式的次数 m 小于或等于分母多项式的次数n，所有系数均为实数；, 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关；, 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而
11、转换。即在微分方程中将微分算子 及传递函数中的 互换，即可实现微分方程与传递函数之间的转换；,只适用于线性定常系统, 传递函数 的拉氏逆变换是系统的脉冲响应,注意到设,是系统对于单位脉冲输入,的输出的拉氏变换的像。则有,于是关于上式两边求拉氏逆变换既得到,3、传递函数的零点和极点,传递函数分子多项式与分母多项式，经因式分解可写为如下形式：,传递函数分子多项式的根 zi 称为传递函数的零点；分母多项式的根 pj 称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。 零点和极点可以是实数，也可以是复数。,零、极点分布图：,称为传递系数或频率增益，在频率法中使用较多。,传递函数分子多项式与分母多项式也
12、可分解为如下形式（时间常数形式）：,4、传递函数的零点和极点对输出的影响,例： 具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点决定系统响应形式（模态），零点影响各 模态在响应中所占比重。,极点可以受输入函数的激励，在输出响应中形成自由运动模态。,设系统传递函数为 其极点为 ，零点为 自 由运动模态为 。 给定输入,则有,进而,输出响应中前两项具有与输入函数相同的模态， 但后两项包含了系统极点-1和-2 形成的运动模态。 这是系统固有的模态，其系数则与系统的输入有 关。因此我们可以认为这两项是系统受到输入函 数激励所引起的运动模态。,5、控制系统传递函数 基本电路元
13、件传递函数（复数阻抗）,电网络系统的传递函数可直接由复数阻抗写出,例： RLC 网络如图，试采用复数阻抗法求取该 网络的传递函数。,传递函数为,已知某电路如图所示，求传递函数。,由节点电流及运算放大器的虚地、虚断条件,比例环节,典型环节传递函数方块图形式,控制系统通常由若干个基本部件组合而成，如比例、积分、微分、一阶惯性、二阶振荡、延迟环节，这些基本部件称为典型环节。,积分环节,微分环节,一阶惯性环节,二阶振荡环节,延迟环节,例: 有源网络如图所示，求传递函数。,解：,6、负载效益,要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数，把后一级对前一级的负载效应考虑进去。,例：如右电路，求,解：（1）当成整
14、体看：,（2）分解成两部分看：,元部件 方框（块）图 信号（物理量）及传递方向 中的符号 比较点 引出点 表示负反馈,三、 控制系统的方框图,方框图中各符号的意义,1、控制系统的方框图,基本单元,信号线 有箭头的直线，表示信号的流向，箭头表示信号传递的方向,X,引出点（测量点） 信号引出或者测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。,比较点(综合点) 对两个以上的信号进行加减运算； “”表示相加，“”表示相减,方框（环节）： 对信号进行的数学变换，相当于算子，方框中写入元件或系统的传递函数。 输出输入传递函数,(s),2、绘制方法,首先写出各环节的运动方程； 其次基于运动方程求取
15、各环节的传递函数； 再次根据传递函数画出相应的函数方框； 最后按信号流向将函数方框一一联接起来即得系统方框图。,RC网络的微分方程式为,例,试绘制图无源RC网络的结构图,1）建立各元件的微分方程,2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并 改写成以下相乘形式,3）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来,作用：1）直观形象的分析变量之间的关系 2）方便求解传递函数,进行数学的运算； 能直观了解每个元部件对系统性能的影响； 各元件之间的相互关系。 系统方框图也是系统的一种数学模型。,方框图表示的特点,【注意】,方框与元件不是一一对应的，一个元件可以用几个方框表示；相反，一个方框也可以用几个元件表示。,3、不同组合方式等效传递函数,串联方式,并联方式,反馈方式,串联环节,结论：串联结构总传递函数等于各个 环节传递函数的乘积。,并联环节,结论：并联结构总传递函数等 于各个环节传递函数的代数和。,反馈回路,按照信号传递的关系可写出：,消去E(s)和B(s)，得,因此,若反馈通路的传递函数H(s)=1，常称作单位反馈。,此处的加号对应于负反馈；减号对应于正反馈。,R(s)
