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1、课时分层训练课时分层训练( (四十四四十四) ) 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 A A 组 基础达标 一、选择题 1(2017北京高考)某三棱锥的三视图如图 759 所示，则该三棱锥的体积为( ) 图 759 A60 B30 C20D10 D D 由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点P作PB平面ACD于点B，连接 BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱锥 PACD 35410. 1 3 1 2 故选 D. 2(2016全国卷)如图 7510 是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何 体的表面积为( ) 图 751
2、0 A20B24 C28D32 C C 由三视图可知圆柱的底面直径为 4，母线长(高)为 4，所以圆柱的侧面积为 22416，底面积为 224；圆锥的底面直径为 4，高为 2，所以圆锥 3 的母线长为4，所以圆锥的侧面积为 248.所以该几何体的 (2r(3)222 表面积为S164828. 3(2016全国卷)如图 7511，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面 体的三视图，则该多面体的表面积为( ) 图 7511 A1836B5418 55 C90D81 B B 由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另 两个侧面为平行四边形，则表面积为(3336
3、33)25418.故选 B. 55 4某几何体的三视图如图 7512 所示，且该几何体的体积是 3，则主视图中的x的值是( ) 图 7512 A2B 9 2 C.D3 3 2 D D 由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底 (12)23， 1 2 所以Vx33， 1 3 解得x3. 5(2018石家庄质检)某几何体的三视图如图 7513 所示，则该几何体的体积是( ) 【导学号：79140241】 图 7513 A16B20 C52D60 B B 由三视图得该几何体的直观图如图所示，其中四边形ABCD为邻边 长分别为 2,4 的长方形，四边形CDEF为上底为 2、下底为 6、高为
4、 3 的等腰梯形，所以该几何体可以看作是由两个底面为直角边长分别为 3,4 的直角三角形，高为 2 的三棱锥和一个底面为直角边长分别为 3,4 的 直角三角形，高为 2 的三棱柱组成，则该几何体的体积为 2 342 34220，故选 B. 1 3 1 2 1 2 二、填空题 6一个六棱锥的体积为 2，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥 3 的侧面积为_ 12 设正六棱锥的高为h，棱锥的斜高为h. 由题意，得 6 2h2，h1， 1 3 1 233 斜高h2， 12(r(3)2 S侧6 2212. 1 2 7(2017江苏高考)如图 7514，在圆柱O1O2内有一个球O，该
5、球与圆柱的上、下底面 及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_ V1 V2 图 7514 设球O的半径为R， 3 2 球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切， 圆柱O1O2的高为 2R，底面半径为R. . V1 V2 R22R 4 3R3 3 2 8(2017天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 18，则这个球的体积为_ 设正方体的棱长为a，则 6a218，a. 9 23 设球的半径为R，则由题意知 2R3， a2a2a2 R . 3 2 故球的体积V R3 3 . 4 3 4 3 ( 3 2) 9 2 三、解答题 9.如图
6、7515，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10， 求三棱锥DABC的体积的最大值. 【导学号：79140242】 图 7515 解 由题意知，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，棱AD与棱BC相互垂 直，设d为AD到BC的距离， 则VDABCADBCd 2d， 1 2 1 3 当d最大时，VDABC体积最大 ABBDACCD10， 当ABBDACCD5 时， d有最大值. 42115 此时V2. 15 10.如图 7516，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面
7、与此长方体的面相交，交线围成一个正 方形 图 7516 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 解 (1)交线围成的正方形EHGF如图所示 (2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10. 于是MH6，AH10，HB6. EH2EM2 故S (410)856， 四边形A1EHA 1 2 S (126)872. 四边形EB1BH 1 2 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为. 9 7( 7 9也正确) B B 组 能力提升 11(
8、2018东北三省四市模拟(一)点A，B，C，D在同一个球的球面上， ABBC1，ABC120.若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为( ) 3 4 A.B4 500 81 C.D 25 9 100 9 D D 因为ABBC1，ABC120，所以由正弦定理知ABC外接圆 的半径r 1，SABCABBCsin 120.设外接圆的圆心为Q，则 1 2 AB sin 30 1 2 3 4 当DQ与平面ABC垂直时，四面体ABCD的体积最大，所以SABCDQ，所以DQ3.设 1 3 3 4 球心为O，半径为R，则在 RtAQO中，OA2AQ2OQ2，即R212(3R)2，解得R ，所以球的表
9、面积S4R2，故选 D. 5 3 100 9 12已知H是球O的直径AB上一点，AHHB12，AB平面，H为垂足，截球O 所得截面的面积为 ，则球O的表面积为_. 【导学号：79140243】 如图，设球O的半径为R，则由AHHB12 得 9 2 HA 2RR， 1 3 2 3 OH . R 3 截面面积为 (HM)2， HM1. 在 RtHMO中，OM2OH2HM2， R2R2HM2R21， 1 9 1 9 R， 3 2 4 S球4R24 . ( 3 2 4 ) 2 9 2 13四面体ABCD及其三视图如图 7517 所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱 AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H. 图 7517 (1)求四面体ABCD的体积； (2)证明：四边形EFGH是矩形 解 (1)由该四面体的三视图可知， BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1， AD平面BDC， 四面体ABCD的体积V 221 . 1 3 1 2 2 3 (2)证明：BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面 ABCEH， BCFG，BCEH，FGEH. 同理EFAD，HGAD，EFHG， 四边形EFGH是平行四边形 又AD平面BDC，ADBC，EFFG. 四边形EFGH是矩形
