《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档:第八章 立体几何8.3 》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档:第八章 立体几何8.3 (15页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲考情考向分析 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明 一些空间图形的位置关系的简单命题. 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题 真假判断和求解异面直线所成的角,题型主 要以选择题和填空题的形式出现,解题要求 有较强的空间想象能力和逻辑推理能力. 1四个公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只
2、有一条过该点的公共直线 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 Error!Error! (2)异面直线所成的角 定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 aa,bb,把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围:. (0, 2 3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 5等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 知识拓展 1唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直
3、线平行 (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果两个不重合的平面 , 有一条公共直线 a,就说平面 , 相交,并记作 a.( ) (2)两个平面 , 有一个公共点 A,就说 , 相交于过 A 点的任意一条直线( ) (3)两个平面 ABC 与 DBC 相交于线段 BC.( ) (4)经过两条相交直线,有且只有一个平面( ) (5)
4、没有公共点的两条直线是异面直线( ) (6)若 a,b 是两条直线, 是两个平面,且 a,b,则 a,b 是异面直线( ) 题组二 教材改编 2P52B 组 T1(2)如图所示,已知 M,N 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1中 BB1和 B1C1的 中点,则 MN 与 CD1所成的角为_ 答案 60 解析 连接 AD1,AC,因为 M,N 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1中 BB1和 B1C1的中点, 所以 AD1MN,故AD1C 为 MN 与 CD1所成的角或其补角,由于 ACAD1D1C,故 AD1C60,则 MN 与 CD1所成的角为 60. 3P45 例 2如图,在三棱锥
5、ABCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中 点,则 (1)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为菱形; (2)当 AC,BD 满足条件_时,四边形 EFGH 为正方形 答案 (1)ACBD (2)ACBD 且 ACBD 解析 (1)四边形 EFGH 为菱形, EFEH,故 ACBD. (2)四边形 EFGH 为正方形,EFEH 且 EFEH, EF 綊 AC,EH 綊 BD,ACBD 且 ACBD. 1 2 1 2 题组三 易错自纠 4若 P 是两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( ) A过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B过点 P 有且仅
6、有一条直线与 l,m 都垂直 C过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 答案 B 解析 A 项,设过点 P 的直线为 n,若 n 与 l,m 都平行,则 l,m 平行,与 l,m 异面矛盾,A 错; B 项,l,m 只有唯一的公垂线,而过点 P 与公垂线平行的直线只有 1 条,B 对; C 项,如图所示,在正方体 ABCDABCD中,设 AD 为直 线 l,AB为直线 m,若点 P 在 P1点,显然无法作出直线与两直线都相交,C 错; D 项,若 P 在 P2点,则直线 CC及 DP2均与 l,m 异面,D 错 5下列命题正确的有_(填序号
7、) 若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内; 若直线 l 上有无数个点不在平面 内,则 l 与平面 平行; 若直线 l 与平面 相交,则 l 与平面 内的任意直线都是异面直线; 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交; 若直线 l 与平面 平行,则 l 与平面 内的直线平行或异面 答案 解析 正确; 错误,直线 l 与平面 相交时,仍有无数个点不在平面 内; 错误,直线 l 与平面 内过该交点的直线不是异面直线; 错误,另一条直线可能在该平面内;正确 6.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,GH 在原正方体中互 为异面的对数为_ 答
8、案 3 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化,则 AB,CD,EF 和 GH 在原正方 体中,显然 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 都是异面直线,而 AB 与 EF 相交,CD 与 GH 相交,CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对 题型一题型一 平面基本性质的应用平面基本性质的应用 典例 如图所示,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 AB 和 AA1的中点求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点 证明 (1)如图,连接 EF,CD1,A1B. E,F 分别是 AB,AA1的中点,EFBA1. 又
