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1、课时分层训练课时分层训练( (四十六四十六) ) 利用空间向量证明平行与垂直利用空间向量证明平行与垂直 A A 组 基础达标 一、选择题 1若直线l的方向向量为a a(1,0,2)，平面的法向量为n n(2,0，4)，则( ) Al Bl ClDl与相交 B B n n2a a，a a与平面的法向量平行，l. 2已知a a(2，1,3)，b b(1,4，2)，c c(7,5，)若a a，b b，c c三向量共面，则 实数等于( ) A.B 62 7 63 7 C.D 60 7 65 7 D D 由题意得c cta ab b(2t，t4，3t2)， Error!Error! 3若，则直线AB与平
2、面CDE的位置关系是( ) AB CD CE 【导学号：79140251】 A相交B平行 C在平面内D平行或在平面内 D D ，、 、共面， AB CD CE AB CD CE AB与平面CDE平行或在平面CDE内 4(2017西安月考)如图 778，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点E是BB1上一 点，若D1FDE，则有( ) 图 778 AB1EEB BB1E2EB CB1EEB 1 2 DE与B重合 A A 分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为 2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，(
3、0,1，2)， D1F (2,2，z)，02122z0，z1，B1EEB. DE D1F DE 5如图 779 所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的 中点，若平行六面体的各棱长均相等，则： 图 779 A1MD1P； A1MB1Q； A1M平面DCC1D1； A1M平面D1PQB1. 以上说法正确的个数为( ) A1B2 C3D4 C C ，所以 A1M A1A AM A1A 1 2AB D1P D1D DP A1A 1 2AB A1M D1P A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1.正 确 二、填
4、空题 6.如图 7710 所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D 的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_ 图 7710 垂直 以A为原点，分别以， ，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系 AB AD AA1 (图略)，设正方体的棱长为 1，则A(0,0,0)，M，O，N， (0，1， 1 2) ( 1 2， 1 2，0) ( 1 2，0，1) 0，ON与AM垂直 AM ON (0，1， 1 2) (0， 1 2，1) 7(2017广州质检)已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的 一个法向
5、量n n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是 _ 设平面的法向量为m m(x，y，z)， 由m m0，得x0yz0yz， AB 由m m0，得xz0xz，取x1， AC m m(1,1,1)，m mn n， m mn n，. 8已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面 AB BC AB BC BP ABC，则实数xy_. 【导学号：79140252】 由条件得Error! 25 7 解得x，y，z4， 40 7 15 7 所以xy. 40 7 15 7 25 7 三、解答题 9如图 7711，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABP
6、D.证明：平 1 2 面PQC平面DCQ. 图 7711 证明 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x 轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. 依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0) DQ DC PQ 0，0. PQ DQ PQ DC 即PQDQ，PQDC， 又DQDCD，PQ平面DCQ， 又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ. 10(2017郑州调研)如图 7712 所示，四棱锥PABCD的底面是边长为 1 的正方形， PACD，PA1，PD，E为PD上一点，PE2ED.
7、 2 图 7712 (1)求证：PA平面ABCD； (2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置， 并证明；若不存在，说明理由 解 (1)证明：PAAD1，PD， 2 PA2AD2PD2， 即PAAD. 又PACD，ADCDD，PA平面ABCD. (2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)， E，(1,1,0)，.设平面AEC的法向量为n n(x，y，z)， (0， 2 3， 1 3) AC AE (0， 2 3， 1 3) 则Error!即Err
8、or!令y1，则n n(1,1，2) 假设侧棱PC上存在一点F，且(01)， CF CP 使得BF平面AEC，则n n0. BF 又(0,1,0)(，)(，1，)， BF BC CF n n120， ， BF 1 2 存在点F，使得BF平面AEC，且F为PC的中点 B B 组 能力提升 11如图 7713，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF 2 上，且AM平面BDE.则M点的坐标为( ) 图 7713 A(1,1,1)B( 2 3 ， 2 3 ，1) C.D ( 2 2 ， 2 2 ，1) ( 2 4 ， 2 4 ，1) C C 设AC与BD相交于O点，连接O
9、E，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面 ACEF平面BDEOE，AMEO， 又O是正方形ABCD对角线交点， M为线段EF的中点 在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(， ，1) 22 由中点坐标公式，知点M的坐标. ( 2 2 ， 2 2 ，1) 12已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)， AB (4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD AD AP AP 的法向量；.其中正确的是_. AP BD 【导学号：79140253】 0，0， AB AP AD AP ABAP，ADAP，则正确 又与不平行， AB AD 是平面AB
10、CD的法向量，则正确 AP (2,3,4)，(1,2，1)， BD AD AB AP 与不平行，故错误 BD AP 13(2017北京房山一模)如图 7714，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面 ABCD， 图 7714 且PAAD2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点 求证：(1)PB平面EFH； (2)PD平面AHF. 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，H(1,0,0) (1)(2,0，2)，(1,0，1)， PB EH 2，PBEH. PB EH PB平面EFH，且EH平面EFH， / / PB平面EFH. (2)(0,2，2)，(1,0,0)，(0,1,1)， PD AH AF 0021(2)10， PD AF 0120(2)00， PD AH PDAF，PDAH. 又AFAHA，PD平面AHF.