9、 A1BD1C,EFCD1, E,C,D1,F 四点共面 (2)EFCD1,EFCD1, CE 与 D1F 必相交, 设交点为 P,如图所示 则由 PCE,CE平面 ABCD,得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA,P直线 DA, CE,D1F,DA 三线共点 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然 后再证其余的线(或点)在这个平面内;将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证 两平面重合 (2)证明点共线问题的两种方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点
10、都在这条直线上; 直接证明这些点都在同一条特定直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点 跟踪训练 已知正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为 D1C1,C1B1的中点, ACBDP,A1C1EFQ,求证: (1)D,B,F,E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 BDEF 于 R 点,则 P,Q,R 三点共线 证明 如图 (1)EF 是D1B1C1的中位线,EFB1D1. 在正方体 AC1中,B1D1BD, EFBD. EF,DB 确定一个平面,即 D,B,F,E 四点共面 (2)在正方体 AC1中,设 A1ACC1确定的平面为 ,
11、 平面 BDEF 为 . QA1C1,Q. 又 QEF,Q,则 Q 是 与 的公共点, PQ. 又 A1CR,RA1C,R,且 R,则 RPQ,故 P,Q,R 三点共线 题型二题型二 判断空间两直线的位置关系判断空间两直线的位置关系 典例 (1)若直线 l1和 l2是异面直线,l1在平面 内,l2在平面 内,l 是平面 与平面 的交 线,则下列命题正确的是( ) Al 与 l1,l2都不相交 Bl 与 l1,l2都相交 Cl 至多与 l1,l2中的一条相交 Dl 至少与 l1,l2中的一条相交 答案 D 解析 方法一 由于 l 与直线 l1,l2分别共面,故直线 l 与 l1,l2要么都不相交
12、,要么至少与 l1,l2中的一条相交若 ll1,ll2,则 l1l2,这与 l1,l2是异面直线矛盾故 l 至少与 l1,l2中的一条相交 方法二 如图 1,l1与 l2是异面直线,l1与 l 平行,l2与 l 相交,故 A,B 不正确;如图 2,l1与 l2是异面直线,l1,l2都与 l 相交,故 C 不正确 (2)(2017唐山一中月考)如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表 示直线 GH,MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 答案 解析 在图中,直线 GHMN; 在图中,G,H,N 三点共面,但 M平面 GHN,NGH, 因此直线 GH 与 MN
13、异面; 在图中,连接 GM,GMHN,因此 GH 与 MN 共面; 在图中,G,M,N 共面,但 H平面 GMN,GMN, 因此 GH 与 MN 异面 所以在图中 GH 与 MN 异面 思维升华 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线, 可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线面 平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决 跟踪训练 (1)(2016山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 , 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的( ) A充分不必要条件
14、B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线 a 和直线 b 相交,则平面 和平面 相交; 若平面 和平面 相交,那么直线 a 和直线 b 可能平行或异面或相交,故选 A. (2)已知 a,b,c 为三条不重合的直线,已知下列结论: 若 ab,ac,则 bc;若 ab,ac,则 bc;若 ab,bc,则 ac. 其中正确的个数为( ) A0 B1 C2 D3 答案 B 解析 在空间中,若 ab,ac,则 b,c 可能平行,也可能相交,还可能异面,所以 错,显然成立 题型三题型三 求异面直线所成的角求异面直线所成的角 典例 (2018南宁模拟)如图,在底面为正方形
15、,侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA12AB2,则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为( ) A. B. 1 5 2 5 C. D. 3 5 4 5 答案 D 解析 连接 BC1,易证 BC1AD1,则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所 成的角连接 A1C1,由 AB1,AA12,易得 A1C1,A1BBC1, 25 故 cosA1BC1 , 552 2 5 5 4 5 即异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为 . 4 5 引申探究 将上例条件“AA12AB2”改为“AB1,若异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为” , 9 10 试求的值 AA1 AB 解 设t,则 AA1tAB. AA1 AB AB1,AA1t. A1C1,A1BBC1, 2t21 cosA1BC1. t21t212 2 t21 t21 9 10 t